Lista de Exercícios Resolvidos - Teoria dos Conjuntos - Demonstrações e Propriedades

Exercícios 26 ptos Demonstre por demonstração direta que para todo conjunto X Y Z X Y Z X Y Z 27 ptos Demonstre por demonstração direta e por casos que para todo conjunto X Y Z se Z X então X Y Z X Y Z 27 ptos Demonstre por contradição e por casos que para todo conjunto XY se X Y X Y Y X então X Y Demonstre por prova direta que para todo conjunto X Y Z X Y Z X Y Z Demonstração Primeiro observe que se X Y conjuntos então X Y X Yc De fato x X Y x X e x Y x X e x Yc x X Yc Logo X Y X Yc Por outro lado x X Yc x X e x Yc x X e x Y x X Y Logo X Y X Yc Portanto X Y X Yc Logo X Y Z X Y Zc X Yc Zc Assim queremos demonstrar X Y Z X Yc Zc X Yc Zc vale associatividade Suponha que x X Y Z Então x X e x Y Z Como x Y Z então x Y e x Z Logo x Yc e x Zc ou seja x Yc Zc Assim temos x X e x Yc Zc Portanto x X Yc Zc Concluímos então X Y Z X Yc Zc Por outro lado se x X Yc Zc Então x X x Yc e x Zc implicando x X x Y e x Z ou seja x X e x Y Z Logo x X Y Z Obtemos então X Y Z X Yc Zc Portanto x y z x y x z x y z Demonstre por prova direta e por casos que para todo conjunto X Y Z se Z X então X Y Z X Y Z Demonstração Se x X Y Z então x X Y ou x Z i Se x X Y então x X e x Y logo x X Y X Z X Y Z Então x X Y Z Portanto X Y Z X Y Z ii Se x Z então x X Pois Z X logo x X Z implicando x X Y X Z X Y Z Portanto X Y Z X Y Z Demonstre por contradição e por casos que para todo conjunto X Y Se X Y X Y Y X então X Y Observação Para demonstração usaremos a seguinte propriedade complemento da interseção X Y conjuntos Então X Yc Xc Yc De fato x X Yc x X Y x X e x Y x Xc e x Yc x Xc Yc Logo X Yc Xc Yc Por outro lado x Xc Yc x Xc ou x Yc x X ou x Y x X Yc Logo X Yc Xc Yc Demonstração do questão sejam X Y conjuntos tais que X U Y X Y U Y X suponha que X n Y Se x X U Y então x X ou x Y i suponha que x X como X n Y existe x X tal que x X n Y Logo x X n Yc Xc U Yc implicando pela Obs x X Y U Y X contradição Pois por hipótese X U Y X Y U Y X Logo X n Y ii Analogamente suponha que x Y como X n Y existe x Y tal que x X n Y Assim x X n Yc Xc U Yc implicando pela Obs x X Y U Y X contradição Pois por hipótese X U Y X Y U Y X Logo X n Y Portanto X n Y