Teorema da Função Inversa Submersões e Imersões - Notas de Aula

Introdução Aplicação de Teorema de Função Inversa 1 Teorema local das submersões 2 Teorema local das imersões 3 Teorema da função implícita 4 Teorema da função inversa Loucura e DP Dee Jr 0 Teorema da Função Inversa Teorema Sejam Uℝm um aberto e fUℝm uma aplicação de classe Ck 1k tal que em um ponto x₀U fx₀Lℝm é um isomorfismo Então f é um difeomorfismo de classe Ck de uma vizinhança V de x₀ sobre uma vizinhança W de fx₀ Uma breve explicação f de classe Ck x₀U tal que fx₀ é um isomorfismo linear Aqui fx₀ é a derivada de f no ponto x₀ ou o diferencial em outra notação fxℝmℝm Então existe f¹WV e f¹ é de classe Ck Forma local das submersões Definição Seja Uℝm um aberto Uma aplicação diferenciável fUℝn é dita uma submersão se para todo xU a derivada fxℝmℝn é sobrejetiva Claramente devemos ter mn Teorema forma local das submersões Sejam Uℝmn um aberto e fUℝn uma função de classe Ck k1 Suponha que para algum z₀U fz₀ℝmnℝn é sobrejetiva Dada uma qualquer decomposição em soma direta ℝmn EF com z₀x₀y₀ tal que ₂fz₀ fz₀F Fℝn é um isomorfismo existe um difeomorfismo hVWZ de classe Ck tal que fhxw w para todo xwVW onde Vx₀ é aberto em E Wfz₀ é aberto em ℝn e Zz₀ é aberto em ℝmn ZU Explicando este teorema i ℝmn U f fz₀ ℝn fz₀ é sobrejetiva Decomponha EF ℝmn ii E F fz₀ℝn iii fhxww Em i As suposições fUℝmnℝn fz₀ sobrejetiva Em ii As hipóteses decomponha ℝmn EF fz₀F é isomorfismo Em iii As conclusões existência do difeomorfismo h Em outras palavras a forma local das submersões é de certa forma uma generalização do Teorema da Função Inversa para o caso em que há diferença nas dimensões sendo o espaço do domínio com dimensão maior f URmn Rn Neste caso não existe z₀ U fx₀ é isomorfismo então usamos a função h como definida para criar a aplicação fh sendo h difeomorfismo Forma Local das Imersões Definição Seja URm um aberto Uma aplicação diferenciável f U Rn é dita uma imersão quando para cada x U a derivada fx Rm Rn é uma aplicação linear injetiva Claramente devese ter m n Teorema Forma Local das Imersões Sejam URm um aberto e f U Rmn de classe Ck k 1 Suponha que existe x₀ U tal que fx₀ Rm Rmn é injetiva Então existe um difeomorfismo de classe Ck h Z V W de uma vizinhança Z de fx₀ sobre u abertos V W Rm Rn x₀ V 0 W fV Z tal que hfx x 0 para cada x V Explicação hipóteses e suposições f U Rmn x₀ U fx₀ injetiva conclusões hf é uma projeção h é difeomorfismo Na forma local das imersões ocorre o oposto da forma local das submersões neste caso a dimensão do domínio é menor do que a dimensão do contradomínio Assim construímos um difeomorfismo h₁ de modo que h₁f se comporte como uma projeção como uma espécie de inversa para f pois esta não possui uma aplicação inversa Teorema da Função Implícita Teorema Seja g Rmk Rk de classe C1 Para x Rm e y Rk escreva gxy Considere o sistema de k equações gxy c Se g𝑥𝑦 c e a matriz kk Dy g 𝑥𝑦 é invertível então existe uma função de classe C1 𝑦 Rm Rk definida na bola aberta Brx Rm com r 0 de modo que gx 𝑦 x c x Brx e 𝑦 𝑦 𝑥 Ainda mais D𝑦 𝑥 Dy g𝑥 𝑦1 Dx g 𝑥 𝑦 Explicação g Rmk Rk gxy c gx 𝑦 x c 𝑦 𝑦 x De modo simples o Teo da Função Implícita é uma ferramenta para derivar funções em suas curvas de nível Isto é assim como no R2 gxy 0 procuramos encontrar yx Exemplo gxy x2 y2 1 0 Usualmente aplicamos a derivada ddx e usamos a regra da cadeia Em dimensões superiores podem ter complicações tornandose assim muito útil o Teo da Função Implícita O Teorema da Função Implícita segue do Teorema da Função Inversa Aplicação Vamos apresentar uma aplicação do Teorema da Função Implícita e com isso sendo também aplicação do Teorema da Função Inversa A aplicação é na área de geometria Definição Dizemos que M Rn é uma subvariedade de dimensão k se para todo p M existe uma vizinhança de p W Rn tal que M W é difeomorfo a Rk Definição Seja f Rn Rm uma aplicação Ck k 1 Um ponto p Rm é dito um valor regular de f se a f¹p a aplicação fa Rn Rm é sobrejetora Proposição Seja f Rnm Rm uma aplicação C com f0 0 Suponha que 0 é valor regular para f Então f¹0 é uma subvariedade de dimensão n Dem Seja p px py f¹0 px Rn py Rm Temos que fp 0 fp é sobrejetora Então a partir de matrizes de permutação podemos assumir que fp é invertível Pelo Teo da Função Implícita existem vizinhanças V W e z de px py e 0 respectivamente e uma função C¹ ϕ V W tal que xf¹0 yϕx Define Uf¹ 0 VW 0 Z Rⁿ 0 E também ψ U O poroso ψx ϕxx0 u difeomorfis mo é apenas uma projeção