Notas de Aula Edo-2021 2

PSMP - DCA - UFRN PAULO S. MOTTA PIRES ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS Notas de Aula - versão 0.21 Equações Diferencias Ordinárias Departamento de Engenharia de Computação e Automação Universidade Federal do Rio Grande do Norte Natal-RN PSMP - DCA - UFRN A Figura mostra um Sistema Linear e Invariante no Tempo, SLIT, com sinais no domínio do tempo contínuo, t, e no domínio de Laplace, s, h(t) y(t) x(t) SLIT SLITs descritos por Equações Difereciais Ordinárias (EDOs) - entrada x(t), saída y(t) aN dNy(t) dtN + 0 ∑ i=N−1 ai diy(t) dti = 0 ∑ i=M bi dix(t) dti ou aN dNy(t) dtN + aN−1 d(N−1)y(t) dt(N−1) + · · · + a3 d3y(t) dt3 + a2 d2y(t) dt2 + a1 dy(t) dt + a0y(t) = = bM dMx(t) dtM + bM−1 d(M−1)x(t) dt(M−1) + · · · + b3 d3x(t) dt3 + b2 d2x(t) dt2 + b1 dx(t) dt + b0x(t) ou aNy(N)(t) + aN−1y(N−1)(t) + · · · + a3y′′′(t) + a2y′′(t) + a1y′(t) + a0y(t) = = bMx(M)(t) + bM−1x(M−1)(t) + · · · + b2x′′′(t) + b2x′′(t) + b1x′(t) + b0x(t) ou, ainda, aN N ˙y + aN−1 N−1 ˙y + · · · + a3˙˙˙y + a2 ¨y + a1 ˙y + a0y = = bM N ˙x + bM−1 N−1 ˙x x + · · · + b3˙˙˙x + b2 ¨x + b1 ˙x + b0x versão 0.21- documento gerado em 14/10/2021. comentários/sugestões: pmotta@dca.ufrn.br PSMP - DCA - UFRN Usaremos, nessas Notas de Aula, as duas últimas notações para as EDOs. O superescrito indica a ORDEM da derivada. NÃO É POTÊNCIA. 1. Ordem N - maior derivada (N > M) 2. Ordinária - possui apenas uma variável independente, t 3. Os coeficientes ai, i = 0 . . . N e bi, i = 0 . . . M são constantes 4. A solução da EDO - é y(t), saída do SLIT 5. O número de condições iniciais corresponde à ORDEM da EDO. EDO de ORDEM N, N condições iniciais: y(t0), y′(t0), . . . , y(N−1)(t0) 6. Tempo t0 - tempo no qual x(t) é aplicado ao SLIT 7. Entrada do SLIT - é x(t) Exemplo 1 Notações das EDOs nessas Notas de Aula 1. 3y′′(t) + 2y′(t) + y(t) = sen(t) ou 3 ¨y + 2 ˙y + y = sen(t) EDO de SEGUNDA ORDEM, a2 = 3, a1 = 2, a0 = 1, x(t) = sen(t) 2. y′′′(t) + 5y(t) = cos(3t) ou ˙˙˙y + 5y = cos(3t) EDO de TERCEIRA ORDEM, a3 = 1, a0 = 5, x(t) = cos(3t) 3. 4y(4)(t) + 3y′′′(t) + y(t) = 0 ou 4 4 ˙y + 3˙˙˙y + y = 0 EDO de QUARTA ORDEM, a4 = 4, a3 = 3, a1 = 1, x(t) = 0 Equações Diferenciais Ordinárias HOMOGÊNEAS: x(t) = 0 aNy(N)(t) + aN−1y(N−1)(t) + · · · + a3y′′′(t) + a2y′′(t) + a1y′(t) + a0y(t) = 0 POLINÔMIO CARACTERÍSTICO H(p): Obtido substituindo-se as ordens das derivadas da EDO por potências de uma variável (escolhemos a variável p) aNpN + aN−1p(N−1) + · · · + a3p3 + a2p2 + a1p + a0 = 0 Exemplo 2 Obter o polinômio característico, H(p), para as EDOs (lembrar que x(t) = 0) versão 0.21- documento gerado em 14/10/2021. comentários/sugestões: pmotta@dca.ufrn.br 1. 3y"(t) + 2y'(£) + y(t) = sen(t) H(p)=3p? +2p +1 2. y(t) + 5y(t) = cos(3t) H(p)=p? +5 3. 4yO(t) + 3y'"(t) + y() = 0 H(p)=4p* +3p? +1 Observe que d °y(t aay t) = aay) = 09 he e, entao, a poténcia de p correspondente ao termo agy(t) é p? =1. A forma da solucao das EDOs homogéneas, chamada de SOLUCAO HO- MOGENEA, y;,(t), depende do tipo de raiz(es) do seu polinémio caracteris- tico. 1. Raizes reais simples Solucao: y(t) = yn(t) = Coexp (pot) + C1 exp (pit) +--+ Cx-1 exp(pw—at) + Cr exp(pnt) onde Po, P1,-++,PN-1, Pn — Raizes do polinémio caracteristico Co, C1,..-,CnN—1,Cn — Coeficientes obtidos através das condic6es iniciais Exemplo 3. Obter a solucéo da EDO y'(t) — 2y(f) = 0 com condigao inicial y(0) = 4. Solucao: (a) Obter as raizes do polinémio caracteristico A(p) = p-2=> p—2=0=> po =2 UMA raiz real VERSAO 0.21- DOCUMENTO GERADO EM 14/10/2021. COMENTARIOS/SUGESTOES: PMOTTA@DCA.UFRN.BR (b) Solugéo homogénea y(t) = yn(t) = Co exp (pot) => yn(t) = Co exp(2t) (c) Obtencao do coeficiente Cp usando as condic6es iniciais yn(t) = Co exp(2t) => y(0) = y;,(0) = Coexp(2 x 0) = 4 =] Gy = 4 Entao, yi(t) = 4exp(2A)u(t) Exemplo 4 Obter a solucao da EDO y(t) + 5y (t) + 4y(t) = 0 com condic6es iniciais y(0) = 2 e y/(0) = —1. Solucao: (a) Obter as raizes do polinémio caracteristico H(p) = p?+5p+4 => p*+5p+4=0= > po =—le p; = —4 (DUAS raizes reais e distintas) (b) Solugéo homogénea y(t) = yn(t) = Co exp (pot) + Ci exp(pit) => yn(t) = Co exp(—t) + Ci exp(—4t) (c) Obtencao dos coeficientes Cp e C; usando as condic6es iniciais yn(t) = Co exp(—t) + Ci exp(—4t) Entao, y(O) = y,(0) = Co exp(0) + Ci exp(—4 x 0) = —-2 = Co + Ci) = 2 y'(0) = yp (0) = —Co exp(0) — 4C; exp(—4 x 0) = —1 =} Co + 4C, = 1 e Co +Cy = 2 Co +4C, = 1 VERSAO 0.21- DOCUMENTO GERADO EM 14/10/2021. COMENTARIOS /SUGESTOES: PMOTTA@DCA.UFRN.BR Observe que, para utilizar a condicao inicial y (0) = —1, foi necessario obter yn = —Coexp(—t)—4C, exp(—4t) Resolvendo o sistema de equagG6es, temos Cp = 7/3 e C; = —1/3. A solucao homogénea da EDO é 7 1 yn(t) = 7 exp(—t) — 3 exp(—4t)| u(t) 2. Raizes reais multiplas Nesse caso, a solucdo homogénea da EDO é dada por yn(t) = Ao exp(pot) + Ait exp (pot) + At? exp(pot) +---+ Ant’ exp (pot) onde Po — Raiz de multiplicidade N do polinémio caracteristico Ag, A1,.-.-, AN-1, An — Coeficientes obtidos através das condic6es iniciais Exemplo 5, Obter a solucéo da EDO y(t) — 8y'(t) + 16y(t) = 0 com condi¢6es iniciais y(0) = 2e y (0) = 4. Solucao: (a) Obter as raizes do polinémio caracteristico H(p) = p? -—8p +16 => p* -8p +16 = 0 => po = 4 (com multiplicidade 2) (b) Solugéo homogénea y(t) = yn(t) = Ao exp (pot) + Ait exp (pot) => yn(t) = Ao exp(4t) + Ait exp(4t) (c) Obtencao dos coeficientes Ag e A; usando as condic6es iniciais yn(t) = Ao exp(4t) + Ait exp(4t) VERSAO 0.21- DOCUMENTO GERADO EM 14/10/2021. COMENTARIOS/SUGESTOES: PMOTTA@DCA.UFRN.BR PSMP - DCA - UFRN Então, y(0) = yh(0) = A0 exp(0) + A1 × 0 × exp(−4 × 0) = 2 =⇒ A0 = 2 y′(0) = yh′(0) = 4A0 exp(4 × 0) + A1 î 4 × 0 × exp(4 × 0) + exp(4 × 0) ó = 4 e A0 = 2 4A0 + A1 = 4 Observe que, para utilizar a condição inicial y ′(0) = 4, foi necessário obter yh′(t) = 4A0 exp(4t) + A1 î 4t exp(4t) + exp(4t) ó Resolvendo o sistema de equações, temos A0 = 2 e A1 = −4. A solução homogênea da EDO é yh(t) = ï 2 exp(4t) − 4t exp(4t) ò u(t) 3. Raízes Complexas A solução homogênea da EDO é dada por y(t) = yh(t) = M1 exp(σt) cos(ωt) + M2 exp(σt) sen(ωt) onde σ e ω são obtidos a partir das raízes complexas conjugadas, (p1, p2), do polinômio característico com p1, p2 = σ ± jω e M1 e M2 são obtidos utilizando as condições iniciais. Exemplo 6 Obter a solução da EDO y′′(t) + 2y′(t) + 5y(t) = 0 com condições iniciais y(0) = 1 e y′(0) = 0. Solução: versão 0.21- documento gerado em 14/10/2021. comentários/sugestões: pmotta@dca.ufrn.br PSMP - DCA - UFRN (a) Obter as raízes do polinômio característico H(p) = p2 + 2p + 5 ⇒ p2 + 2p + 5 = 0 =⇒ p1, p2 = −1± j2 =⇒ σ = −1, ω = 2 (b) Solução homogênea y(t) = yh(t) = M1 exp(−t) cos(2t) + M2 exp(−t) sen(2t) (c) Obtenção dos coeficientes M1 e M2 usando as condições iniciais yh(t) = M1 exp(−t) cos(2t) + M2 exp(−t) sen(2t) Então, y(0) = yh(0) = M1 exp(0) cos(2 × 0) + M2 exp(0) sen(2 × 0) = 1 =⇒ M1 = 1 y′(0) = yh′(0) = M1 î − exp(0) cos(2 × 0) − 2 exp(0) sen(2 × 0) ó + + M2 î − exp(0) sen(2 × 0) + 2 exp(0) cos(2 × 0) ó = 0 =⇒ −M1 + 2M2 = 0 e M1 = 1 −M1 + 2M2 = 0 Observe que, para utilizar a condição inicial y ′(0) = 0, foi necessário obter yh′(0) = M1 î − exp(−t) cos(2t) − 2 exp(−t) sen(2t) ó + + M2 î − exp(−t) sen(2t) + 2 exp(−t) cos(2t) ó Resolvendo o sistema de equações, temos M1 = 1 e M2 = 1/2. A solução homogênea da EDO é yh(t) = exp(−t) ï cos(2t) + 1 2 sen(2t)] ò u(t) Essa equação pode ser escrita como yh(t) = M exp(σt) sen(ωt + φ) versão 0.21- documento gerado em 14/10/2021. comentários/sugestões: pmotta@dca.ufrn.br com M —1 1 M=\/M+MS e g=tan (4) entao, usando os valores calculados, V5 = /Mi4+ M3 = 124 (1/2)? = — M = VM; + M5 + (1/2) 5 M 1 g = tan! (2) = tan”! (<5) = tan”!(2) e yn(t) = ae exp(—t) sen[2t + tan~!(2)] Equacées Diferenciais Ordinarias NAO-HOMOGENEAS: x(t) nao é igual a zero para todo t ayy (t) + an—ay% M(B) +b agy! (8) + aay(E) + ary'(B) + aoy(t) = x(t) Para as EDOs nao-homogéneas, a solucdo é dada por y(t) = yp(t) + ynlt) onde Yp(t) — solugao particular ou resposta forcada yn(t) — solugdo homogénea ou resposta natural A obtengao de y;,(t) ja foi tratada em pardgrafos precedentes. Para obter a solucdo particular, vamos considerar que a entrada x(t) seja x(t) = «exp (Bt) Nesse caso, a resposta particular, y,(t), € dada por yp(t) = Aexp(Bt) onde A = fal e H(B) £0 H(p) p=B Nas expresses anteriores, H(p) é o polindémio caracteristico e H() é 0 valor de H(p) em p = B. VERSAO 0.21- DOCUMENTO GERADO EM 14/10/2021. COMENTARIOS/SUGESTOES: PMOTTA@DCA.UFRN.BR Exemplo 7 Obter a solucdo particular da EDO y(t) + 3y/(t) + 2y(t) = 4exp(t) Solucao: 1. Entrada, x(t) = 4exp(t). Entéo,a =4eB =1 2. Polinémio caracteristico H(p) = p> +3p+2 3. Solugdo particular yp(t) = Aexp(Bt) => yp(t) = A exp(t) e a 4 4 2 A= lap? A= Ha 45 PPP AS entao, yplt) = 5 explult Observe que a solucdo particular NAO requer condic6es iniciais. Exemplo 8 Obter a solucdo total da EDO y'(t) + 2y(t) = 2 — exp(—4t) com condigao inicial y(0) = 1. Solugao: (a) podemos verificar que a entrada x(t) = 2 — exp(—4t) é a superposicao de duas entradas da forma a exp(t). Assim, x(t) = x1(t) + xo(t) = 2exp(0 x t) — exp(—4t) com solugao particular dada por 2 1 WO =¥nl+ U2 = Fes] Gy) OBO VERSAO 0.21- DOCUMENTO GERADO EM 14/10/2021. COMENTARIOS/SUGESTOES: PMOTTA@DCA.UFRN.BR E facil verificar que o polinémio caracteristico da EDO é dado por H(p)=p+2 e, entao, 2 1 = 35] - sya] op-49 4 pt+2 p=0 pt+2 yy ou 1 yp(t) =1+ 5 exp(—4f) (b) Solucgdo homogénea Como o polinémio caracteristico da EDO tem uma raiz real igual a —2, Yn(t) = Coexp(—2t) (c) Solugéo da EDO 1 y(t) = yp(t) + yn(t) = 1+ 5 exp(—4t) + Co exp(—2t1) (d) Aplicando as condicées de iniciais na SOLUGAO TOTAL, obtemos 1 1 y(t) = i + 5 exp(—4t) — 5 exp(-21), u(t) VERSAO 0.21- DOCUMENTO GERADO EM 14/10/2021. COMENTARIOS/SUGESTOES: PMOTTA@DCA.UFRN.BR PSMP - DCA - UFRN O fluxograma mostra o resumo dos procedimentos que apresentamos para obter a solução analítica de equações diferenciais ordinárias homogêneas ou não-homogêneas. EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA CONDIÇÕES INICIAIS POLINÔMIO CARACTERÍSTICO H(p) RAÍZES REAIS DISTINTAS p0, p1, . . . REAIS IGUAIS p0 yh(t) = C0ep0t + C1ep1t + . . . COMPLEXAS σ ± jω yh(t) = A0ep0t + A1tep0t + . . . yh(t) = M1eσt cos(ωt) + M2eσt sen(ωt) x(t) ̸= 0 EDO NÃO-HOMOGÊNEA EDO HOMOGÊNEA y(t) = yh(t) SIM NÃO x(t) = αeβt yp(t) = Aeβt A = α/H(β) y(t) = yp(t) + yh(t) versão 0.21- documento gerado em 14/10/2021. comentários/sugestões: pmotta@dca.ufrn.br PSMP - DCA - UFRN LEITURA COMPLEMENTAR Hwei P. Hsu, Theory and Problems of Signals and Systems, Schaum’s Outline Series, McGraw -Hill, 1995. B. P. Lathi, Linear Systems and Signals, Second Edition, Oxford University Press, 2005. A. V. Oppenheim, A. S. Willsky, S. H. Nawab, Signals and Systems, Second Edition, Pearson Education,1996. versão 0.21- documento gerado em 14/10/2021. comentários/sugestões: pmotta@dca.ufrn.br