Espaços Vetoriais: Conceitos e Aplicações

ALGEBRA LINEAR 20222 ESPAÇOS VETORIAIS Universidade Federal Rural do SemiÁrido Centro de Ciências Exatas e Naturais CCEN Departamento de Ciências Naturais Matemática e Estatística DCME Prof Valdenize Lopes 1 US COLUMBIA 1981 Fonte httpswwwcnnbrasilcombr Vídeo do lançamento httpsyoutubePt6Bt1pZ4Is Voo Espacial e Sistemas de Controle Com doze andares de altura e pesando 75 toneladas o US Columbia partiu majestosamente de sua plataforma de lançamento numa manhã fresca de um domingo 12 de abril de 1981 em Palm Beach na FlóridaUS Produto de dez anos de intensa pesquisa e desenvolvimento o primeiro ônibus espacial dos EUA foi uma vitória da engenharia de controle de sistemas envolvendo muitas áreas da engenharia aeronáutica química elétrica hidráulica e mecânica EXEMPLO INTRODUTÓRIO Os sistemas de controle do ônibus espacial são absolutamente críticos para o voo Como o ônibus espacial é uma aeronave instável ele requer um constante monitoramento por computador durante o voo atmosférico O sistema de controle de voo envia uma sequência de comandos para as superfícies de controle aerodinâmico e 44 jatos de propulsão Matematicamente os sinais de entrada e saída de um sistema de engenharia são funções É importante para as aplicações que essas funções possam ser somadas e multiplicadas por escalares Essas operações em funções têm propriedades algébricas que são completamente análogas às operações de soma de vetores e multiplicação de vetor por escalar no ℝ𝑛 Por este motivo o conjunto de todas as entradas possíveis funções é chamado de um espaço vetorial Texto extraído e adaptado do Livro Álgebra Linear e suas aplicações David C Lay 2ª edição LTC Definição 01 Um espaço vetorial real é um conjunto 𝑉 não vazio munido de duas operações 1 soma associa a cada par de vetores 𝑢 e 𝑣 em 𝑉 um vetor 𝑟 𝑢 𝑣 𝑉 e 2 multiplicação por escalar associa a cada número real 𝜆 e cada vetor 𝑣 em 𝑉 um vetor 𝑟 𝜆𝑣 𝑉 satisfazendo para quaisquer que sejam 𝑢 𝑣 𝑤 𝑉 e 𝜆1 𝜆2 ℝ todas as seguintes propriedades Espaço Vetorial I 𝑢 𝑣 𝑤 𝑢 𝑣 𝑤 II 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 III 0 𝑉 𝑢 0 𝑢 0 é chamado vetor nulo IV 𝑢 𝑉 𝑢 𝑢 0 V 𝜆 𝑢 𝑣 𝜆𝑢 𝜆𝑣 VI 𝜆1 𝜆2 𝑢 𝜆1𝑢 𝜆2𝑢 VII 𝜆1𝜆2 𝑢 𝜆1𝜆2𝑢 VIII 1 𝑢 𝑢 Exemplo 01 O plano euclidiano ℝ2 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 ℝ com a soma e a multiplicação por escalar usuais Exemplo 02 O espaço euclidiano tridimensional ℝ3 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 ℝ com a soma e a multiplicação por escalar usuais Exemplo 03 O espaço euclidiano 𝑛 dimensional ℝ𝑛 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 𝑥𝑖 ℝ com a soma e a multiplicação por escalar usuais Exemplos de Espaços Vetoriais Exemplo 04 O conjunto das matrizes reais 𝑚 𝑛 𝑀 𝑚 𝑛 com a soma e a multiplicação por escalar usuais Exemplo 05 O conjunto dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a 𝑛 𝑃𝑛 𝑎𝑛𝑥𝑛 𝑎𝑛1𝑥𝑛1 𝑎1𝑥 𝑎0 𝑎𝑖 ℝ com as operações de soma de polinômios e multiplicação de polinômios por escalares reais Definição 02 Dado um espaço vetorial 𝑉 um subconjunto 𝑊 de 𝑉 não vazio é chamado subespaço vetorial de 𝑽 se para quaisquer que sejam 𝑢 𝑣 𝑊 e 𝜆 ℝ as seguintes condições forem satisfeitas I 𝑢 𝑣 𝑊 II 𝜆𝑣 𝑊 Subespaço Vetorial Exemplo 06 As retas no plano euclidiano que passam pela origem Exemplo 07 As retas no espaço euclidiano que passam pela origem Exemplo 08 Os planos no espaço euclidiano que passam pela origem Exemplo 09 O conjunto solução de um sistema linear homogêneo com 𝑚 equações e 𝑛 incógnitas é um subespaço vetorial de 𝑀𝑛 1 Observação Todo espaço vetorial 𝑉 possui pelo menos dois subespaços vetoriais chamados triviais o próprio 𝑉 e o subespaço formado apenas pelo vetor nulo de 𝑉 Exemplos de Subespaços Vetoriais Exemplo 10 Retas e planos nos espaços euclidianos que não passam pela origem Exemplo 11 Conjunto solução de um sistema não homogêneo Observação Uma condição necessária mas não suficiente para que um subconjunto 𝑊 de um espaço vetorial 𝑉 seja um subespaço é que ele contenha o vetor nulo de 𝑉 Exemplos de Conjuntos que não são Subespaços Teorema 01 A intersecção de dois subespaços de um espaço vetorial 𝑉 é um subespaço vetorial de 𝑉 Exemplo 12 O subespaço das matrizes diagonais de ordem 𝑛 é a intersecção dos subespaços das matrizes triangulares inferiores e superiores de mesma ordem Intersecção de Subespaços Teorema 02 Sejam 𝑊1 e 𝑊2 subespaços de 𝑉 O conjunto 𝑊1 𝑊2 𝑣 𝑉 𝑣 𝑣1 𝑣2 𝑣1 𝑊1 𝑒 𝑣2 𝑊2 é um subespaço de 𝑉 Quando 𝑊1 𝑊2 0 dizemos que a soma 𝑊1 𝑊2 é direta e representamos por 𝑊1 𝑊2 Exemplo 13 ℝ2 𝑊1 𝑊2 com 𝑊1 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑦 0 e 𝑊2 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑥 0 Soma de Subespaços Definição 03 Sejam 𝑉 um espaço vetorial real 𝑣1 𝑣2 𝑣𝑛 vetores de 𝑉 e 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛 números reais O vetor 𝑣 𝑉 tal que 𝑣 𝑎1𝑣1 𝑎2𝑣2 𝑎𝑛𝑣𝑛 é chamado combinação linear dos vetores 𝑣1 𝑣2 𝑣𝑛 Os números reais 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛 são chamados coeficientes da combinação Exemplo 14 𝑣 327 é combinação linear dos vetores 𝑣1 123 e 𝑣2 321 De fato 𝑣 3𝑣1 2 𝑣2 isto é 327 3123 2321 Combinação Linear Exercício 01 Mostre que o vetor 𝑣 10 é combinação linear dos vetores 𝑣1 1 1 e 𝑣2 11 Exercícios Exercício 02 Mostre que o vetor 𝑚 1 2 0 3 é combinação linear dos vetores 𝑚1 1 0 0 0 𝑚2 0 1 0 0 e 𝑚3 0 0 0 1 Exercícios Exercício 03 Mostre que o vetor 𝑝 𝑥2 𝑥 1 é combinação linear dos vetores 𝑝1 𝑥2 𝑥 1 𝑝2 𝑥2 1 e 𝑝3 𝑥 1 Exercícios Exercício 04 Verifique se os vetores 𝑢 1 11 e 𝑣 10 1 podem ser escritos como combinação linear dos vetores 𝑣1 110 e 𝑣2 011 Exercícios Exercício 04 Verifique se os vetores 𝑢 1 11 e 𝑣 10 1 podem ser escritos como combinação linear dos vetores 𝑣1 110 e 𝑣2 011 Exercícios Teorema 03 Dados um espaço vetorial 𝑉 e vetores 𝑣1 𝑣2 𝑣𝑛 de 𝑉 o conjunto de todos os vetores 𝑣 𝑉 tais que 𝑣 𝑎1𝑣1 𝑎2𝑣2 𝑎𝑛𝑣𝑛 é um subespaço vetorial de V chamado subespaço gerado por 𝑣1 𝑣2 𝑣𝑛 e denotado por 𝑣1 𝑣2 𝑣𝑛 Exemplo 15 a O subespaço de ℝ2 gerado pelo vetor 11 é a reta de equação 𝑦 𝑥 a O subespaço de ℝ2 gerado pelos vetores 10 e 01 é o próprio ℝ2 Subespaço Gerado Exercício 05 Mostre que o subespaço gerado pelos vetores 𝑣1 10 1 e 𝑣2 012 é o plano 𝜋 dado pela equação 𝑥 2𝑦 𝑧 0 Exercícios Exercício 06 Verifique se os vetores 𝑢 2 3 1 12 e 𝑣 0011 pertencem ao subespaço de ℝ4 dado por 𝑆 11 24 11 12 14 48 Exercícios Exercício 07 Encontre os vetores geradores do plano 𝜋 𝑥 𝑦 𝑧 ℝ3 2𝑥 3𝑦 𝑧 0 Exercícios Exercício 08 Encontre os geradores do subespaço 𝑊 de 𝑀22 dado por 𝑊 2𝑎 𝑎 2𝑏 0 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 ℝ Exercícios Definição 04 Um conjunto de vetores 𝑣1 𝑣2 𝑣𝑛 de um espaço vetorial 𝑉 é dito Linearmente Independente LI quando 𝑎1𝑣1 𝑎2𝑣2 𝑎𝑛𝑣𝑛 0 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛 0 Caso contrário o conjunto é dito Linearmente Dependente LD Exemplo 16 O conjunto de vetores 123 321 é LI O conjunto 123 327 321 é LD Dependência e Independência Linear Definição 05 Um conjunto de vetores 𝑣1 𝑣2 𝑣𝑛 de um espaço vetorial 𝑉 é chamado base de 𝑉 quando satisfaz as seguintes condições a 𝑣1 𝑣2 𝑣𝑛 é LI b𝑣1 𝑣2 𝑣𝑛 𝑉 Exemplo 17 11 1 1 é base de ℝ2 O conjunto 123 1 21 321 é base de ℝ3 Base Exemplo 18 Sejam 𝑊1 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 ℝ4 𝑥 𝑦 0 𝑒 𝑧 𝑡 0 e 𝑊2 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 ℝ4 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 0 a Mostre que 𝑊1 e 𝑊2 são subespaços de ℝ4 e determine uma base para cada um deles b Calcule 𝑊1 𝑊2 e 𝑊1 𝑊2 determine uma base para cada um desses subespaços Teorema 04 Se 𝑉 𝑣1 𝑣2 𝑣𝑛 então dentre os vetores 𝑣1 𝑣2 𝑣𝑛 podemos extrair uma base para 𝑉 Teorema 05 Se 𝑉 𝑣1 𝑣2 𝑣𝑛 então qualquer conjunto com mais de 𝑛 vetores de 𝑉 é necessariamente LD Portanto qualquer conjunto LI em 𝑉 possui no máximo 𝑛 vetores Corolário 01 Qualquer base de um espaço vetorial 𝑉 possui a mesma quantidade de elementos Esta quantidade é chamada dimensão de 𝑉 e denotada por 𝑑𝑖𝑚𝑉 Corolário 02 Se dim 𝑉 𝑛 então qualquer conjunto com 𝑛 vetores que geram 𝑉 é uma base para 𝑉 Exemplo 19 a 𝑑𝑖𝑚 0 0 b 𝑑𝑖𝑚 ℝ𝑛 𝑛 c 𝑑𝑖𝑚 𝑃𝑛 𝑛 1 d 𝑑𝑖𝑚𝑀 𝑚 𝑛 𝑚 𝑛 Teorema 06 Qualquer conjunto de vetores LI em um espaço vetorial 𝑉 de dimensão finita pode ser completado até formar uma base para 𝑉 Corolário Se dim 𝑉 𝑛 então qualquer conjunto com 𝑛 vetores LI de 𝑉 é uma base para 𝑉 Teorema 07 Se 𝑈 e 𝑊 são subespaços de um espaço vetorial 𝑉 de dimensão finita então 𝑑𝑖𝑚 𝑈 𝑑𝑖𝑚 𝑉 𝑑𝑖𝑚 𝑊 𝑑𝑖 𝑚 𝑉 Além disso 𝑑𝑖𝑚 𝑈 𝑊 𝑑𝑖𝑚 𝑈 𝑑𝑖𝑚 𝑊 𝑑𝑖𝑚 𝑈 𝑊 Exemplo 20 Encontre a dimensão de 𝑊1 𝑊2 do exemplo 19 Teorema 08 Dada uma base 𝛽 𝑣1 𝑣2 𝑣𝑛 de V cada vetor de 𝑉 se escreve de maneira única como combinação linear dos vetores de 𝛽 Definição 06 Sejam 𝛽 𝑣1 𝑣2 𝑣𝑛 de V e 𝑣 𝑉 com 𝑣 𝑎1𝑣1 𝑎2𝑣2 𝑎𝑛𝑣𝑛 Os números 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛 são chamados coordenadas de 𝑣 na base 𝛽 e denotados por 𝑣 𝛽 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛 Exemplo 21 Encontre as coordenadas do vetor 𝑣 12 em relação às bases 10 01 e β 1 1 11 Coordenadas de um vetor Sejam 𝛼 𝑢1 𝑢2 𝑢𝑛 e 𝛽 𝑤1 𝑤2 𝑤𝑛 duas bases ordenadas quaisquer de um espaço vetorial 𝑉 e seja 𝑣 um vetor de 𝑉 Podemos encontrar as coordenadas do vetor 𝑣 em relação às bases 𝛼 e 𝛽 e essas coordenadas se relacionam por meio de uma matriz chamada matriz de mudança de base Se 𝑣 𝛼 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 e 𝑣 𝛽 𝑦1 𝑦2 𝑦𝑛 então 𝑣 𝛼 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛𝑛 𝑦1 𝑦2 𝑦𝑛 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛𝑛 𝑣 𝛽 Mudança de base onde os 𝑎𝑖𝑗 podem ser obtidos a partir das coordenadas dos vetores da base 𝛽 em relação à base 𝛼 do seguinte modo A matriz 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛𝑛 é chamada matriz de mudança da base 𝛽 para a base 𝛼 e denotada por 𝐼 𝛼 𝛽 Portanto 𝑣 𝛼 𝐼 𝛼 𝛽 𝑣 𝛽 Capítulo 04 do Boldrini Exercícios de 02 à 35 p 129 p 134 EXERCÍCIOS