Problemas Resolvidos-2022 1

Problema 1 Considere os sinais mostrados nas Figuras abaixo e plote para cada caso (a) x(-0.5t) (b) x(-t) (c) x(3 + t) (d) x(3 - t) (e) 3x(t) - 2 (f) 2x(t) + 2 (g) 2x(2t) + 2 (h) -3x(t) + 1 Problema 6 Considere a forma de onda triangular mostrada na figura abaixo. (a) Expresse v(t) matematicamente (b) Calcule L[v] (c) Obtenha o gráfico da derivada v(t) (d) Calcule L[v] e verifique a propriedade de derivação da transformade de Laplace Problema 7 Considere a convolução entre os sinais digitais abaixo: \( h(k) = \bigg\{ \\ 3, & -1 \leq k \leq 2 \\ 0, & \text{para outros } k \bigg\} u(k) = \bigg\{ \\ 2, & 1 \leq k \leq 3 \\ 0, & \text{para outros } k \bigg\} Se y = u * h, então: (a) Encontre o valor de y(5). (b) Encontre o valor máximo de y e o valor correspondente de k. 03) b) x(-t) a) -2 x(-t) 1 2 4 t b) -20 -10 x(-t) 2 10 t f) 2x(t)+2 a) -4 -2 2 2x(t)+2 4 t b) -10 10 20 2x(t)+2 3 2 4 t P.02 06 a) u(t) = 0 , t < 0 5/2 t, 0 <= t < 2 10 - 5/2 t , 2 <= t < 4 0 , t >= 4 b) L{u(t)} = ∫ 0^∞ u(t) e^(-st) dt V(s) = ∫ 0^2 (5/2) e^(-st) dt + ∫ 2^u (10 - 5/2 t) e^(-st) dt P.03 V(s) = 5/2 ∫ 0^2 e^(-st) dt + 10 ∫ 2^4 e^(-st) dt - 5/2 ∫ 2^u t e^(-st) dt Usando-se uma Tabela de Integrais V(s) = 5/2 [-e^(-st) / s^2](0)^2 + 10 [-e/5] - 5/2 [-e^(-st) (st+1) / s^2](2)^2 V(s) = 5/2 [-e^(-25) / s^2 + 1] + 10 [-e^(-45) + e^(-st)]/5 - 5/2 e^45+(st+1) V(s) = -5/2 e^(-25) / s + 5/(25s^2) + 10e^(-25) / 5 V(s) = -5/2 e^(-25) 45+(st+1) / s^2 V(s) = -5 e^(-25) + 5/(25s^2) + 10e^(-25) / 5 - 10e^(-45) / 5 + 5/2 e^(-45) 45+(st+1) / s^2 c) GRÁFICO DA DERIVADA \( \hat{V}(t) \) 5/2 2 -5/2 4 d) \{ \{ \hat{V}(t) \} \} = \int_{0}^{\infty} \hat{u}(t)e^{-st} dt V(s) = \left( \int_{0}^{2} \frac{5}{2} e^{-st} dt + \int_{2}^{4} -\frac{5}{2} e^{-st} dt \right) \right] V(s) = \frac{5}{2} \left[ -\frac{e^{-st}}{s} \right]_{0}^{2} - \frac{5}{2} \left[ -\frac{e^{-st}}{s} \right]_{2}^{4} \hat{V}(s) = \frac{5}{25} \left( -e^{-25} + 1 + e^{-u} - e^{-25} \right) \hat{V}(s) = \frac{5}{25} \left( -2 e^{-25} + e^{-4s} + 1 \right) 07 - GRÁFICOS h(k) 3 k -2 -1 0 1 2 3 µ(k) 2 0 1 2 3 4 k µ(k-h) 2 -3 -2 -3 h{n} 3 -1 0 1 2 h PARA k ≤ -2 y(k) = 0 PARA k = -1 y(-1) = 2 ⋅ 3 = 6 PARA k = 0 y(0) = 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 = 12 PARA k = 1 y(1) = 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 = 18 PARA k = 2 y(2) = 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 = 18 PARA k = 3 y(3) = 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 = 12 PARA k = 4 y(4) = 2 ⋅ 3 = 6 PARA k ≥ 5 y(k) = 0 a) y(5) = 0 b) \(y_{\text{max}}(k) = 18 \) ocorre para \( k = 1 \) e para \( k = 2 \)