Ementa e Conteúdos de Álgebra Linear 2022.2

ALGEBRA LINEAR 20222 MATRIZES 17012023 Universidade Federal Rural do SemiÁrido Departamento de Ciências Naturais Matemática e estatística DCME Professora Valdenize Lopes 1 Ementa Matrizes Determinantes Sistemas Lineares Espaços Vetoriais Combinações Lineares Transformações Lineares Autovalores e Autovetores Programa Geral da Disciplina Disponível no SIGAA Livro Texto Álgebra Linear Boldrini Datas das Avaliações 16022023 Avaliação da Unidade I 06042023 Avaliação da Unidade II 16052023 Avaliação da Unidade III 180520123 Reposições 23052023 Avaliação Final 2 APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA MME 1822 20222 Escolher 5 discentes da turma e listar em uma tabela os seguintes dados Curso no qual está matriculado Há quantos semestres está na UFERSA Em quantas disciplinas está matriculado neste semestre UM EXERCÍCIO INICIAL 3 TABELA Curso Semestres Disciplinas Discente 1 Discente 2 Discente 3 Discente 4 Discente 5 4 Definição 01 Uma matriz 𝑚 𝑛 é a representação matemática de uma tabela com elementos dispostos em 𝑚 linhas e 𝑛 colunas Observação 01 Se todos os elementos da tabela forem números reais teremos uma matriz real Exemplo 01 A matriz que representa a tabela do exercício inicial é do tipo 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎51 𝑎52 𝑎53 5x3 DEFINIÇÃO 5 Uma matriz real 𝑚 𝑛 pode representada por A𝑚𝑛 𝑎11 𝑎1𝑗 𝑎1𝑛 𝑎𝑖1 𝑎𝑖𝑗 𝑎𝑖𝑛 𝑎𝑚1 𝑎𝑚𝑗 𝑎𝑚𝑛 𝑎𝑖𝑗 𝑚𝑛 Observações 1 O índice 𝑖 referese a 𝑖 ésima linha e o índice 𝑗 referese a 𝑗 ésima coluna da matriz 2 A diagonal constituída pelos elementos 𝑎𝑖𝑗 𝑖 𝑗 é chamada Diagonal Principal 6 7 IGUALDADE DE MATRIZES Definição 02 Dizemos que duas matrizes 𝐴𝑚𝑛 e 𝐵𝑝𝑞 são iguais quando elas possuem o mesmo numero de linhas 𝑚 𝑝 o mesmo número de colunas 𝑛 𝑞 e todos os elementos correspondentes iguais 𝑎𝑖𝑗 𝑏𝑖𝑗 Exemplo 02 𝑡𝑔45 1 22 9 ln 1 5 1 1 4 3 0 5 Matriz Quadrada Possui o mesmo número de linhas e colunas 𝑎𝑖𝑗 𝑚𝑚 𝑎𝑖𝑗 𝑚 Exemplo 03 1 2 0 1 Matriz Nula Possui apenas elementos nulos 𝑂 𝑎𝑖𝑗 𝑚𝑛 𝑎𝑖𝑗 0 𝑖 𝑗 Exemplo 04 0 0 0 0 0 0 8 MATRIZES ESPECIAIS Matriz Coluna Possui apenas uma coluna 𝑎𝑖𝑗 𝑚1 Exemplo 05 1 0 2 Matriz Linha Possui apenas uma linha 𝑎𝑖𝑗 1𝑛 Exemplo 06 2 3 5 9 Matriz Diagonal É uma matriz quadrada na qual os elementos que não pertencem à diagonal principal são todos iguais a zero 𝑎𝑖𝑗 𝑚 𝑎𝑖𝑗 0 𝑖 𝑗 Exemplo 07 1 0 0 0 2 0 0 0 1 Matriz Identidade Quadrada É uma matriz diagonal na qual todos os elementos da diagonal principal são iguais a um 𝐼 𝑎𝑖𝑗 𝑚 𝑎𝑖𝑗 0 𝑖 𝑗 1 𝑖 𝑗 Exemplo 08 1 0 0 0 1 0 0 0 1 10 Matriz Triangular Superior É uma matriz quadrada na qual todos os elementos que estão abaixo da diagonal principal são iguais a zero 𝑎𝑖𝑗 𝑚 𝑎𝑖𝑗 0 𝑖 𝑗 Exemplo 09 1 8 0 0 2 7 0 0 1 Matriz Triangular Inferior É uma matriz quadrada na qual todos os elementos que estão acima da diagonal principal são iguais a zero 𝑎𝑖𝑗 𝑚 𝑎𝑖𝑗 0 𝑖 𝑗 Exemplo 10 1 0 0 8 2 0 0 7 1 11 Matriz Simétrica É uma matriz quadrada satisfazendo 𝑎𝑖𝑗 𝑚 𝑎𝑖𝑗 𝑎𝑗𝑖 𝑖 𝑗 Exemplo 11 1 0 1 0 2 3 1 3 1 Matriz AntiSimétrica É uma matriz quadrada satisfazendo 𝑎𝑖𝑗 𝑚 𝑎𝑖𝑗 𝑎𝑗𝑖 𝑖 𝑗 Observe que neste caso 𝑎𝑖𝑖 0 𝑖 Exemplo 12 0 2 1 2 0 3 1 3 0 12 Adição A soma de duas matrizes 𝐴 𝑎𝑖𝑗𝑚𝑛 e 𝐵 𝑏𝑖𝑗𝑚𝑛 é uma matriz 𝐶 𝑐𝑖𝑗 𝑚𝑛 tal que 𝑐𝑖𝑗 𝑎𝑖𝑗 𝑏𝑖𝑗 𝑖 𝑗 Exemplo 13 1 0 1 0 2 3 1 3 1 0 2 1 2 0 3 1 3 0 1 2 0 2 2 0 2 6 1 Propriedades Se 𝐴 𝐵 e 𝐶 são matrizes de ordem 𝑚 𝑛 e 𝑂 é a matriz nula de mesma ordem então 𝑖 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴 𝑖𝑖 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 𝐵 𝐶 𝑖𝑖𝑖 𝐴 𝑂 𝐴 13 OPERAÇÕES COM MATRIZES Multiplicação por Escalar A multiplicação de um escalar 𝑘 ℝ por uma matriz 𝐴 𝑎𝑖𝑗𝑚𝑛 é uma matriz 𝐷 𝑑𝑖𝑗 𝑚𝑛 tal que 𝑑𝑖𝑗 𝑘 𝑎𝑖𝑗 𝑖 𝑗 Exemplo 14 3 1 0 1 0 2 3 1 3 1 3 0 3 0 6 9 3 9 3 14 Propriedades da Multiplicação por Escalar Se 𝐴 e 𝐵 são matrizes de ordem 𝑚 𝑛 𝑂 é a matriz nula de mesma ordem e 𝑘 𝑘1 𝑘2 ℝ então 𝑖 𝑘 𝐴 𝐵 𝑘𝐴 𝑘𝐵 𝑖𝑖 𝑘1 𝑘2 𝐴 𝑘1𝐴 𝑘2𝐴 𝑖𝑖𝑖 0 𝐴 𝑂 𝑖𝑣 𝑘1 𝑘2𝐴 𝑘1𝑘2 𝐴 15 Transposição A transposta de uma matriz 𝐴 𝑎𝑖𝑗𝑚𝑛 é uma matriz representada por 𝐴𝑡 𝑏𝑖𝑗𝑛𝑚 tal que 𝑏𝑖𝑗 𝑎𝑗𝑖 𝑖 𝑗 Exemplo 15 A 1 5 0 4 2 7 2 3 1 𝐴𝑡 1 4 2 5 2 3 0 7 1 Exemplo 16 A 1 2 3 4 5 6 𝐴𝑡 1 4 2 5 3 6 16 Propriedades da Transposição de Matrizes 𝑖 𝐴 𝐵 𝑡 𝐴𝑡 𝐵𝑡 𝑖𝑖 𝑘𝐴 𝑡 𝑘𝐴𝑡 𝑖𝑖𝑖 𝐴𝑡 𝑡 𝐴 Proposição 01 𝐴 é simétrica se e somente se 𝐴 𝐴𝑡 17 Multiplicação de Matrizes O produto de duas matrizes 𝐴 𝑎𝑖𝑘𝑚𝑛 e 𝐵 𝑏𝑘𝑗𝑛𝑝 é uma matriz 𝐶 𝑐𝑖𝑗 𝑚𝑝 tal que 𝑐𝑖𝑗 𝑎𝑖𝑘𝑏𝑘𝑗 𝑛 𝑘1 𝑎𝑖1 𝑏1𝑗 𝑎𝑖2𝑏2𝑗 𝑎𝑖𝑘𝑏𝑘𝑗 𝑎𝑖𝑛 𝑏𝑛𝑗 𝑖 𝑗 A𝑚𝑛 𝑎11 𝑎1𝑘 𝑎1𝑛 𝑎𝑖1 𝑎𝑖𝑘 𝑎𝑖𝑛 𝑎𝑚1 𝑎𝑚𝑘 𝑎𝑚𝑛 𝐵𝑛𝑝 𝑏11 𝑏1𝑗 𝑏1𝑝 𝑏𝑘1 𝑏𝑘𝑗 𝑏𝑘𝑝 𝑏𝑛1 𝑏𝑛𝑗 𝑏𝑛𝑝 18 Exemplo 17 Se 𝐴 1 0 1 0 2 3 1 3 1 e B 0 2 1 2 0 3 1 3 0 então 𝐴 𝐵 1 5 1 1 9 6 7 1 10 19 Propriedades da Multiplicação de Matrizes 𝑖 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝑖𝑖 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝑖𝑖𝑖 𝐴𝐵 𝐶 𝐴 𝐵𝐶 𝑖𝑣 𝐴𝐼 𝐼𝐴 𝐴 𝑣 𝑂 𝐴 𝑂 e 𝐴 𝑂 𝑂 𝑣𝑖 𝐸𝑚 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑙 𝐴𝐵 𝐵𝐴 𝑣𝑖𝑖 𝐴𝐵 𝑡 𝐵𝑡𝐴𝑡 Observação Os símbolos 𝐼 e 𝑂 são utilizados para representar respectivamente as matrizes identidades e nulas de quaisquer ordens 20 Capítulo 1 do Livro Texto Exercícios de 01 à 18 p 11 14 21 EXERCÍCIOS