Apostila Escoamento Viscoso-2023 1

IPH 01107 : MECANICA DOS FLUIDOS II — IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhaes Endres - 58 - 6 Escoamento Viscoso 6.1 Regimes do numero de Reynolds Mesmo conhecendo equag6es de ... conservacfo de ... massa, quantidade de movimento linear, energia, e estado (para fluidos compressiveis), ainda nao é possivel equacionar e resolver todos os problemas em MecAanica dos Fluidos. Existe grande quantidade de solug6es de problemas particulares via ... computacao digital e dados experimentais. Existe bastante "teoria" (evidéncias experimentais) se nao for considerada a ... viscosidade e compressibilidade. Um escoamento suave e estavel, praticamente sem oscilacg4o de suas propriedades & em regime Laminar pode tornar-se flutuante e agitado, com variacdo temporal aleatéria de V , p, etc. € em regime Turbulento passando por uma Transi¢ao que depende, principalmente, do numero de Reynolds (critico), asperezas dos contornos sdélidos, e perturbagGes no escoamento de entrada, e sobre a qual existe "pouca" teoria e grande quantidade de experimentos. Turbuléncia: Deteccdo > anemémetro de fio quente ( V ), transdutores piezo-elétricos (p), etc. Aparéncia } média estdvel, com oscilag6es aleatérias contendo faixa continua de frequéncias. u u u t t t regime Laminar (baixos Reynolds) Transi¢gao regime Turbulento (altos Reynolds) > pequenas perturbacoes naturais > ocorréncias intermitentes de > oscilacdes = [1% a 20%] da média sao amortecidas rapidamente turbuléncia Figura 6.1: Registro de velocidade instantanea (u) nos diferentes regimes de escoamento Exemplos: Voritica -D R otitico.c.. = —ctitica = esfera_ ~ 950000 € escoamento externo esfera Vv Voritica -D R critico = —critica “ conduto [2000; 4000] € escoamento interno conduto Vv Algumas datas: e Anteriormente a 1930 nao havia instrumentos sensiveis para detectar as rapidas oscilagdes turbulentas e Hagen (alemao) / 1839 (escoamento de 4gua em conduto de latao) "...devem existir dois regimes de , a LQ escoamento viscoso valendo, inicialmente, Ap = (const.) = + (cond. entrada)..." r IPH 01107 : MECANICA DOS FLUIDOS II — IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhaes Endres - 59 - => Hagen desconhecia mas a constante é proporcional a viscosidade do fluido e, quando a vazao excedia um determinado limite (transi¢4o), a expressao falhava "...Ap passa a variar com Q” mas nao posso explicar..." e ~=Reynolds (inglés) / 1883 (injecado de tinta em um escoamento em conduto de se¢4o circular) "...a pVD mudanga de regime depende do valor do parametro ——— ..." U > adota-se, para condutos de secdo transversal circular, Rp (critico) = [2000; 4000] e = Prandtl (alemao) / 1914 "...na fina camada limite que envolve os corpos ocorre transi¢4o..." 6.2 Escoamentos viscosos: Interno X Externo laminares e / ou internos: limitados por fronteiras sdlidas e / ou Escoamentos podem ser om yee . ays turbulentos externos: nao limitado por fronteiras sélidas Os efeitos viscosos no escoamento interno crescem a partir das paredes e atuam sobre todo 0 escoamento externo crescem indefinidamente a partir das paredes |_——>| ‘ camadas limite crescentes | _s pe 7 mes | J we) py gy encontro das camadas limite U 7 | comprimento de entrada (L,) | perfil plenamente desenvolvido 0 regiao de desenvolvimento do perfil Figura 6.2: Desenvolvimento de perfis de velocidade na entrada de um tubo No caso esquematizado na Figura 6.2, exemplo de desenvolvimento de perfis de velocidade na entrada de um tubo com velocidade de aproximagdo Up e diametro D, 0 comprimento de entrada L, = f(D, Up, p, WW) Le _(pUgD pode ser determinado, via andlise dimensional como D = Q| ——— |= o(R D ). Através de u . . . . Le resultados experimentais determina-se para escoamento laminar D = 0,06 (R D ) sendo L.(@maximo) = 138 De L 1 escoamento turbulento D> =4,4(R D % 6.3 Escoamento na camada limite 6.3.1 Introdugao Efeitos viscosos velocidade do fluido relativa as fronteiras s6lidas = 0 ... ..(regiao com velocidade crescendo rapidamente, a partir de zero, aproximando-se, assintoticamente, de Up)... > regio com gradientes de velocidade regiao com tensées de cisalhamento = Camada Limite. IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 60 - 6.3.2 Espessuras características δ : ESPESSURA DA CAMADA LIMITE = distância desde a fronteira sólida até a posição em que u = 0,99U0. δ* : ESPESSURA DE DESLOCAMENTO = distância a que deveria ser deslocada a fronteira sólida para que a mesma vazão volumétrica escoasse pela camada limite no caso de considerar o escoamento invíscuo. Considerando escoamento bidimensional sobre uma placa plana (Figura 6.3): y u U0 y δ x δ* Figura 6.3: Espessura de deslocamento da camada limite vazão volumétrica através da C.L. = ∫ δ vis = 0 u dy q , no escoamento viscoso; e vazão volumétrica através da C.L. = ( * ) 0 inv U q δ − δ = , no escoamento invíscuo; Igualando os termos, obtém-se ∫ δ       − = δ 0 0 * dy U u 1 . θ : ESPESSURA DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO = distância a que deveria ser deslocada a fronteira sólida para que a mesma quantidade de movimento linear escoasse pela camada limite no caso de considerar o escoamento invíscuo. Através de raciocínio análogo ao empregado na definição da espessura de quantidade de movimento, obtém-se ∫ δ       − θ = 0 0 0 dy U u 1 U u 6.4 Camada limite em escoamentos externos 6.4.1 Teoria de Prandtl (1905) Na análise do escoamento externo considerar: • fina camada adjacente à fronteira sólida = camada limite: efeito da viscosidade é importante; e • camada externa do escoamento = escoamento invíscuo: resolução através da Teoria Potencial do Eletromagnetismo e os resultados obtidos, de velocidades e pressões, são condições de contorno para a C.L. Formação da C.L.: Inicia na parte frontal do contorno sólido em regime laminar (suave e estável) e,... ... após uma zona de transição de regime, ... ... se estabelece em regime turbulento (flutuante e agitado). O parâmetro empregado na identificação do regime é o número de Reynolds, na forma ν = U x R 0 x Para valores elevados de Rx ⇒ C.L. fina (δ/x << 1) e p(x) ≈ Ppotencial(x); e ... ... em oposição, para Rx reduzidos, a espessura de deslocamento é grande e a viscosidade tem influência sobre o escoamento externo à C.L. IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 61 - Com base nesta "teoria" são feitas suposições para simplificação da equação de Navier-Stokes visando sua aplicação no interior da C.L. 6.4.2 Equações na camada limite Analisando ordens de grandeza, as variações y x ∂ << ∂ ∂ ∂ . Este resultado, combinado com a análise das equações: • Equação da continuidade (bidimensional) 0 y v x u = ∂ + ∂ ∂ ∂ onde, em termos de ordens de grandeza no interior da C.L., considerando ( ) y ≈ Ο δ e (L) x ≈ Ο , resulta: δ ≈ v L u ⇔ 0 u v ≈ pois δ << L então v << u • Equação de Navier-Stokes (bidimensional) em x:         ∂ + ∂ ∂ + µ ∂ ∂  = − ∂      ∂ ∂ + ∂ ∂ ρ 2 2 2 2 y u x u x p y v u x u u onde, em termos de ordem de grandeza desconsideramos 2 2 x u ∂ ∂ comparado a 2 2 y u ∂ ∂ na expressão em x; e em y:         ∂ + ∂ ∂ ∂ + µ ∂  = − ∂      ∂ ∂ + ∂ ∂ ρ 2 2 2 2 y v x v y p y v v x v u desconsideramos todos os termos que incluem "v" pois v << u (da análise da equação da continuidade), resultando 0 y p = ∂ ∂ ou "p" é função apenas de x. Em conclusão, as equações a serem empregadas na C.L. são: • continuidade: 0 y v x u = ∂ + ∂ ∂ ∂ ; e • Navier-Stokes: 2 2 y u x p y v u x u u ∂ + µ ∂ ∂  = − ∂      ∂ ∂ + ∂ ∂ ρ e o problema a ser resolvido inicia com a determinação da velocidade u(y) para obtenção de δ(x) e τw, conhecidas Ppot(x) e U0(x) (estas duas últimas da solução do escoamento potencial, externo à C.L.). 6.4.3 Escoamento sobre uma placa plana Considerações iniciais: • Do escoamento uniforme sobre placa plana... ... e devido ao paralelismo das linhas de corrente, decorre: 0 dx 0 e dP dx dU0 = = • Na representação do perfil de velocidade trabalha-se com:       δ = f y U u 0 Formação da Camada Limite sobre placa plana: IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 62 - Figura 6.4: Formação da camada limite sobre placa plana (dimensão exagerada na vertical) Conforme a visualização da Figura 6.4, é possível identificar: • camada limite em regime laminar, a partir do bordo de ataque e até ℜx ≈ 3x106 (variável principalmente com condições do escoamento de aproximação, rugosidade da placa e transferência de calor); • transição; e • camada limite turbulenta, com sub-camada viscosa junto à fronteira sólida (importante na determinação de τw). SOLUÇÃO DA CAMADA LIMITE LAMINAR, através dos métodos: Von Kármán (aproximado) Blasius (exato) Solução de Von Kármán x=0 y y Uo Uo x=L x u(x,y) τw(x) δ(x) Figura 6.5: Volume de controle para escoamento na camada limite Na Figura 6.5: VC = entrada + saída + placa + fronteira da CL Aplicando ( ) ∫∫ ⋅ ρ = SC V V dA F r r r r , válido para escoamento em qualquer regime e adotando ( )         δ δ − ≅ 2 2 0 y 2y U ,x y u para (x) y 0 ≤ δ ≤ obtém-se (x) b U 15 2 D(x) 02 δ ρ ≅ solução válida para escoamentos em regime laminar, sendo D(x) = arrasto sobre a placa e b = largura da placa (normal ao desenho). Como o arrasto pode ser obtido pela integração de τw em toda a placa ... ∫ τ = x 0 w (x) dx b D(x) derivando as duas expressões para o arrasto e igualando, teremos ... w 02 dx dD b 1 dx d U 15 2 = τ δ ≅ ρ Por outro lado, a partir do perfil de velocidades podemos calcular ... δ µ =       δ δ − = µ       ∂ = µ ∂ τ = = 0 y 0 2 0 y 0 w U 2 2 y 2 U y u x δ y y U0 camada laminar camada turbulenta transição sub-camada viscosa U0 U0 IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 63 - Combinando as duas expressões para a tensão de cisalhamento na parede ... δ µ δ = ρ 0 02 U 2 dx d U 15 2 ⇔ dx 15 U d 0 ν δ δ = que integrando entre 0 e x resulta ... 2 x 0 0 2 15 1 x x x U x 15 U x 15 2 1 ℜ = ν = ν = δ ou ainda x 2 2 30 x = ℜ δ que resulta na expressão de Von Kármán para CL laminar 2 1 x 5,5 x ℜ δ ≅ . Retornando à expressão para a tensão de cisalhamento na parede δ µ = τ 0 w U 2 com o valor para δ ... 12 12 2 1 x 2 0 0 0 0 x 0 x 0 w U U x 5,5 2 U U x U 5,5 2 x 5,5 U 2 ℜ ρ ρ µ ρ = ρ ℜ µ = ℜ µ = τ , ou seja, ... 2 1 x 2 0 w U ,0 364 ℜ ρ = τ Definindo Coeficiente de Fricção (skin friction): 12 x 2 0 2 1 w f 73 ,0 U C ℜ = ρ τ = Solução de Blasius Blasius utilizou o perfil de velocidades = dη df U u 0 , uma função de η (adimensional) sendo x U y 0 ν η = Substituindo esses valores nas equações da Camada Limite e resolvendo obtém-se os resultados da tabela seguinte, Tabela 6-1: Valores de velocidade do perfil de Blasius η u / U0 η u / U0 η u / U0 η u / U0 0,0 0,0 1,4 0,45627 2,8 0,81152 4,2 0,96696 0,2 0,06641 1,6 0,51676 3,0 0,84605 4,4 0,97587 0,4 0,13277 1,8 0,57477 3,2 0,87609 4,6 0,98269 0,6 0,19894 2,0 0,62977 3,4 0,90177 4,8 0,98779 0,8 0,26471 2,2 0,68132 3,6 0,92333 5,0 0,99155 1,0 0,32979 2,4 0,72899 3,8 0,94112 ...... ..... 1,2 0,39378 2,6 0,77246 4,0 0,95552 ∝ 1,00000 ou em forma de gráfico IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 64 - Figura 6.6: Perfil de velocidade de Blasius Na posição y = δ, devemos ter ,0 99 U u 0 = que ocorre em 0,5 x U0 ≅ ν η = δ , então ν = ν δ = ⇔ ν δ = x U 1 0,5 x x U 1 0,5 x x U 0,5 0 2 0 0 e, finalmente, ... ...a solução exata de Blasius (1908): 2 1 x 0,5 x ℜ δ = Resultados derivados: • 2 1 x 2 0 w U ,0 332 ℜ ρ = τ • 2 1 x f ,0 664 C ℜ = • 2 1 x * ,1 721 x ℜ = δ e 2 1 x ,0 664 x ℜ θ = resultando Fator de Forma = ,2 59 H * θ = = δ (valores elevados estão relacionados ao processo de separação) • e o arrasto sobre a placa plana devido ao trecho laminar, de comprimento L: 2 1 L 2 0 lam. L b ,0 664 U D ℜ ρ = Exemplo: Considere uma placa plana fina, com L = 1 m e b = 3 m, imersa em um escoamento uniforme com U0 = 2,0 m/s, em duas situações de fluidos diferentes: (1) ar [1,23 kg/m3; 1,46x10-5 m2/s]; (2) água [1000 kg/m3; 1,02x10-6 m2/s]. Determinar (a) o arrasto sobre a placa e (b) a espessura da CL no final da placa. Solução: (a-1) arrasto sobre a placa para o ar ℜx no final da placa (x=L): 6 5 5 0 L 0,3 x10 4,1 x10 46x10 ,1 0,1. 0,2 U L < ≅ = ν = ℜ − , portanto, regime laminar IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 65 - arrasto do trecho laminar: ( ) ,0 0262 N x10 4,1 0,1 0,3. 0,2 ,0 664 ,1. 23. D 12 5 2 lam. = = (a-2) arrasto sobre a placa para a água ℜx no final da placa (x=L): 6 6 6 0 L 0,3 x10 0,2 x10 02x10 ,1 0,1. 0,2 U L < ≅ = ν = ℜ − , portanto, regime laminar arrasto do trecho laminar: ( ) ,5 63 N x10 0,2 0,1 0,3. 0,2 ,0 664.1000. D 12 6 2 lam. = = (b-1) espessura da CL no final da placa para o ar ( ) ,0 0134 m x10 4,1 0,1. 0,5 L 0,5 12 12 5 x = = ℜ δ = (b-1) espessura da CL no final da placa para a água ( ) ,0 0035 m x10 0,2 0,1. 0,5 L 0,5 12 12 6 x = = ℜ δ = Observações: • A adoção do valor 3x106 para o número de Reynolds crítico determina o tipo de solução a ser dada no problema, ou seja, valores diferentes deste parâmetro (dentro da faixa de aceitação) podem, até mesmo, alterar o regime de escoamento verificado. Fica claro que é necessário assumir, a priori, uma abordagem de trabalho única; e • Vale salientar que a comparação entre os resultados conduziram, para condições análogas do escoamento, a valores de arrasto, com escoamento de água, superiores a 200 vezes aos obtidos com ar e a espessura da camada limite em torno de 4 vezes maior com escoamento de ar. SOLUÇÃO DA CAMADA LIMITE TURBULENTA: A solução para o arrasto proposta por Von Kármán, através da conservação de quantidade de movimento, fornece em etapa intermediária, antes de supor-se um perfil de velocidades, uma solução para o arrasto, também válida para o escoamento em regime turbulento. Deste resultado obtém-se ( u)dy u U dx d 0 0 w ∫ δ − = ρ τ . Adotando a lei do 1/7 de Prandtl para o perfil de velocidades: y y uscv Uo x u δscv δ y 17 U u 0       δ = • perfil é válido para toda a CL turbulenta, exceto em y = 0 (resultaria τw = ∝) • Junto à parede ocorre a sub-camada viscosa, onde assumimos perfil linear de velocidade Blasius: medições efetuadas em condutos conduziram ao resultado empírico 4 1 0 2 0 w U ,0 228 U       δ ν ρ = τ Comparando [ perfil 1/7 em τw de Von Kármán] = [τw de Blasius] obtém-se dy y y 1 dx d U U 228 U ,0 7 1 0 17 2 0 4 1 0 0 2        δ              − δ = ρ       δ ν ρ ∫ δ , de onde ... IPH 01107 : MECANICA DOS FLUIDOS II — IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhaes Endres - 66 - 5 0,376 oy x % ... que € a estimativa para espessura da C. L. Turbulenta, com x medido apés a transi¢ao ou desde o inicio da placa (sugestao de Prandtl que nao incorre em maiores erros). Resultados derivados: U2 © 1, =0,02962 = nM 0,0592 e C, = ——_ RK’ 5 0,046 e — = x RD e eo arrasto sobre a placa plana, de comprimento L, devido ao trecho em regime turbulento: L x Daun -oompu | = “| Rie Ree’ Para a consideragao dos trechos em regimes Laminar e Turbulento, se for 0 caso, trabalha-se com a soma x am L url das parcelas obtidas, ou seja, D,,., = uff “ T,, dx + I T,, dx | XCR Exemplo: Um hidrofélio com 0,4 m de comprimento e 1,8 m de largura é colocado em um escoamento de dgua (p = 1000 kg/m3; v = 1,02x10° m?/s) a 12 m/s. Determine (a) a espessura da camada limite no final da placa e (b) o arrasto total. Solucdo: (a) espessura da camada limite no final da placa U,L 12,0.0,4 R, no final da placa (x=L): KR, = —o" = ——_— = 4,7x10° > 3,0x10°, portanto, regime Vv 1,02x10 turbulento 0,376 0,376 espessura da camada limite: 6 = ee X= Tones 4 = 0,007 m RY — (47x10°) (b) arrasto total sobre a placa Comprimento do trecho em regime laminar (Kcr = 3x10°) U)x 3,0x10°.1,02x10° Reg =O BX og = = 0,255 Vv 12 portanto, a parcela de arrasto no trecho em regime laminar, colocando Xcr em lugar de L, X 0,255 Dion = 0,664 U,.” b— = 0,664.1000.12,07 18 = 25,34 N RK? (3,0x10°? e a parcela de arrasto no trecho em regime turbulento L x 0,4 0,255 Dib. = 0,037p U,- b 7 “2 = 0,037.1000.12,07.1,8 Toone ten neve =53,75N RF Reg (4,7x10°)> —(3,0x10°) somadas resultam, para o arrasto total, 79,0 N 6.5 Separacao / Arrasto - Sustentacao 6.5.1 Introdugao No caso do escoamento sobre placa plana =» altos valores do nimero de Reynolds & validade da teoria de Prandtl IPH 01107 : MECANICA DOS FLUIDOS II — IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhaes Endres - 67 - > paralelismo das linhas de corrente > os resultados do escoamento potencial sfo validos No caso do escoamento em torno de corpos "rombudos" } Wororsncat ~ VW Rear Examinando, por exemplo, o caso do escoamento uniforme em torno do cilindro fixo, de forma esquemiatica: Woorencia, * W rear R > 200 regiao com separacao Po ( “T= TT s- bP \o ah SS 1) oS oo V pf I V \ PY y PA pressoes decrescentes press6es crescentes gradiente de pressao gradiente de pressao FAVORAVEL DESFAVORAVEL (negativo): dp/dx < 0 (positivo): dp/dx > 0 as linhas de corrente SEPARAM-SE do corpo formacgao de ESTEIRA o arrasto é dado por coeficientes experimentais Examinando os perfis de velocidades na regiao sombreada da figura anterior: ee fern ] ““"""7'4 linha de corrente afasta-se do corpo du _ — =0 : posigao onde dy y=0 ocorre a separacao anc . ; . dp Ocorréncia da separagao: (1) gradiente de press4o adverso ax >0 X ; a _. | du (2) perfil de velocidades normal junto a superficie dy =0 YJ ,-0 IPH 01107 : MECANICA DOS FLUIDOS II — IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhaes Endres - 68 - 6.5.2 Coeficientes de arrasto e sustentagao Os esforcos decorrentes da interagao entre ... FLUIDO EM ESCOAMENTO ¢& CORPO IMERSO ... € avaliada através dos campos de Ty (devido ao efeito viscoso) e p (devido a pressao). Pr UY —_»> p<0 as distribuigdes de Ty e p_ sao —» desconhecidas e buscamos, entdo, os —> a, efeitos destas distribuigdes de tensdes que —» I serao: ? tensdes normais .> —> —> —_»> p>0 & an —» Ty onde —_> a —» x = arrasto, esforco resultante na direcfio —> — paralela ao escoamento nao perturbado; e —> \ tens6es tangenciais , _ —> x = sustentagdo, esforgo resultante na > — < diregao normal ao escoamento nao a perturbado. —> Considerando somente o arrasto: e caso NAO OCORRA SEPARACGAO, = 9, = arrasto de cisalhamento = forga liquida de cisalhamento ¢ caso OCORRA SEPARACAO, A = L,, + 4, = arrasto de cisalhamento + arrasto de forma O arrasto de forma ocorre devido a existéncia da regiao com baixas presses na esteira: Sp > Ay (em geral); e depende, principalmente, de forma do corpo, KX do escoamento e rugosidade do corpo. De maneira geral, ds (camada limite laminar) <f (camada limite turbulenta) Para MesMas condigdes Uo eve > acamada limite turbulenta separa com maior dificuldade, quanto maior for KR entao, para diminuicao do arrasto, sempre que possivel ... > tornar o corpo mais aerodinamico e manter a camada limite laminar; e > se ocorre separacdo, aumentar a rugosidade, com a consequéncia ... By 4 lly Sorat vy O calculo dos esforcos é feito através de coeficientes obtidos experimentalmente ... Co=D/(ChpUyr A) e Ce=2£/ (‘hp Us’ A) ... sendo A a 4rea do corpo projetada sobre o plano normal 4 diregaéo considerada. Sao sugeridos valores dos coeficientes C e Cy em graficos e tabelas disponiveis na literatura recomendada. Por exemplo, no caso de esferas e cilindros lisos que tém estudos mais detalhados, os valores tém a apresentacdo da Figura 6.7: IPH 01107 : MECANICA DOS FLUIDOS II — IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhaes Endres - 69 - 400 100 oN 407— \. 20 ws S 10 ~s C, ‘ sD 4: ~ cilindro liso ° oe ~ 1 TLL —-—_---- ~ 0,4 wn 0,1 A oo tt i Pt i Ps 2468 2 468 2468 .2 468 ,2 468 ,2 468, 2468, 2 468 10" 10° 10! 10° 10° 10° 10° 10° 10’ VD KR, =P UW Figura 6.7: Coeficientes de arrasto em funcao do nimero de Reynolds para esfera e cilindro lisos Para corpos em que o escoamento externo ocorre bidimensionalmente com valores do nimero de Reynolds >10*, consultar a Tabela 6-2. Tabela 6-2: Coeficientes de arrasto para corpos bidimensionais tridngulo equildtero Alguns coeficientes para corpos em que 0 escoamento externo ocorre tridimensionalmente: e pessoa de estatura média: empé > Cy».A = 0,84 ni’ sentada > Cy».A = 0,56 mm? agachada> C».A = 0,23 m’ ° ciclista: ereto (A = 0,51 m’) > Cy=1,1 correndo (A=0,36m’) > C. =0,88 ¢ paraqueda > C.» = 1,2 (baixa porosidade) e — golfinho > Cx = 0,0036 , para R = 6.10° e com base na drea molhada (C5 placa plana = 0,0031) e = passaro > C.» = 0,40 (passaros grandes) Para corpos em que o escoamento externo ocorre tridimensionalmente com valores do ntiimero de Reynolds >10*, consultar a Tabela 6-3. Tabela 6-3: Coeficientes de arrasto para corpos tridimensionais placa retangular forma b/h= 1 Cs=1,18 + SO OSC +) he or >a bh=10 | Co=13 Cr 1,17 1,07 0,81 0,4 1,4 b/h = 20 Cx=1,5 0,5 b/h > co C=2 IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 70 - Exemplo: Um pilar vertical com seção transversal quadrada de lado = 15 cm de lado está submerso em 6,0 m de água que se move com perfil horizontal, uniforme e com velocidade = 1,5 m/s (ρ = 1024 kg/m³; ν = 1,02x10-6 m²/s). Determine o momento no engaste do pilar junto ao fundo devido ao arrasto total. Solução: trata-se de escoamento externo em torno de corpo bidimensional. 4 5 6 0 L 10 2,2 x10 ,1 02x10 15 ,0.5,1 U l > ≅ = ν = ℜ − : aplica-se a Tabela 6-2; Para a forma "quadrado" duas situações podem ocorrer: (a) CD = 2,1 com área A = 0,15 . 6,0 = 0,9 m2; e (b) CD = 1,6 com área A = (0,15 . 21/2) . 6,0 = 1,2728 m2. A pior situação (maior arrasto) ocorre para o caso (b), que resulta D = CD . (1/2 ρ U0 2 A) 2346N ,1. 2728 5,1. 21024 1 6,1 2  =      = e o momento no engaste da base 7038J 2 0,6 2346 = = Exemplo: Um "dragster" com massa = 2000 kg, CD = 0,3 e A = 1 m2, movimenta-se em pista horizontal, no ar (ρ = 1,23 kg/m³; ν = 1,46x10-5 m²/s) e com velocidade = 100 m/s no instante em que para de acelerar e abre um paraqueda de baixa porosidade com CD = 1,2 e D = 2 m.. Considerando somente o arrasto do carro e do paraqueda (desconsidere a aplicação de freios), determine a velocidade atingida e a distância percorrida pelo conjunto 1 segundo após a abertura. Solução: a força responsável pela redução de velocidade é a soma dos arrastos sobre o carro e sobre o paraqueda. partindo de m a. F r r = ou, na direção do movimento - Dcarro - Dparaqueda = - 1/2 ρ . V2 . [(CD . A)carro + (CD . A)paraqueda] = m . dV/dt = ∫ V V 0 V2 dV - α ∫ t 0 dt ... anotando α = 1/2m ρ . [(CD . A)carro + (CD . A)paraqueda] − V = 1 V 1 0 - α. t ou V = V0 / (1 + α . V0 . t) = 1 / {1/V0 + 1/2m ρ . [(CD . A)carro + (CD . A)paraqueda] . t} Neste caso, V = 1 / {1/100 + 1/(2.2000) 1,23 . [(0,3 . 1)carro + (1,2 . π.22/4)paraqueda] . 1} ≅ 88,877 m/s. A distância percorrida, a partir de V = dx/dt = V0 / (1 + α . V0 . t), pode ser obtida com V tdt 1 V dx t 0 0 0 x 0 ∫ ∫ + α = , que resulta ( ) α + α = V t ln 1 x 0 ou, neste exemplo, x ≅ 94,220 m 6.6 Correlações entre velocidades: cisalhamento turbulento Na resolução de problemas com ρ=constante, µ=constante e sem trocas de calor, trabalha-se com as equações: • continuidade: ⋅V = 0 ∇ r r • quantidade de movimento linear: V B p Dt DV 2 r r r r + µ∇ = −∇ + ρ ρ para V r e p, sujeitos a não-deslizamento e condições de entrada/saída conhecidas. IPH 01107 : MECANICA DOS FLUIDOS II — IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhaes Endres -71- As equagoées e condigées sao validas para escoamentos em regimes: laminar, em que nao ha flutuagdes aleatorias; e turbulento, com aplicacao do conceito de médias temporais de Reynolds. 6.6.1 Médias temporais de Reynolds Considerando que, no escoamento turbulento, V = ui + vj + wk e p variam aleatoriamente com a posigdo e tempo, trabalha-se com a decomposicfo U=U+uU'; V=V+V'; W=W+W' e p=ptp', substituidas nas equa¢6es da continuidade e q.m.1., tomando-se suas médias no tempo. _ lft Para uma grandeza genérica a(x,y,z,t), tem-se que: 9D a= ah adt, onde T=periodo de tempo maior do que o periodo de qualquer flutuagdo significativa do escoamento (para gases e 4gua, em condigdes de laboratério, geralmente este periodo é menor do que 5 s); e > a'=a—4a, sendo a'=O0ea"™’ +0 A substituicdo resulta: _. du ov ow © continuidade: —+—+—=0D0:e ox oy Oz e =q.m.l., em x du _du _odu _ou op d({ du —) of ou —\) df. au —,; p| —+u—+VvV—+w— |=—-—+pB, +—] u— —pu'u' |+—]| w——pu'v' |+—]| t——pu'w ot ox oy dz ox ox" Ox dy\ oy dz az sendo ... —pu'u'; —pu'v'e —pu'w' ... correlagdes entre velocidades flutuantes denominadas tensdes turbulentas [F/L’]. Vale salientar que estes termos, assim como os que resultam nas demais diregdes, tém origem a partir da aceleracao convectiva, inicialmente presentes no primeiro membro da equaca4o da q.m.1. Sao grandezas com valores, a priori, desconhecidos e que devem ser obtidos experimentalmente para condigoes especificas de fluxo e geometria. Para escoamentos em tubos e na camada limite a tenso predominante € —Pu'v' associado a diregao y (normal a superficie sdlida, ent&éo a equagdo reduz-se a du _du _du _du) dp ot p| —+u—+v—+w— |=-—+pB, +— ot Ox dy Oz Ox oy Uaminar | Turbulento ou ot * ° ° . 2 * . . sendo T= Ha Pu V , cuja distribuicdo esta representada, em conjunto com a velocidade, na Figura y 6.8. IPH 01107 : MECANICA DOS FLUIDOS II — IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhaes Endres -72- U y y=8(x) y o(X) camada externa ("outer layer") u(x, y) camada de sobreposica4o ("overlap layer") / sub-camada viscosa da parede ("wall layer") kK > Tw Figura 6.8: Distribuicdes tipicas de tensao e velocidades em escoamento turbulento préximo 4 parede. Em termos de ordens de grandeza (8), as parcelas das tensdes podem ser comparadas: e —sub-camada viscosa da parede > OTiam) > 2a3 vezes O(Tur); € e camada externa D> Our.) > 2a3 vezes O(Tam.) 6.6.2 Leis da velocidade SUB-CAMADA VISCOSA DA PAREDE (Prandtl / 1930): U independe de 6, ou seja U=f, (p,u,T,, , y) oe fy) que resulta, via anélise dimensional, —- =u" = F,| —— |=lei da parede ... u Vv ‘ It, . . . ; ..com U =_/—— = velocidade de cisalhamento (ou velocidade de fricgao) [L/T] p De acordo com dados experimentais u~ = y até y =5 CAMADA EXTERNA (Kérméan / 1933): U independe de uL, ou seja (U, —u)= f, (9,7, , y,9) Seg, . U,-u y . . : que resulta, via anélise dimensional, ———— = F, 3 = lei do deficit de velocidade ... u CAMADA DE SOBREPOSICAO (intermediaria) (Millikan / 1937): u=f, [In(y )I a u_i,fuy “cavitent ; que resulta, via ajuste de curva, —- = —In] —— |+B = lei logaritmica (ou lei de u = =K Vv sobreposi¢4o)... a, ee (Uy ee ... Valida a partir de y (2) = 30 com K = 0,41 e B =5, constantes adimensionais Vv experimentais. A representagao grafica das leis de velocidade aparece na Figura 6.9 IPH 01107 : MECANICA DOS FLUIDOS II — IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhaes Endres - 73 - 30 ; _ {positivo gradiente de pressao negativo 25 VA aa 2 7 7 a u+ = 1/K. In(y+) + B u+ 15 ! 2 Ios IL? P x 10 camada de sobreposi¢ao o7 ff 7 ) / o* 4 5 c 0 ow 1 ‘ | 10 100 1000 10000 sub-camada viscosa y+ Figura 6.9: Leis de velocidade do escoamento turbulento proximo a parede Os resultados apresentados na Figura 6.9 constituem um dos "fundamentos" sobre 0 escoamento turbulento cisalhante, apesar de terem sido obtidos apenas com a expressao da velocidade do escoamento obtida experimentalmente. Na resolugao de problemas praticos, verifica-se que: e a lei logaritmica é capaz de aproximar quase todo o perfil de velocidades (exceto em presenga de gradientes de pressdo fortemente crescentes = difusores); e e a lei da parede estende-se a menos de 2 % do perfil. Exemplo: Um escoamento turbulento de ar (p = 1,205 kg/m3; v = 1,51x10° m?/s) em um tubo de se¢iio circular com diametro 0,14 m e perfil plenamente desenvolvido (adotar lei logaritmica), tem velocidade média temporal no eixo do tubo (central) igual a 5 m/s. Determine (a) velocidade de cisalhamento, (b) tensao de cisalhamento na parede e (c) velocidade média na secao transversal. Solucdo: (a) adotando como valida a lei logarftmica e conhecendo U (y=0,07) = 5,0 m/s, tem-se que 50 1 u_ 0,07 _s — =—— In| ———~ |+5 que tem como solugdo u_ = 0,228 m/s us 0,41) \.1,51.10 (b) da definigao de u, resulta x \2 T= p(u ) = 0,063 Pa (c) das definigdes V = Q/A e Q= f, WdA=2T f, a(R-y)dy, sendo dA = r dO dr, R = raio do tubo, r = R-y, dr = -dy, os limites y=R para r=0 e y=0 para r=R, resulta _ 0,07 1 0,228 y _ _ 3 Q=2n J.” 0,228 la In (ee) +5| (0,07-y)dy = 0,0643 mi/s IPH 01107 : MECANICA DOS FLUIDOS II — IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhaes Endres - 74 - O limite inferior de integragdo (sobre a parede) deveria ser, a rigor, o menor valor de y para 0 qual a lei logaritmica é valida. Considerando que a lei linear (u* = y’) é valida até y’ = 5, 0 valor de y correspondente é y = 0,00033 m que, se for empregado, nao resulta diferenga no calculo da vazao quando comparado ao valor com a precisdo apresentada. Com este raciocinio j4 esta havendo exagero (aceitavel?), pois o limite inferior da lei logaritmica é, na verdade, y* = 30. A esta parcela obtida, deveria ser acrescentada, ainda, a parcela de vazao escoada pela sub-camada viscosa que, nesta resolucao, nao foi considerada em fungao de sua pequena significancia nos casos usuais. Sendo assim, V = 0,0643/(z 0,072) = 4,179 m/s (R = 3,9 . 10° > regime turbulento) E interessante observar que na resolucaio desse exemplo, apds admitir como valido um perfil de velocidades e partindo apenas da velocidade em uma posigAo da secao e do didmetro do tubo, foi possivel determinar os parametros de interesse do escoamento turbulento, porém trata-se, apenas, de uma aproximagdo proporcionada pelo perfil experimental da velocidade neste regime de escoamento. Para uma solucao geral do exemplo anterior, a expressao da integral =?nu’ (® [tin (X2 . Q=2nw' f, [-1n ( , ) +B] (R-y)dy, obtida através de integragéo simbdélica (por exemplo via MATLAB), pode ser na forma Q= ~ {R [in (~) +BK-1| y-5 [In (~) +BK- ;| y?I, que integrada para y desde 0 até R resulta _ 20" fp? fin (WR © On (8) ape? = FE {R’ [In (*) +B Ka] 5 [In (2) + 8K 3} 6.7 Escoamento Interno - tubo de se¢ao circular 6.7.1 Introdugao secao | E pi=po+Ap scoamento e permanente, t seciio 2 e 6de fluido incompressivel, ‘ Do e devido a pressdo e / ou gravidade, e emum tubo, e de seco transversal circular, r=R ¢ completamente preenchido, e ¢ com perfil u(r) desenvolvido: ur) Zi Tse, ~~, ; x = direc&o do VC = tubo de corrente + secdes | e 2; wee eee ee eee Vien eee ee eee eee eee ML oscoamento | plano de referéncia horizontal CONTINUIDADE: ENERGIA (sem maquinas ou trocador de calor): Q: = Q =const V. Vo e = = ° portanto v,=V, 4 ot 2, ~ 2 tote 2 +h rw"? pg +8 pg g combinando as duas equacoes resulta h, = 2 + B.) - 2, + Ps) , ou seja, a perda de carga no tubo é igual 4 soma das variacées das Pg Pg energias de posi¢4o e pressdo, ou ainda, igual a variacao da altura da linha de energia. QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR IPH 01107 : MECANICA DOS FLUIDOS II — IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhaes Endres - 75 - a Whe Vpd¥+ ft. VipV -dAJ=F + IfBe d¥ , na diregao do escoamento (x): t ‘ 0 ; , ° a Whe up d¥ = 0), pois 0 escoamento é permanente; ° ff ulpv . dA)= 0 =p V, A, (V2 - V)), pois as velocidades em 1 ¢ 2 sido iguais; ° (F ). = Ap(nR?)-7, (2nR )L , devido as tensdes normais e tangenciais (contrarias ao escoamento), respectivamente; e ° Mh. B,pdv¥= pg(nR? ILsend , a componente do peso. Substituindo resulta Ap(xR?)-7, (22R )L+pgxR*Lseno=0 ecomo Lsend = Az= Z,—Z, 2T,L=ApR+pgRAz ou t, L Ap . 2—— =h, =Az+— que estabelece uma relagdo entre 1, e he que resolve o problema de pg R Pg calcular a perda de carga no tubo, apos estabelecer a relacgao ty = funcado(p, uw, V, D, e) via andalise dimensional > T ~ e —, =funcao} KR, ,— pV D 8T,, . t, L Darcy (Franga / 1857): f =——>. Substituindo t, na expressio da perda de carga h, = 2—~— pv pg R resulta fpV° L h, = pPY & ou ainda 8p2g 2R LV ; h, =f ——— expressio de Darcy - Weisbach (Franga - Alemanha), D 2g ou férmula universal (ou férmula racional) para a perda de carga no tubo para escoamentos em regimes laminar ou turbulento (resta a determinag4o de f). A expressao pode ser adaptada para aplicagéo em condutos com seg¢ao transversal qualquer. 6.7.2 Equagoes do movimento Analisando a equagao da CONTINUIDADE (em coordenadas cilindricas): ld 1d du 19 y,)st 2 (v,)4 2 <0 r or r 00 Oz > o segundo termo do 1° membro é nulo pois nao consideramos a ocorréncia de velocidade tangencial; e > o terceiro termo do 1° membro é nulo pois u é fungao de r e nao de z. _ ld Sendo assim, Tor (r V. ) =0 ou (r V. ) = const. Como, na parede, r=R e V, = 0, entio const. = 0 e, Tr or finalmente, V, = 0, em toda a secAo transversal. Analisando a equagio da CONSERVACAO DE Q.MLL. (em coordenadas cilfndricas) com escoamento em carater permanente e u = u(r): d ld —~PyoB +-S(rt)=0 dx r or > sendo B, = g, = g sen d = componente da aceleraco gravitacional na direg4o do escoamento ... IPH 01107 : MECANICA DOS FLUIDOS II — IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhaes Endres - 76 - lod d d ; -~—(rt)=—(p—pgxseno)=—(p+pgz), pois (Xo - X;) sen = Z) - Zy r or dx dx 1d > integrando esta expressao e sabendo que t= 0 emr =0, resulta T= a (p +p gz) . X a d oe ; E interessante observar que dx (p +pg z) = perda unitaéria de energia e, portanto, X t=(const)r mostrando que o cisalhamento varia linearmente com r, seja para escoamento em regime laminar ou turbulento. ; ; ; ; tT L Ap . Além disso, da expressao obtida na aplicagio da QML integral 2—~— =h, = Az+—, ja pgR Pg , R Ap+pgAz tinhamos que T,, = ——-——_———— 2 L 6.7.3 Solucgao para escoamento laminar . du d oes gs Partindo de T=W— e K=— (p +pg z) = perda unitaria de energia, ficamos com ... dr dx dul u—=—rK ou dr 2 1K du =—r—dr, que integrada resulta 2 u 1,K u=—r°>—+C, 4 ou 1,.K 1R°K Como, na parede, r = Re u = 0, entdo O= —R? —+C, e C, =-—-——. 4 wu 4 u Substituindo ... 1) d 22 os u=— —-—(p + p gz) (R —r ) = escoamento de Hagen - Poiseuille (1859), ... 4u| dx ... solugao exata para escoamento laminar plenamente desenvolvido em um tubo (paraboloide com valor zero na parede) ... R*| d .. Sendo U,... =— —_—(p + pgz) no centro do tubo (r = 0). 4u| dx Outros resultados derivados para: > VAZAO 2 r Sendo Q= Juda eu=u,,,,.{ 1-— | entao... nN R 4 Uinax -p2 wR d .. Q=—™ TR? = ——_| -— (p+ pgz) 2 8u dx > VELOCIDADE MEDIA Sendo V=Q/A... . W = Umax / 2 > VARIACAO DA PRESSAO no tubo horizontal (Az = 0) mR'| . “previ LQ Sendo Q= 8 ~ 5 PI obtém-se a forma jé prevista por Hagen (1839) Ap =const we U X IPH 01107 : MECANICA DOS FLUIDOS II — IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhaes Endres -77- 8u L mR > TENSAO DE CISALHAMENTO NA PAREDE du r Sendo T, =|M—| ce u=u,,,,| |-—, |, entio... dr |, R use w Ty, = 2a R => COEFICIENTE DE PERDA DE CARGA "f" 8T, _, Sendo f = <7? substituindo T,, resulta pV 8 /( 2uu... 8 /( 2u 8 (8uV) 64u f= 5 -|=—> —2V =| Esau. pV R pV. % pV’ \ D pVD 64 fan =— Rp => PERDA DE CARGA LV a Sendo h, =f ———., substituindo fiam resulta D 2g 64u L V* LL h,= ho a39F i= y pVD D 2g pgD que demonstra a proporcionalidade linear entre a perda de carga e a velocidade do escoamento em conduto de secAo circular em regime laminar. 6.7.4 Solugao para escoamento turbulento + 1c: lowaritm: ua) _ 1) | a (R-1) Retornando 8 lei logaritmica com y = R - r, temos ——~ = —ln} ————— |+B .... u K Vv ... que resulta, para a velocidade média V = Q/ A, utilizando o resultado da vazao Q obtido no exemplo do item 6.6.2 ... V= g _ 2 ] wR +BK-1 , ] wR +BK , “aR? K lL \ v “yap Vy “2 Adotando K = 0,41 , B =5,0 e isolando Viu , resulta V uR — = 2,44 In) —— |+1,34 u Vv e\2 8t, « [t . u V_ |pv’ _ {8 Sendo que f =—“ eu =,/— entio f =8} — | ou —=,/—— = /-.. pV p Vv u T,, f uR u%V ivDu 1 f Além disso, pode-se reescrever —_— =—_ DT FETT —RKy = v v V2vV 2 8 Substituindo as duas tultimas expressdes resulta 8 la ff 1 =| =2,44In| —%,,,{— ]+134 ou ..-=0,86 In (Rp f /2) -1,02 ... ow ainda ... f 2 °V8 ple 1 y ... a expressdo obtida por Prandtl (1935) A =1,99 log(®, f? J-1,02, 2 IPH 01107 : MECANICA DOS FLUIDOS II — IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhaes Endres - 78 - . . i, ie 1 y, ... que ajustada a valores experimentais mais recentes modifica-se para 72 =2,0log\X, f? J—0,8 2 Esta ultima expressao é aceita para tubos de parede lisa. Calculando a velocidade média através da lei logaritmica, obtivemos uma relacao entre o coeficiente de perda de carga e o numero de Reynolds. u(r) 1, /u(R-r _ Da __expressio original ua) =—In w (R=) +B, avaliando u(O)=u,,,,, obtém-se u K Vv | Una 1+1,33VE mostrando que V/Uma, >> 0,5, como ocorre no caso do escoamento em regime laminar. Comparando os perfis bidimensionais de velocidade do escoamento nos dois regimes, observa-se que, no regime turbulento o perfil é achatado no centro, caindo rapidamente a zero préximo As paredes, diferentemente do regime laminar com padrao parabdlico. 6.7.5 Efeito das paredes rugosas Segundo COULOMB (1800), existe o efeito da rugosidade sobre a perda por friccao, sendo desconsideravel para escoamento em regime laminar em tubos e importante para escoamento em regime turbulento; ec Segundo NIKURADSE (1933), considerando uma altura "e" da rugosidade, trabalha-se com trés diferentes situagdes, que sao: ue a ; e —<5 > escoamento hidraulicamente liso, onde a rugosidade nao afeta a perda por friccdo; Vv we e 5<—<70 > rugosidade de transicio, com efeito moderado do ntimero de Reynolds; e Vv we a ¢ —>70 »® escoamento hidraulicamente rugoso, onde a sub-camada viscosa esté totalmente Vv partida e a perda por friccao independe do ntimero de Reynolds. Para este ultimo caso, do escoamento hidraulicamente rugoso, é valido o perfil de velocidades na forma u 1 <== In (2) +B, , onde K=0,41 eB. =8,5. u K e Seguindo procedimento andlogo a solugdo algébrica do exemplo no item 6.6.2, agora com o perfil de velocidades do escoamento hidraulicamente rugoso, obtém-se ... V D 1 © = 2,44 In| — ]+3,2 ecomo V/u" = (8/£)"” resulta = - 0,86 In (~) a. u e f /o 3,7 ar 1 % ... ou ainda, valido para escoamento turbulento rugoso, a =—2,0log 37 2 COLEBROOK (1939), propde a expresso tinica 1 g 2,51 <r = -2.0log oer f 3,7 Kf” equivalente as anteriores 1 =2 Olog(® f” )- 0,8 (liso) e 1 =—2,0log a (rugoso), e q f ¥, —-—) D > f %, = > 3,7 g > valida, inclusive, na rugosidade de transi¢Ao. IPH 01107 : MECÂNICA DOS FLUIDOS II – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 79 - 6.7.6 Diagrama de Moody Uma alternativa gráfica para a obtenção do valor do coeficiente de perda de carga é o diagrama de Moody (1944) apresentado na Figura 6.10: • em torno de 15 % de exatidão; • pode ser empregado para condutos de seção transversal circular ou não; e • pode ser empregado para condutos de seção fechada ou aberta. OBSERVAÇÃO: O gráfico apresentado na Figura 6.10 foi obtido a partir da plotagem de valores calculados com a expressão de Colebrook. Figura 6.10: Diagrama de Moody 2 3 4 5 6789 2 3 4 5 6789 2 3 4 5 6789 2 3 4 5 6789 1E+3 1E+4 1E+5 1E+6 1E+7 Número de Reynolds [R ] 0.010 0.100 Fator de Perda de Carga [f] Rugosidade Relativa [e/D] 0,05 0,04 0,03 0,02 0,015 0,01 0,008 0,006 0,004 0,002 0,001 0,0008 0,0006 0,0004 0,0002 0,0001 0,00005 0,00001 f = 64 / R TRANSIÇÃO 0.020 0.030 0.040 0.050 0.060 0.070 0.080 0.090 D D