Mini Teste de Cálculo 4

2 15 pt Seja ft uma função satisfazendo Let fts 1 s 4 1 e seja gt t e3 t ft Determine G10 onde Gs é a transformada de Laplace de gt 18 7 142 7 8 5 102 5 6 2 42 2 3 3 62 3 4 136 Sejam fx sin5x 5 sin6x 6 sin7x 5 cos2x 4 cos4x 3 cos9x e gx 3 sin3x 2 sin6x sinkx 4 cos5x 7 cos8x 7 Determine k tal que fg 4π onde fg from π to π fx gx dx Digite o valor de k embaixo Resposta 0 Se f IR IR é uma função periódica e g R R é uma função qualquer não necessariamente periódica então podemos garantir que a composta hx gfx é Escolha uma opção a Seccionalmente contínua o b Par c Nenhuma das outras opções apresenta uma propriedade garantida de hx d Igual a sua série de Fourier e Ímpar f Periódica 1 15 pt Abaixo vemos um recorte do gráfico de uma função periódica Se escrevermos esta função como uma Series de Fourier qual é o coeficiente do termo sen2πx 25π 425π2 43π 49π2 449π2 65π 825π2 49π2 12π Solução Let fts 1 s 4 1 Lembremos que Ltk ft 1k dkdsk Lft Nosso caso Gs Lgt Lt e3t ft dds Le3t ft dds Le et ft dds Let fts4 dds 1 s 8 1 0 12 s 812 s 8 12 12 s 812 s 8 12 Logo G10 12 12 2 12 1 22 3 22 1 62 8 2 2 2 62 82 2 12 82 2 422 3 Logo fx sen 5x 5 sen 6x 6 sen 7x 5 cos 2x 4 cos 2x 3 cos 9x gx 3 sen 3x 2 sen 6x sen kx 4 cos 5x 7 cos 8x 77 cos 6x 4π f g from π to π fx gx dx 4π 0 10π from π to π sen kx fx dx 0 0 6π from π to π sen kx sen 5x 5 sen 6x 6 sen 7x 5 cos 2x 4 cos 2x 3 cos 9x dx 0 pairs from π to π sen mx cos mx 0 6π from π to π sen kx sen 5x 5 sen 6x 6 sen 7x dx k7 já que from π to π sen mx sen nx 0 if mn π if m n Portanto k 7 Solução f periódica e g qualquer hxgfx Como f é periódica existe T 0 tal que fxT fx x ℝ Agora hxT gfxT gfx hx hxT hx x ℝ logo h é periódica Solução Lembremos que Ortogonalidade de Seno e Coseno L to L CosmπxL CosnπxL dx 0 m n 2L m n L to L SenmπxL SennπxL dx 0 m n L m n L to L COzmπxL SennπxL dx 0 mn Em particular π to π Cosmx Cosnx dx 0 m n π m n π to π Senmx Sennx dx 0 m n π m n π to π Cosmx Sennx dx 0 mn Solução Notemos que a função é impar e o periodo é T4 a série de Fourien fx Σ n1 to bn SennπxL ① onde bn 2L 0 to L fx sennπxLdx Logo bn 22 0 to 2 fx sennπx2 dx onde do gráfico fx 2x 0 x 1 0 1 x 2 bn 0 to 2 fx Sennπx2 dx bn 0 to 1 2x Sennπx2 dx bn 22xnπ Cosnπx2 0 to 1 0 to 1 2nπCosnπx2 dx partes u 2 x du dx dv sennπx2 dx v 2nπ Cosnπx2 bn 6nπCosnπ2 4nπ 4nπ Sennπ2 0 to 1 bn 6nπ Cosnπ2 4nπ 4n²π² Sennπ2 6nπ1ⁿ 4nπ 4n²π² Sennπ2 Logo em ① fx Σ n1 to 81ⁿnπ 4nπ Sennπx2 Para Sen2πx n22 n4 b4 64π 44π 0 24π 12π