Introdução a Sistemas Lineares e Operações com Matrizes

SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES Universidade Federal Rural da Amazônia O que são conjuntos de equações lineares as incógnitas aparecem elevadas à primeira potência pertinentes a dado problema natural Designamos as incógnitas variáveis cujos valores desejase descobrir por n é portanto o número de incógnitas Designamos os coeficientes números reais que multiplicam as incógnitas por o primeiro índice indica a qual das equações pertence o coeficiente o segundo índice mostra qual das incógnitas o coeficiente multiplica x1x2x3xn a11 a12 a31 ELEMENTOS DE UMA MATRIZ Os chamados termos independentes são assim designados são números que comparecem nas equações e não multiplicam as incógnitas Um sistema geral é portanto assim construído b1b2b3bn O sistema pode ser apresentado em forma matricial Quando montamos uma matriz a partir da junção da matriz dos coeficientes com a coluna dos termos independentes temos a matriz associada ao sistema A Matriz Associada detém toda a informação do sistema OPERAÇÕES COM LINHAS A realização das seguintes operações não altera o conteúdo matemático do sistema Em outras palavras Escalonamento Os recursos possíveis para zerar os coeficientes são 1 Multiplicar uma linha da matriz por um número real 2 Substituir uma linha pela soma dela com qualquer outra do sistema 3 Trocar a posição de duas linhas Exemplo de 1 ou na forma associada 2x13x2 2 1 2 2x11 2 3x2 1 2 2 2 3 2 1 32 1 Exemplo de 2 i i ii ii i i ii iiiii A equação i permanece a mesma A equação ii dá lugar a uma nova equação ii que é a soma de i com ii Na forma associada estas operações são 2x1x2 2 x1x2 1 2x1x2 2 3x1 3 2 1 2 1 1 1 2 1 2 21 11 21 2 1 2 3 0 3 Quanto a 3 a troca de duas linhas equivale apenas a considerar as equacões em ordens trocadas o que não afeta nada 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 ESCALONAMENTO É a técnica de eliminação de coeficientes a partir das operações com linhas Objetivo forma escada 13 Matriz na forma escalonada reduzida por linhas Exemplos Exemplo 21 não é forma escada Não vale c Exemplo 22 é forma escada Como obter a forma escada Roteiro 1 Reduza o primeiro elemento nãonulo da linha a 1 através de multiplicação por escalar 2 Elimine os outros elementos da mesma coluna através de soma de linhas 3 Reproduza o mesmo procedimento para outras colunas Exemplos Exemplo2 Exemplo 3 SOLUÇÕES A partir da formaescada temos a solução do sistema Basta recobrar a forma matricial Exemplo1 Exemplo2 O método do escalonamento para resolver um sistema linear cuja matriz completa é C consiste em encontrar uma matriz C tal que C seja linhaequivalente a C e o sistema cuja matriz é C já explice seu conjunto solução Para tanto essa matriz deverá estar na forma escada Exemplo Resolvamos o sistema 2x 3y z 6 4x 2z 1 x y 3z 0 que tem a seguinte matriz completa 2 3 1 6 4 0 2 1 1 1 3 0 Devemos operar essa matriz com linhas de maneira a deixar a matriz dos coeficientes na forma escada Assim o sistema inicial é equivalente a x 121 y 116 Portanto está resolvido z 2542