Lista de Exercicios Sistemas Lineares Algebra Linear

Lista de Sistemas Lineares Algebra Linear outubro2022 Utilize nestas questoes seus algarismos estudantis Eles sao os trˆes ultimos algarismos de seu numero de matrıcula O ultimo algarismo de seu numero de matrıcula e c o penultimo e b e o antepenultimo e a Numero de matrıcula a b c Exemplo O numero de matrıcula de Esquilo e 2020102345 Portanto para Esquilo a3 b4 c5 1 Questao 1 Considere os seguintes sistemas de duas equacoes a Primeiro sistema 2 ax c 1y b 1 a 1x b 3y c 2 b Segundo Sistema a bx c 1y 0 3 b cx a 3y 1 4 Construa a matriz ampliada associada a cada um destes sistemas escalone e encontre a formaescada extraindo ao fim as solucoes 2 Questao 2 Alguem deseja planejar a execucao da seguinte reacao quımica xH2 yCO2 zHa1CO Nela uma quantidade x de hidrogˆenio molecular juntase a uma quantidade y de dioxido de carbono CO2 para formar uma quantia z de 1 Ha1CO onde a e um de seus algarismos do numero de matrıcula O bal anceamento prevˆe que a conservacao do numero de atomos deve prescrever os vınculos Vınculo 1 hidrogˆenio atˆomico 2x a1z Vınculo 2 oxigˆenio atˆomico 2y z Vınculo 3 carbono atˆomico y z Rearranjando como um sistema de variaveis teremos a 2x a1z 0 b 2y z 0 c y z 0 Pedimos a partir deste sistema rearranjado encontre a formaescada e inter prete as relacoes atraves das solucoes entre as quantias x y e z das substˆancias Que tipo de sistema numero de solucoes e este A reacao ocorre 3 Questao 3 Resolva os seguintes sistemas dando o numero de solucoes e a tipologia i ax by c bx cy a cx ay b ii ax by cz 0 ay bz 1 iii x y bz ct a 2x ay 2t w b x az 2w c 2 Dados a5 b2 c6 Questão 1 Resolveremos os seguinte sistemas Considere os seguintes sistemas de duas equações a Primeiro sistema 2 ax c 1y b a 1x b 3y c b Segundo Sistema a bx c 1y 0 b cx a 3y 1 Construa a matriz ampliada associada a cada um destes sistemas escalone e encontre a formaescada extraindo ao fim as soluções Solução do item a Para a 5 b 2 e c 6 temos o seguinte sistema 3x 7y 2 4x 5y 6 1 A matriz ampliada do sistema é 3 7 2 4 5 6 Agora vamos escolar a matriz onde as operações de cada linha serão denotadas por Li Lj onde i e j são índices que indicam as respectivas linhas da matriz e serão postas abaixo da seta Com efeito 3 7 2 4 5 6 L2 43L1 L2 3 7 2 0 433 103 Como a matriz já está em forma escada temos que a solução para a variável y que é dada por 433 y 103 y 1043 Na primeira equação do sistema teremos 3x 7y 2 3x 71043 2 3x 7043 2 3x 15643 x 5243 E a solução do sistema é x 5243 e y 1043 Solução do item b Agora para o sistema b com a 5 b 2 c 6 temos 7x 7y 0 4x 8y 1 2 A matriz ampliada do sistema é 7 7 0 4 8 1 Agora vamos escolar a matriz onde as operações de cada linha serão denotadas por Li Lj onde i e j são índices que indicam as respectivas linhas da matriz e serão postas abaixo da seta Com efeito 7 7 0 4 8 1 L2 47 L1 7 7 0 0 4 1 Como a matriz já está em forma escada temos que a solução para a variável y que é dada por 4y 1 y 14 Na primeira equação do sistema teremos 7x 7y 0 x y 0 x y 14 3 E a solução do sistema é x 14 e y 14 Questão 2 Alguém deseja planejar a execução da seguinte reação química xH2 yCO2 zHa1CO Nela uma quantidade x de hidrogênio molecular juntase a uma quantidade y de dióxido de carbono CO2 para formar uma quantia z de Ha1CO onde aé um de seus algarismos do número de matrícula O balanceamento prevê que a conservação do número de átomos deve preservar os vínculos Vínculo 1 hidrogênio atômico 2x a 1z Vínculo 2 oxigênio atômico 2y z Vínculo 3 carbono atômico y z Rearranjando como um sistema de variáveis teremos a 2x a 1z 0 b 2y z 0 c y z 0 Pedimos a partir deste sistema rearranjado encontre a formaescada e interprete as relações através das soluções entre as quantias x y e z das substâncias Que tipo de sistema número de soluções é este A reação ocorre Solução O sistema em questão para a 5 b 2 c 6 temos o seguinte 2x 6z 0 2y z 0 y z 0 4 Vamos escrever a matriz ampliada do sistema e escrevermos o sistema em forma escada com efeito 2 0 6 0 0 2 1 0 0 1 1 0 Agora vamos escolar a matriz onde as operações de cada linha serão denotadas por Li Lj onde i e j são índices que indicam as respectivas linhas da matriz e serão postas abaixo da seta Com efeito 2 0 6 0 0 2 1 0 0 1 1 0 L32L1 2 0 6 0 0 2 1 0 0 0 1 0 e de imediato conseguimos obter o sistema na forma escada Com isso em sistema teremos 2x 6z 0 2y z 0 z 0 5 a última equação nos fornece que z 0 pondo na segunda teremos y z 2 0 e na primeira 2x 6z 0 x 2z 0 Logo o sistema é possível e determinado com solução única dada por 0 0 0 Portanto não há como a reação ocorrer essa solução provavelmente nos revela sobre a impossibilidade dessa reação química ser possível e essa modelagem feita não descreve bem o sistema 1 Questão 3 Resolva os seguintes sistemas dando o número de soluções e a tipologia i ax by c bx cy a cx ay b ii ax by cz 0 ay bz 1 iii x y bz ct a 2x a y 2t w b x a z 2w c 3 Solução do sistema i Para a 5 b 2 c 6 o sistema se torna 5x 2y 6 2x 6y 5 6x 5y 2 6 Vamos escrever a matriz ampliada do sistema e escrevermos o sistema em forma escada com efeito 5 2 6 2 6 5 6 5 2 Agora vamos escolar a matriz onde as operações de cada linha serão denotadas por Li Lj onde i e j são índices que indicam as respectivas linhas da matriz e serão postas abaixo da seta Com efeito 5 2 6 2 6 5 6 5 2 L2 15 L1 L3 56 L1 5 2 6 0 345 135 0 133 405 L3 1334 L2 5 2 6 0 345 135 0 0 27934 Logo o sistema é impossível de fato basta ver que os postos das matrizes são distintos isso é a quantidade de linhas não nulas é diferente em relação a matriz ampliada e dos coeficientes pois temos posto5 2 6 2 6 5 6 5 2 posto5 2 6 0 345 135 0 0 27934 3 posto5 2 6 2 6 5 posto5 2 0 345 0 0 2 logo o sistema é impossível e não possui solução Solução do item ii Pondo a 5 b 2 e c 6 temos 5x 2y 6z 0 5y 2z 1 7 O sistema acima tem três incógnitas e duas equações Logo é um sistema possível e indeterminado isto é admite infinitas soluções De fato vamos buscar as formas das soluções desse sistema com efeito isolando y na segunda equação temos y 15 25 z pondo na primeira equação teremos 5x 2 15 25 z 6z 0 5x 25 45 z 6z 0 5x 25 265 z 0 x 225 2625 z 0 Logo as soluções do sistema são as triplas x y z tais que x y z 225 2625 z 15 25 z z 225 15 0 z 2625 25 1 para z R Solução do item iii Pondo a 5 e b 2 e c 6 temos o seguinte sistema x y 2z 6t 5 2x 5y 2t w 2 x 5z 2w 6 Vamos escrever a matriz ampliada do sistema e escrevermos o sistema em forma escada com efeito 1 1 2 6 0 5 2 5 0 2 1 2 1 0 5 0 2 6 Agora vamos escolar a matriz onde as operações de cada linha serão denotadas por Li Lj onde i e j são índices que indicam as respectivas linhas da matriz e serão postas abaixo da seta Com efeito 1 1 3 9 0 3 2 3 0 2 1 3 1 0 3 0 2 3 L22L1L2 1 1 2 6 0 5 0 7 4 10 1 8 1 0 5 0 2 6 Novamente temos 1 1 2 6 0 5 0 7 4 10 1 8 1 0 5 0 2 6 L3L1L3 1 1 2 6 0 5 0 7 4 10 1 8 0 1 3 6 2 11 Continuando o processo teremos 1 1 2 6 0 5 0 7 4 10 1 8 0 1 3 6 2 11 L317L2L3 1 1 2 6 0 5 0 7 4 10 1 8 0 0 257 327 137 697 Logo veja que os postos das matrizes são iguais no entanto há um número diferente de incógnitas isto é variáveis Logo o sistema é possível e indeterminado há infinitas soluções de fato para os postos temos Posto 1 1 2 6 0 5 2 5 0 2 1 2 1 0 5 0 2 6 Posto 1 1 2 6 0 5 0 7 4 10 1 8 0 0 257 327 137 697 3 Posto 1 1 2 6 0 5 2 5 0 2 1 1 0 5 0 2 Posto 1 1 2 6 0 5 0 7 4 10 1 0 0 257 327 137 3 Isto é O posto dos sistemas é igual mas há mais variáveis do que o valor do posto Portanto o sistema é possível e indeterminado Agora vamos determinar uma forma para essas soluções Do sistema escalonado temos x y 2z 6t 5 7y 4z 10t w 8 25z 32t 13w 69 8 temos então que isolando w na última equação 25z 32t 13w 69 13w 25z 32t 69 w 2513z 3213t 6913 Ponto W na segunda equação temos 7y 4z 10t w 8 7y 4z 10t 2513z 3213t 6913 8 7y 7713 z 9813 t 3513 7y 7713 z 9813 t 3513 y 1113 z 1413 t 513 Por fim determinaremos x na primeira equação pondo y e w já determinados Com efeito x y 2z 6t 5 x 1113 z 1413 t 513 2z 6t 5 x 1513 z 6413 t 6013 x 1513 z 6413 t 6013 Portanto a solução do sistema linear é dada por x 15 13z 64 13t 60 13 y 11 13z 14 13t 5 13 w 25 13z 32 13t 69 13 z z t t com z t R Como o sistema tem 5 variáveis e apenas 2 equações logo há dois graus de liberdade aqui colocamos esses como sendo z e t 7