Nota de Aula - Transformada de Fourier - 2023-2

PMotta - DCA - UFRN PAULO S. MOTTA PIRES ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS Notas de Aula 07 - versão 0.1 Transformadas de Fourier Departamento de Engenharia de Computação e Automação Universidade Federal do Rio Grande do Norte Natal - RN Transformadas de Fourier A transformada de Fourier de um sinal de tempo continuo, x(t), 6 definida através da equacgao Alguns autores utilizam a co notacao X(w), endo X(jw), F(x(t)] = X(jw) = i x(the dt para indicar atransformada “ee de Fourier do sinal x(t). A transformada inversa de Fourier é definida pela equacdo 1 rs F™[X(jw)] = x(t) = — il aaa 270 J—co onde ae Assim, X(jw) = FIX] e x(t) = F-“"[X(Gw)] cone A transformada de Fourier x(t) 4 X(jw) de um sinal, x(t), 6 cha- Essa ultima notacao lé-se ”x(t) tem transformada de Fourier X(jw), indicado mada de densidade espec- we ; ; ; ._ 4. _ tral desse sinal. pela seta para a direita, e X(jw) tem transformada inversa de Fourier x(t), indi- cado pela seta para a esquerda.” No contexto dessas Notas DE AuLa, eliminaremos a notacao com -¥ acima da seta usando apenas <—+ com 0 mesmo significado. Observe que essa notagao nao significa igualdade. Observe que, por ser uma funcdo complexa de variavel real, pode ser escrita rare W coy a ett. ores tbe aC) ia onde |X(jw)| é a amplitude @6(jw) sdo, respectivamente, a amplitude e a fase de X(jw). Para quesa transformada de Fourier do sinal x(t) exista 6 necessdrio que x(t) satisfaca as condicgGes, Sorrel ae merle Woe oaar) 1. Ojsinal deve ser absolutamente integravel, a aaa dail de um sinal x(f). (oe) il Poles —oo que significa que a integral de x(t) deve ser finita, e VERSAO 0.1- DOCUMENTO GERADO EM 17/11/2022. COMENTARIOS/SUGESTOES: PMOTTA@DCA.UFRN.BR 2. Osinal deve ser bem comportado, nao possuir variagdes abruptas. Por convengao, lembramos que os sinais no dominio do tempo sao repre- sentados por funcoes escritas em letras minusculas e os sinais no dominio da frequéncia sao representados por func6es escritas em letras maiusculas. BENT OEe - Considere o sinal x(t) = e u(t) com a > 0. Observe que, sea < 0, ; a.4ransformada de Fourier 1. Obter a sua transformada de Fourier, X(jw) 7 de x(t) naéo pode ser en- contrada ja que, nesse caso, Como a transformada de Fourier de um sinal x(t) é dada pela expressao a condicéo de “absoluta- 00 vot mente integravel” nao é sa- NO ee eC we —oo temos oc S Feu] = fe“ uheydt = a | _ | Fam Cancale a 0 (oe) _ a il _— alee ry ee Con eo a = Entao, a Fle u(t)] = X(jw) = ——;; a>0 A) eas (dr arn ou 7 maa (9 a ee ey 2.«Obter o médulo e a fase de X(jw’) Como A X(jw) = ——— a+ jw VERSAO 0.1- DOCUMENTO GERADO EM 17/11/2022. COMENTARIOS/SUGESTOES: PMOTTA@DCA.UFRN.BR PMotta - DCA - UFRN temos |X(jω)| = 1 a2 + ω2 e X(jω) = tan−1 Å −ω a ã 3. Considerando a = 1, obter o espectro de amplitudes, |X(jω)| × ω, e de fases, X(jω) × ω, do sinal x(t). O espectro de amplitudes é uma função contínua de ω e é uma função par. Como X(jω) = 1 a + jω = 1 1 + jω quando ω = 0, |X(jω)| = 1 e ω → ±∞ |X(jω)| → 0 versão 0.1- documento gerado em 17/11/2022. comentários/sugestões: pmotta@dca.ufrn.br O espectro de fases também é uma fungao continua de w e é uma funcado impar. Espectro de Fases 1.5 1.0 0.5 3 > 0.0 > N -0.5 -1.0 -15 -10 -5 0 5 10 Como -1f aT tan” ~| —— ]= tan “(—w) => tan(6@) =—w i entao, a w—-> co->tan(0)> =) a w — —oo + tan(6@) > > BT ee - Considere,o sinal a) ee cosa ee) 1. Obter a transformada de Fourier de x(t) Como a transformada de Fourier de um sinal x(t) é dada pela expressado oo . ean il Gama —oo VERSAO 0.1- DOCUMENTO GERADO EM 17/11/2022. COMENTARIOS/SUGESTOES: PMOTTA@DCA.UFRN.BR temos 2 i ul ea x | 7 | = il Ca ae a i ia —oo 0 A oO | n oe (atjo)t i ee ee Clee 1 ACaw eo oe (atjw)t iT = —— — lim — + lim _ | Serie a—jw t>-cla—jwl trel—(a—jw)) at+jw aes = ty) - 1,1 ee e, entao, vai) Os aroma) ou 5 PU in 01> a+ W 2. Obter o mdédulo e a fase de X(jw’) Como , a X(jw) =——s Cee +o temos , 5 a 5 POs ha ea’ 3. Considerando a =\lyobter o espectro de amplitudes, | X(jw)| x w do sinal x(t) VERSAO 0.1- DOCUMENTO GERADO EM 17/11/2022. COMENTARIOS/SUGESTOES: PMOTTA@DCA.UFRN.BR Espectro de Amplitudes 1.25 1.00 3 ~~ 0.75 pS 0.50 0.25 -10 -5 0 5 10 Boney - Obter a transformada de Fourier da fun¢ao x(t) = d(£) Como a transformada de Fourier de um sinal x(t) dada pela expressao co a X(jw) = Flx(b)] = | OYA Rar —00 temos od) a PaO i Oat ae —oo fa al ed t=0 ae Entaéo (2 noe at O espectro de‘amplitudes do da fungao impulso, 4(t), é constante e iguala1ie o especttode fases é igual a zero. A funcado impulso possui densidade espectral uniforme. VERSAO 0.1- DOCUMENTO GERADO EM 17/11/2022. COMENTARIOS/SUGESTOES: PMOTTA@DCA.UFRN.BR Bn are - Obter a transformada de Fourier do sinal retangular x(t) k im ig Y 2 I A transformada de Fourier de um sinal x(t) 6 dada pela expressao X(jw) = Flx(b)] = i Gama Como i a ae x(t) = 0; fora entao zr PaO i nar 7) Z -) Ma a 2k Ee 5s] ~ 7 = ne cs zt Ge Entao 4 ce eae Dai, Xiw)| — ler sine( 5 o) =0 |X(jw)| = |kt sine > e /X(jw) = A fase de /X(jw) = 0ja que X(jw) € IR, Vw e, assim, 0 espectro de fases é igual war VERSAO 0.1- DOCUMENTO GERADO EM 17/11/2022. COMENTARIOS/SUGESTOES: PMOTTA@DCA.UFRN.BR O espectro de amplitudes, | X(jw)| x w, é mostrado na Figura para k = 1e varios valores de T. Pelos graficos, podemos observar que ha uma relacdo entre o sinal x(t) e seu espectro de amplitudes, | X(jw)|. Expandindo x(t), | X(jw)| se comprime e vice-versa. x(t) X (jw) ; « 00 v(t) Os Ge) Figura 1. , Relacdo entre 0.75 k=1,7=1 0.4 uma funcaéo no dominio do 0.50 . 0.25 01 tempo e seu espectro de am- 0.00 0.0 y ~ 4 2 0 2 4 _4 2 0 2 4 plitudes. Expansao da fun- x(t) |X (juo)| cdo no dominio do tempo 1.00 2.0 acarreta um compressdo do 0.75 k=1,7T=2 1.5 F 0.50 Lo espectro e vice-versa. 0.25 0.5 0.00 0.0 -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 x(t) |X (jw)| 1.00 4 0.75 k=1,7r=4 3 0.50 2 0.25 1 0.00 0 -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 x(t) |X (jw)| 1.00 6 0.75 =1,7r=6 2 0.50 3 0.25 4 0.00 0 -4 —2 0 2 4 -4 —2 0 2 4 Boe - Obter a transformada de Fourier da fun¢ao x(t) =k Como a transformada_ de Fourier de um sinal x(t) é dada pela expressao co a ean Ole il Ga arT il 0) podemos verificar que a funcdo dada ndo satisfaz ao critério de existéncia da transformada de Fourier. VERSAO 0.1- DOCUMENTO GERADO EM 17/11/2022. COMENTARIOS/SUGESTOES: PMOTTA@DCA.UFRN.BR Entretando, como vimos no exemplo anterior, a transformada de Fourier de uma fungao retangular de largura t é dada por ; ee acne X(jw) = kt seam) Ora, fazendo T — oo, como mostrado na Figura, teremos a transformada de Fourier da fungao x(t) = k desejada. x(t) Ke ~<----- ----> aia | | . ae ae Entdao, A fungdo 6(w) pode ser de- wt Lt - finida como aba) ead ae ea = 2k7 lim. — =T ee) x ane ys, uaemiae ys, 6(w) = lim — sinc (aw) oo X—->co JT =6(w) Dai, F [k] = 2k7d(w) ou k & > 2k76(w) Bon ae - Obter a,transformada de Fourier da funcao sinal, x(t) = sgn(t) Como a transformadade Fourier de um sinal x(t) é dada pela expressao oo A ean Ole i Goma —oo podemos Verificar que a fungado dada nAo satisfaz ao critério de existéncia da transformada de Fourier. VERSAO 0.1- DOCUMENTO GERADO EM 17/11/2022. COMENTARIOS/SUGESTOES: PMOTTA@DCA.UFRN.BR Entretanto, observando a Figura, podemos escrever a funcao sinal como sen(t) = lim fe“ u(t) — e“'u(—t AC eee eae) onde a > Oe u(t) 6a funcado degrau. Observe que.a funcao nao ode serescritajcomo sgn(t) v sgn(t)= u(t) — u(—t) 1 ; porque u(t) nao satisfaz a —a ma) condicao de integrabilidade exigida para que a transfor- Fi mada de Fourier exista e'u(—t) at Temos, entao [oe] . [o.@) . PapanG yea il Pama Yap oat i ae aa al) —oo —oo oo ; 0 ; aren | ee Ie dt — i aang ira 0 AO) —oo 2jw Sa ee ra ce Dai, sen(t) <—> a rd ve VERSAO 0.1- DOCUMENTO GERADO EM 17/11/2022. COMENTARIOS/SUGESTOES: PMOTTA@DCA.UFRN.BR Bera - Obter a transformada de Fourier da fungao x(t) = u(t) Temos, i ea 5 1 ao sgn(t) Entao, i a a ane 0)] Dai, a u(t) <> 76(w) + — a Bone - Obter a transformada de Fourier da fun¢ao x(t) = e Jot Podemos observar que essa fungado nao obedece aos critérios de existéncia da transformada de Fourier. Lembrando de uma das propriedades da funcdo impulso, | sw — wo)flwyito= fee) podemos escrever il d(w — wo)el%'dw = elvot Lope nant l ete) e-vate (ee 17% 1, Ya ry _ ea d — es vais i ee ary a ——— F-\[6(w—wp)] Dai, como vimos najequac¢ao anterior que 1. , F~'[d(w — wo)] = x => F [el] = 275(w — a) temos hel ee ea (RT) VERSAO 0.1- DOCUMENTO GERADO EM 17/11/2022. COMENTARIOS/SUGESTOES: PMOTTA@DCA.UFRN.BR Do mesmo modo, (bed a nL.) (CEE Sone - Obter a transformada de Fourier da fun¢aéo x(t) = cos(wot) Podemos observar que essa funcado também nao obedece aos critérios de existén- cia da transformada de Fourier. Usando a Identidade de Euler e os resultados rele) Exemplo anterior, temos i leans ar Us cos(wot) = 5 lee a hee Dai, iT ; ; F(cos(wot)] = = Ezcay ae cACgiae 1 ee eee 27d(w—wo) = 270d(wFwo) Entdo, a F [cos(wot)] = 5 Bae — wo) + 27d6(w + om) ou cos(Wwot) <— 7 s(w — Wo) + 6(w + =) Procedendo do mesmo modo, Me sen(Wwot) <-> 7 cs — wo) — 6(w + wo)| Bar EC - Obter a transformadade Fourier da fungao periddica bad a h(a yy (OPT lined n=—0o Temos, 90 a at) eee Deore Claas n=—0o ja que o'coeficiente C,, 6 constante. Assim, utilizando as transformadas obtidas no. Exemplo 8, hel ee ea (RT) VERSAO 0.1- DOCUMENTO GERADO EM 17/11/2022. COMENTARIOS/SUGESTOES: PMOTTA@DCA.UFRN.BR PMotta - DCA - UFRN temos Transformada de Fourier de um sinal periódico x(t) ←→ 2π ∞ ∑ n=−∞ Cnδ(ω − nω0) Então, a função de densidade espectral, ou transformada de Fourier, de uma função periódica é composta por impulsos localizados nas frequências harmô- nicas desse sinal sendo a intensidade de cada impulso igual a 2π multiplicado pelo valor do correspondente coeficiente da série exponencial de Fourier para aquela frequência. Propriedades da Transformada de Fourier Proporcionalidade Proporcionalidade A transformada de Fourier de uma constante vêzes uma função é a constante vêzes a transformada de Fourier da função. Assim, se x(t) ←→ X(jω) e considerando α ∈ R uma constante, αx(t) ←→ αX(jω) Linearidade Linearidade A propriedade da linearidade estabelece que a a transformada de Fourier de uma combinação linear de sinais é a combinação linear das transformadas de Fourier de cada um dos sinais. Se ∑ i αixi(t) ←→ ∑ i αiXi(jω), αi ∈ R, constante então, ∑ i αixi(t) ←→ ∑ i αiXi(jω) Deslocamento no tempo Deslocamento no tempo Se x(t) ←→ X(jω) então x(t − α)u(t − α) = e−jωαX(jω) versão 0.1- documento gerado em 17/11/2022. comentários/sugestões: pmotta@dca.ufrn.br PMotta - DCA - UFRN Escalonamento no tempo Escalonamento no tempo Se x(t) ←→ X(jω) então x(αt)u(t) ←→ 1 |α|X Ä jω α ä Deslocamento em jω Deslocamento em jω Se x(t) ←→ X(jω) então ejnω0tx(t) = X(jω − jnω0) Diferenciação no tempo Diferencação no tempo Se x(t) ←→ X(jω) então dx(t) dt ←→ jωX(jω) Por extensão, dnx(t) dtn ←→ (jω)nX(jω) Diferenciação em frequência Diferencação em frequência Se x(t) ←→ X(jω) então −jtx(t) ←→ dX(jω) dω Por extensão, (−jt)nx(t) ←→ dnX(jω) dωn Integração Integração Se x(t) ←→ X(jω) então versão 0.1- documento gerado em 17/11/2022. comentários/sugestões: pmotta@dca.ufrn.br i a il Corn an + 1X(0)5(w) (Gran evar Cele lere Convolugaéo x(t) <> X(jw) cS h(t) —> H(jw) temos x(t) * h(t) + X(jw)H(jw) Considere o SLIT mostrado na Figura onde indicamos as fungdes no dominio do tempo e suas transformadas de Fourier (dominio s) Na Figura, x(t) €0 sinal de entrada, h(t) 6 a resposta ao impulso e y(t) €6 a resposta do,sistema linear e invariante no tempo, SLIT, no dominio do tempo continuo. h(t) x(t) y(t) a Suh X(jw) Y(jw) eee A transformada do sinal de entrada, X(jw), € a entrada do SLIT no dominio da frequéncia, X(jw) = Alx(t)] ou x(t) <> X(jw) A transformada da resposta ao impulso, H(jw), 6 a resposta em frequéncia do Se H(jw)= F[h(t)] ou h(t) <> H(jw) A transformada do sinal de saida, Y(jw), € a resposta do SLIT no dominio da frequéncia, Y(jw) = Fly] ou y(t) > V(jw) Observe que, no dominio do tempo, para se obter a saida y(t) é necessario calcular uma integral, a integral de convolugao. Entretando, trabalhando com as transformadas dos sinais, é possivel obter a transformada da saida, Y(jw), VERSAO 0.1- DOCUMENTO GERADO EM 17/11/2022. COMENTARIOS/SUGESTOES: PMOTTA@DCA.UFRN.BR PMotta - DCA - UFRN através de uma multiplicação dos sinais X(jω) e H(jω). Obtida Y(jω), aplica-se a ela a transformada inversa de Fourier para se obter a saída no domínio do tempo F −1[Y(jω)] = y(t) Exemplo 11 - Considere um SLIT com entrada x(t) = u(t) e resposta ao impulso h(t) = e−atu(t); a > 0 1. Obter a saída no domínio da fraquência utilizando transformadas de Fourier Pelo teorema da convolução no domínio da fraquência, temos Y(jω) = H(jω)X(jω) como e−atu(t) ←→ 1 a + jω u(t) ←→ πδ(ω) + 1 jω Daí, Y(jω) = 1 a + jω Å πδ(ω) + 1 jω ã 2. Obter a saída do SLIT no domínio do tempo, y(t) Temos, y(t) = F −1[Y(jω)] = F −1 ï 1 a + jω Å πδ(ω) + 1 jω ãò versão 0.1- documento gerado em 17/11/2022. comentários/sugestões: pmotta@dca.ufrn.br Entao, i i ne et a ad |. + jw icp + mal na = (Coen 2 )) = a+ jw jw \a+ jw ae! Bon as — |= a OO BJO JW\a+ Iw i Bao a7 re —= )-— = a ajw/ Jw\a+jws ajw =F") Bao 7 _)+ —= 7 1)| = a ez) ajw \a+ jw a Bao 7 _)-+(— ) 1 jw) a\at+jw ae a i i a ns eee |e Gal) aw Ai a One fa . F a -_=eeeonw ”’ =—V—V—eC_oa—_—" u(t) e—tu(t) S i ae 1 A 1—e “|}u(t) BHT OEE - Considere umsSLIT com saida y(f= (eh—e“)u(t); b,c > 0 e resposta ao impulso h(t) =e “u(t); a>O Considerandoa #4 b°4 c #0 coma,b,c > 0, obter a entrada do sistema no dominio do tempo, x(t) Pelotteorema da convolucaéo no dominio da fraquéncia, temos ; Y(jw) X(w) = =~ aaa Pa VERSAO 0.1- DOCUMENTO GERADO EM 17/11/2022. COMENTARIOS/SUGESTOES: PMOTTA@DCA.UFRN.BR com - i e “u(t) <3 —— ee Cy (Gaal ae ees — at — b+jw ctjw Entao, tt Oe b+jw ctjw _ IC) + jw) a (b + jw)(c + jw) meee ou ; Utilizando o método da ex- aCe Choe = _A + a pansdo em frag6es parciais (b+jw)(ct+tjw) b+jw c+jw Assim, — bV(— re) ee Goa ee aa (—b +c) a) 5 ted (Gare as b) Obtemos ; a— (oie X(jw) = —— + —— od ae ey t c+jw e, usando transformada inversa de Fourier, x(t) = (a — pe "4 (c— oa u(t) VERSAO 0.1- DOCUMENTO GERADO EM 17/11/2022. COMENTARIOS/SUGESTOES: PMOTTA@DCA.UFRN.BR PMotta - DCA - UFRN LEITURA COMPLEMENTAR Leitura Complementar Hwei P. Hsu, Theory and Problems of Signals and Systems, Schaum’s Outline Series, McGraw -Hill, 1995. B. P. Lathi, Linear Systems and Signals, Second Edition, Oxford University Press, 2005. A. V. Oppenheim, A. S. Willsky, S. H. Nawab, Signals and Systems, Second Edition, Pearson Education, 1996. Todas essas referências tem versão em português. versão 0.1- documento gerado em 17/11/2022. comentários/sugestões: pmotta@dca.ufrn.br