Lista de Exercícios Resolvidos - Sistemas Lineares e Álgebra Linear

Lista de Sistemas Lineares Algebra Linear outubro2022 Utilize nestas questoes seus algarismos estudantis Eles sao os trˆes ultimos algarismos de seu numero de matrıcula O ultimo algarismo de seu numero de matrıcula e c o penultimo e b e o antepenultimo e a Numero de matrıcula a b c Exemplo O numero de matrıcula de Esquilo e 2020102345 Portanto para Esquilo a3 b4 c5 1 Questao 1 Considere os seguintes sistemas de duas equacoes a Primeiro sistema 2 ax c 1y b 1 a 1x b 3y c 2 b Segundo Sistema a bx c 1y 0 3 b cx a 3y 1 4 Construa a matriz ampliada associada a cada um destes sistemas escalone e encontre a formaescada extraindo ao fim as solucoes 2 Questao 2 Alguem deseja planejar a execucao da seguinte reacao quımica xH2 yCO2 zHa1CO Nela uma quantidade x de hidrogˆenio molecular juntase a uma quantidade y de dioxido de carbono CO2 para formar uma quantia z de 1 Ha1CO onde a e um de seus algarismos do numero de matrıcula O bal anceamento prevˆe que a conservacao do numero de atomos deve prescrever os vınculos Vınculo 1 hidrogˆenio atˆomico 2x a1z Vınculo 2 oxigˆenio atˆomico 2y z Vınculo 3 carbono atˆomico y z Rearranjando como um sistema de variaveis teremos a 2x a1z 0 b 2y z 0 c y z 0 Pedimos a partir deste sistema rearranjado encontre a formaescada e inter prete as relacoes atraves das solucoes entre as quantias x y e z das substˆancias Que tipo de sistema numero de solucoes e este A reacao ocorre 3 Questao 3 Resolva os seguintes sistemas dando o numero de solucoes e a tipologia i ax by c bx cy a cx ay b ii ax by cz 0 ay bz 1 iii x y bz ct a 2x ay 2t w b x az 2w c 2 1 q 4 b 4 e c 6 a 2x 7y 4 5x 7y 6 Fazendo a matriz ampliada temos 2 7 4 5 7 6 x L2 L2 5L12 2 7 4 0 212 6 Então temos 21y2 6 y 3221 Para o x temos 2x 4 7y 2x 4 73221 x 103 logo é solução do sistema x 103 e y 3221 wwwcadersilcombr 1 b 8x 7y 0 2x 7y 1 Fazendo a matriz ampliada temos 8 7 0 2 7 1 L2 L2 L14 8 7 0 0 214 1 Então temos 214 y 1 y 421 Para o x temos 8x 7y 8x 7421 x 16 Então é solução do sistema x 16 e y 421 wwwcadersilcombr 2 2x 5z 0 2y z 0 y z 0 Fazendo a matriz ampliada do sistema 2 0 5 0 0 2 1 0 0 1 1 0 L3 L3 12 L2 2 0 5 0 0 2 1 0 0 0 12 0 Então temos que z2 0 z 0 2y z 2y 0 y 0 2x 5z 2x 0 x 0 O sistema é compatível e determinado e existe apenas uma solução sendo ela x y z 0 Dessa forma a reação não ocorre wwwcadersilcombr 3 a 4x 4y 6 4y 5y 4 6x 4y 4 Fazendo a matriz ampliada 4 4 6 4 6 4 6 4 4 Calculando o posto L2 L2 L1 L3 L3 3 L1 2 4 4 6 0 10 2 0 2 13 L3 L3 1 L2 5 4 4 6 0 10 2 0 0 635 Então posto igual a 3 Para a matriz dos coeficientes temos 4 4 4 6 6 4 Para matriz dos coeficiente vemos que na forma escada ira ficar na forma 3a 4 4 0 10 0 0 obs podemos ver pela matriz ampliada Então posto da matriz dos coeficientes 2 logo como posto da matriz dos coeficientes é diferente do posto da matriz ampliada Então o sistema é incompatível e indeterminado Não existe solução b 4x 4y 6z 0 4y 4z 1 Fazendo a matriz ampliada 4 4 6 0 0 4 4 1 Vemos que a matriz ampliada já está na forma escada Então tem posto igual a 3 A matriz dos coeficientes é dada por 4 4 6 0 4 4 Também já esta na forma escada e tem posto igual a 2 O posto da ampliada é igual ao posto dos coeficientes mas não é igual ao número de incógnitas O sistema é compatível e indeterminado Existem infinitas soluções 3 c x y 4z 6t 4 2x 4y 2t W 4 x y z 2w 6 Fazendo a matriz ampliada 1 1 4 6 0 4 2 4 0 2 1 4 1 0 4 0 2 6 L2 L2 2 L1 L3 L3 L1 1 1 4 6 0 4 0 6 8 10 1 4 0 1 0 6 2 10 L3 L3 1 L2 6 1 1 4 6 0 4 0 6 8 10 1 4 0 0 43 133 116 283 Então temos posto 3 Para a matriz dos coeficientes 1 1 4 6 0 2 4 0 2 1 1 0 4 0 2 Como podemos observar na matriz dos coeficientes na forma escada será 1 1 4 6 0 0 6 8 10 1 0 0 43 133 116 3c Então temos que o posto é igual a 3 Como o posto da ampliada é igual ao posto dos coeficientes mas é diferente ao número de incógnitos O sistema é compatível e indeterminado Existem infinitas soluções