3 Lista de Exercícios

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA DEPT. DE ENGENHARIA DE COMPUTAC¸ ˜AO E AUTOMAC¸ ˜AO 3ª Lista de Exerc´ıcios DISCIPLINA: An´alise de Sinais Sistemas – DCA0103 PROFESSOR: Francisco Mota (a) Transformada de Laplace Problema 1 Fa¸ca o gr´afico das fun¸c˜oes abaixo e use a defini¸c˜ao para calcular a transformada de Laplace das mesmas (σ ´e o degrau unit´ario): (a) −5σ3 (b) 4[σ3 − σ5] (c) 5σ(t − 3)σ(4 − t) (d) −5σ(t − 2)σ(4 − t) Problema 2 Considere a fun¸c˜ao mostrada na figura abaixo. (a) Obtenha uma express˜ao matem´atica para f(t) (b) Encontre a transformada de Laplace para f. f(t) t 4 2 10 5 -5 Problema 3 Encontre a transformada de Laplace de f(t) = 10 sin(2t)[σ(t) − σ(t − π)]. Problema 4 Encontre a transformada de Laplace de cosh(at) = (eat + e−at)/2. Problema 5 Encontre a Transformada de Laplace das fun¸c˜oes abaixo: (a) σ(t − 2)σ(5 − t) (b) 3(t − 1)σ(t − 2) (c) 3(t − 4)σ(t − 2) (d) t[σ(t − 2) − σ(t − 4)] (e) 3t[σ(t − 2) − σ(t − 4)] (f) 3e−2tσ(t − 4) Problema 6 Considere a forma de onda triangular mostrada na figura abaixo. (a) Expresse v(t) matematicamente (b) Calcule L[v] (c) Obtenha o gr´afico da derivada ˙v(t) (d) Calcule L[˙v] e verifique a propriedade de deriva¸c˜ao da transformade de Laplace 1 v(t) 5 2 4 t Problema 7 Seja f uma fungao periddica, ie., f(t) = f(£+T), para todo t € R. Mostre que a transformada de Laplace F' de f é dada por: l T F(s)= Trent Fils); onde F\(s) = | f(t)e “dt —e § 0 Problema 8 Dada a transformada de Laplace 2s V SS —..a_Qrvwwwree” () = GEDeTS responda as quest6es abaixo: (a) Encontre v = L7'[V]; (b) Calcule v(0) a partir de v(t) e compare com lims_,.. sV(s) (c) Calcule lim;_,.. u(t) a partir de v(t) e compare com lim,-,o sV(s) Problema 9 Encontre a transformada inversa de Laplace das fungoes abaixo: 1 s+2 1 5(s +2) F(s) = =— b)F(s) = ———_.— F(s) = ——— d)F(s) = —“* (FS) = ayy OO=ssery OFM=ayR OPO= a S55 OF)= pag OFM ae (FO = aes WFO)= ap *) (+ 1(s? +4) TED SEM 2 1p * (+1 Sugestao: No item (g) analise a TL para “tsin(t)” usando a propriedade da derivada em s. Para o item (h), use a propriedade da integral de “tsin(t)”, ou seja, “sin(t) — t cos(t)”. Problema 10 Encontre a transformada inversa de Laplace das funcgoes abaixo: 3e— 7s 3(1 — e~?5) F(s) = ——. b) F(s) = ———— @FO= 5 WF) =D l—-e§ e725 — e— 3s F(s) = ——— d) F(s) = ————_ ORY=— @F)=—S Sugestao: Use a propriedade do deslocamento no tempo. (b) Transformada Z Problema 11 Encontre a Transformada Z dos seguintes sinais discretos no tempo: (a) 0.8* (b) 0.9% + 3(1.1)* (c) 3e70-1% (d) 3¢e7J0-1k (e) cos2k (f) 20 cos(2k — 7/4) (g) 10e~°-?* cos 0.5k (h) 10e~°-?" cos(0.5k — 1/4) Problema 12 Use a Transformada Z para calcular o valor das séries abaixo 2 (a) S= 500.5" k=0 (b) S = $° 0.5% k=2 (c) $= $°0.5* cos(0.1k) k=0 Problema 13 Obtenha a transformada Z inversa de 32z(z — 0.6967) F(2) = za z* — 1.39342 +1 Problema 14 Dada a Transformada Z[2"] = z/(z — 2), encontre a Transformada de f tal que f(k) = k(k — 1)2* usando as propriedades. k Sugestao: Use a propriedade 7 da Tabela de transformadas Z e note que k(k — 1) = 2 (3). Problema 15 Um sinal f possui transformada 3 z PQ) = 3324 52-9 Encontre a transformada de g tal que g(k) = f(k +3). (Dica: Para encontrar G(z) vocé precisaré de f(0), f(1) e f(2). Use diviséo de polindmios em F(z) para encontra-los). Problema 16 Dado f(k) = 2*, use as propieades da TZ e encontre a transformada de g tal que g(k) = f(k/2), g(k) = f(k +2) e g(k) = 3" f(k). Problema 17 Encontre a Transformada Z inversa das funcoes abaixo: 0.427 ) P(e) — — ) FE) = TG) 0.4z i) F(z) — ——042 i) Fe) = ye 08) 0.4 ui) F(z) — (i) PF) = era z wv) F(z) = — 2 iv) F@)=5 5 3