Lista de Exercícios Resolvidos: Sistemas Lineares e Álgebra Linear - Aplicação com Algarismos Estudantis

Lista de Sistemas Lineares Algebra Linear outubro2022 Utilize nestas questoes seus algarismos estudantis Eles sao os trˆes ultimos algarismos de seu numero de matrıcula O ultimo algarismo de seu numero de matrıcula e c o penultimo e b e o antepenultimo e a Numero de matrıcula a b c Exemplo O numero de matrıcula de Esquilo e 2020102345 Portanto para Esquilo a3 b4 c5 1 Questao 1 Considere os seguintes sistemas de duas equacoes a Primeiro sistema 2 ax c 1y b 1 a 1x b 3y c 2 b Segundo Sistema a bx c 1y 0 3 b cx a 3y 1 4 Construa a matriz ampliada associada a cada um destes sistemas escalone e encontre a formaescada extraindo ao fim as solucoes 2 Questao 2 Alguem deseja planejar a execucao da seguinte reacao quımica xH2 yCO2 zHa1CO Nela uma quantidade x de hidrogˆenio molecular juntase a uma quantidade y de dioxido de carbono CO2 para formar uma quantia z de 1 Ha1CO onde a e um de seus algarismos do numero de matrıcula O bal anceamento prevˆe que a conservacao do numero de atomos deve prescrever os vınculos Vınculo 1 hidrogˆenio atˆomico 2x a1z Vınculo 2 oxigˆenio atˆomico 2y z Vınculo 3 carbono atˆomico y z Rearranjando como um sistema de variaveis teremos a 2x a1z 0 b 2y z 0 c y z 0 Pedimos a partir deste sistema rearranjado encontre a formaescada e inter prete as relacoes atraves das solucoes entre as quantias x y e z das substˆancias Que tipo de sistema numero de solucoes e este A reacao ocorre 3 Questao 3 Resolva os seguintes sistemas dando o numero de solucoes e a tipologia i ax by c bx cy a cx ay b ii ax by cz 0 ay bz 1 iii x y bz ct a 2x ay 2t w b x az 2w c 2 Número de matrícula 2 0 2 2 0 1 0 2 7 7 A 2 B 7 C 7 Questão 1 A B Questão 2 Sistema possível determinado porém por se tratar de uma reação sem nenhum reagente ou produto a reação não ocorre pois não existe proporção em que os átomos se arranjem Questão 3 A Logo o sistema não possui solução Sistema impossível não possui solução B Sistema possível indeterminado possui infinitas soluções C Sistema possível indeterminado com infinitas soluções Conteúdo 2 Equações lineares definição e solução Sistema de equações lineares definição e classificações sistema linear homogêneo e não homogêneo possível determinado possível indeterminado e impossível características O que é uma equação linear Uma equação linear é uma equação onde suas variáveis x1 x2 xn estão elevadas a potência 1 e a11 a12 ann são coeficientes constantes Já um sistema de equações lineares é um conjunto de equações que determinam ou não uma solução para tais variáveis Quando as equações lineares se igualam a zero temos uma equação homogênea e caso contrário está equação é nãohomogênea Caso um sistema de equações possua uma solução ela será possível caso contrário será um sistema impossível ou inconsistente Caracteristicas O sistema possível e determinado SPD possui uma única solução Isso ocorre quando o posto da matriz é completo ou quando o número de equações é igual ao número de incógnitas exemplo O sistema possível indeterminado possui infinitas soluções isso acontece quando o posto da matriz não é completo mas não ocorre nenhum absurdo para o sistema o número de equações é menor que o número de incógnitas Exemplo E o sistema impossível é aquele onde ocorre um absurdo por exemplo Como se resolve um sistema linear Método do escalonamento O método do escalonamento consiste em colocar os coeficientes de cada variável em uma matriz juntamente dos valores após o igual e através de operações DE LINHA criar uma matriz triangular superior de forma a resolver o sistema ao escalonar surge um termo que se chama pivô o pivô é o coeficiente que inicia a sequência de uma linha após zeros Façamos um exemplo A matriz desse sistema linear será perceba que os números após a igualdade entram na matriz essa matriz é chamada de matriz aumentada Ela já está escalonada pois já é triangular superior e seus pivôs são 11 e 3 O número de pivôs é associado ao posto da matriz esta matriz tem posto 3 pois possui 3 pivôs Exemplificando o processo de escalonamento seja a matriz aumentada dada a seguir Perceba que a matriz ao final é uma matriz triangular superior de posto 3 como a matriz de coeficientes é de dimensão 3 o posto é igual a dimensão então possui solução como dito antes posto cheio Através disso é possível montar um sistema associado a última matriz e substituindo valores é possível resolvêla Conteúdo 4 Matriz inversa definição matriz singular ou não invertível características propriedades da matriz inversa determinação da inversa utilizando operações elementares sobre linhas da matriz aumentada A matriz inversa é a matriz da qual quando multiplicada pela matriz original é igual a identidade 𝐴 𝐴1 𝐼 Por exemplo Nem toda matriz possuirá uma inversa o que determina ou não se uma matriz possui inversa é o seu determinante Caso o determinante da matriz seja igual a zero ela será não invertível ou nãosingular Caso o determinante da matriz seja diferente de zero ela será invertível ou singular Algumas propriedades da inversa devem ser notadas 𝐴11 𝐴 𝐴1𝑇 𝐴𝑇1 Quando a matriz for ortogonal 𝐴𝑇 𝐴1 E det𝐴1 1 det𝐴 Existem algumas formas de se determinar a inversa e uma delas é utilizando produto de matrizes elementares a matrizes elementares são matrizes de operações de linha O método para fazer é Expanda a matriz desejada com a identidade ao lado e faça operações de linha até transformar a matriz original na identidade Esse método funciona com qualquer matriz e é conhecido como método da Gauss ou eliminação de Gauss Conteúdo 5 Determinantes definição cálculo propriedades Cálculo do determinante pelo Teorema de Laplace Matriz Adjunta Determinantes e matrizes inversas Resolução de sistemas lineares pela Regra de Cramer O determinante é uma quantificação de uma matriz pode ser usada pra calcular volume por exemplo quando usada com vetores ou mais adiante aprendese o conceito de autovetores e autovalores e por ai vai O determinante se calcula através de uma permutação de elementos de linhas ou colunas No caso três por três ou dois por dois o cálculo é mais simples pois o número de escolhas de elementos de linha e coluna para a permutação é menor Propriedades 𝐷𝑒𝑡𝐴𝐵 det𝐴 det𝐵 det𝐴𝑡 det𝐴 det𝐴1 1 det𝐴 Como calcular determinante 1 Método de Sarrus Este método consiste em uma fórmula que trabalha diagonais Esse método funciona com qualquer matriz 3x3 ou 2x2 2 Método de Laplace O método de Laplace requer a definição de novas definições sobre matrizes e determinantes Cofator é o determinante de uma matriz quando retiradas a linha e a coluna com o qual ela pertence multiplicado por 1 elevado ao número de sua coluna mais o número de sua linha ou seja O método de Laplace é justamente a expansão de cofatores multiplicados pelos elementos em uma linha ou coluna de escolha por exemplo Ver exercícios resolvidos Uso de determinante e cofator para cálculo da inversa A formula resumida para o calculo da inversa é A adjunta é justamente a transposta da matriz composta pelos cofatores Conteúdo 7 Espaços vetoriais definição estrutura e propriedades exemplos reta plano cartesiano espaço cartesiano espaços das matrizes dos polinômios Subespaços vetoriais definição estrutura características Espaços vetoriais são um conjunto de elementos quaisquer que obedecem aos seguintes axiomas quando determinados por soma e produto O espaço vetorial nulo 0 é um espaço vetorial o Rn ou vetores com n componentes é um espaço vetorial sequências infinitas matrizes funções todas são espaços vetoriais pois obedecem a esses axiomas Já um subespaço só necessita obedecer 1 6 e a existência do elemento nulo no seu conjunto para que seja considerado um subespaço um subespaço nada mais é do que um subconjunto de um espaço vetorial