Sistemas Lineares e Queima Ideal de Álcool

ALGEBRA LINEAR 20222 SISTEMAS LINEARES Universidade Federal Rural do SemiÁrido Centro de Ciências Exatas e Naturais CCEN Prof Valdenize Lopes 1 A queima ideal de álcool veicular 𝐶𝐻3𝐶𝐻2𝑂𝐻 com oxigênio 𝑂2 produz gás carbônico 𝐶𝑂2 e água 𝐻2𝑂 1 Qual a quantidade de moléculas de cada substância envolvida na reação 2 Existe mais de uma combinação possível 3 Esse problema poderia ser modelado e representado matematicamente de modo a encontrar todas as combinações possíveis Como UM PROBLEMA INICIAL 2 Observação 01 O problema anterior pode ser modelado e representado matematicamente através de um conjunto envolvendo 3 equações lineares e 4 incógnitas 3 Definição 01 Um sistema de equações lineares com 𝑚 equações e 𝑛 incógnitas é um conjunto de equações do tipo 𝑎11𝑥1 𝑎12𝑥2 𝑎1𝑛𝑥𝑛 𝑏1 𝑎21𝑥1 𝑎22𝑥2 𝑎2𝑛𝑥𝑛 𝑏2 𝑎𝑚1𝑥1 𝑎𝑚2𝑥2 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 𝑏𝑚 onde 𝑎𝑖𝑗 e 𝑏𝑖 com1 𝑖 𝑚 1 𝑗 𝑛 são números reais Uma solução do sistema é qualquer 𝑛upla de números reais 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 que satisfaz todas as equações do sistema SISTEMAS LINEARES 4 Exemplo 01 Encontrar as soluções dos sistemas abaixo a ൜2𝑥 𝑦 0 4𝑥 𝑦 6 bቐ 𝑥 𝑦 𝑧 2 𝑦 𝑧 3 2𝑧 4 5 Observe que todo sistema linear do tipo pode ser representado matricialmente 𝑎11𝑥1 𝑎12𝑥2 𝑎1𝑛𝑥𝑛 𝑎21𝑥1 𝑎22𝑥2 𝑎2𝑛𝑥𝑛 𝑎𝑚1𝑥1 𝑎𝑚2𝑥2 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 𝑏1 𝑏2 𝑏𝑚 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚𝑛 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 𝑏1 𝑏2 𝑏𝑚 6 Isto é 𝐴 𝑋 𝐵 onde 𝐴 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚𝑛 é a matriz dos coeficientes X 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 é a matriz das incógnitas e B 𝑏1 𝑏2 𝑏𝑚 é a matriz dos termos independentes 7 Uma outra matriz que pode ser associada ao sistema é 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝑎1𝑛 𝑏1 𝑎2𝑛 𝑏2 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚 chamada matriz ampliada do sistema 8 Exemplo 02 Encontre as matrizes ampliadas dos sistemas do exemplo 01 Observação 02 Usando algumas operações elementares sobre as equações de um sistema é possível obter um novo sistema que possui as mesmas soluções do sistema inicial porém com equações mais simples e a partir daí encontrar tais soluções Dois sistemas que possuem exatamente as mesmas soluções são chamados equivalentes Exemplo 03 Resolva o sistema abaixo ቐ 𝑥 4𝑦 3𝑧 1 𝑥 5𝑦 4𝑧 3 𝑥 3𝑦 2𝑧 5 9 São três as operações elementares sobre as linhas de uma matriz 𝑖 Permutar duas linhas 𝑙𝑖 𝑙𝑗 Ex 2 3 1 0 4 1 𝑙1 𝑙2 1 0 2 3 4 1 OPERAÇÕES ELEMENTARES 10 𝑖𝑖 Substituir uma linha pelo produto dela por um escalar não nulo 𝑙𝑖 𝑘 𝑙𝑖 Ex 1 0 2 3 4 1 𝑙2 2𝑙2 1 0 4 6 4 1 𝑖𝑖𝑖 Substituir uma linha pela soma dela com o produto de um escalar não nulo por outra linha 𝑙𝑖 𝑙𝑖 𝑘 𝑙𝑗 Ex 1 0 4 6 4 1 𝑙3 𝑙3 1 𝑙2 1 0 4 6 0 7 11 Definição 02 Sejam 𝐴 e 𝐵 matrizes de mesma ordem Dizemos que 𝐵 é linha equivalente a 𝐴 e denotamos 𝐵𝐴 se 𝐵 pode ser obtida de 𝐴 através de um numero finito de operações elementares sobre as linhas de 𝐴 Exemplo 04 2 3 1 0 4 1 1 0 4 6 0 7 Observação 03 𝐴𝐵 𝐵𝐴 Por isso diremos simplesmente que 𝐴 e 𝐵 são equivalentes 12 Teorema 01 Dois sistemas que possuem matrizes ampliadas equivalentes são equivalentes Exemplo 05 Mostre que os sistemas ቊ𝑥 2𝑦 1 4𝑥 𝑦 4 e ቊ𝑥 1 𝑦 0 e suas matrizes ampliadas são equivalentes 13 Definição 03 Dizemos que uma matriz 𝑚 𝑛 é linha reduzida à forma escada quando as seguintes condições são satisfeitas 𝒊 O primeiro elemento não nulo de cada linha não nula é 1 𝒊𝒊 Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de uma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero 𝒊𝒊𝒊 Todas as linhas nulas ocorrem abaixo de todas as linhas não nulas 𝒊𝒗 A quantidade de zeros que precedem o primeiro elemento não nulo de uma linha aumenta a cada linha até que restem apenas as linhas nulas 14 FORMA ESCADA Exemplo 06 Verifique quais das matrizes abaixo estão reduzidas à forma escada 𝑎 𝐴 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 𝑏 𝐵 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 2 𝑐 𝐶 0 2 1 1 0 3 0 0 0 𝑑 𝐷 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 0 0 15 Teorema 02 Toda matriz 𝐴𝑚𝑛 é linha equivalente a uma única matriz linha reduzida à forma escada Exemplo 07 Encontre a matriz na forma escada equivalente a cada matriz abaixo 𝑎 𝐴 2 1 3 1 4 2 1 5 1 4 16 8 𝑏 𝐵 1 2 1 1 0 3 1 2 1 0 5 1 16 Definição 04 Dada uma matriz 𝐴𝑚𝑛 seja 𝐵𝑚𝑛 a matriz reduzida à forma escada equivalente à 𝐴 O posto de 𝐴 denotado por 𝑝𝐴 é definido como sendo o número de linhas não nulas de 𝐵 Definimos a nulidade de 𝐴 denotada por 𝑛𝑢𝑙𝐴 como sendo a diferença entre o número de colunas e o posto de 𝐴 isto é 𝑛𝑢𝑙 A 𝑛 𝑝𝐴 Observação 04 𝑛𝑢𝑙 𝐴 0 𝐴 Verifique Exemplo 08 Calcule o posto e a nulidade das matrizes do exemplo anterior 17 Definição 05 Quanto ao número de soluções um sistema linear classificase em a Possível e Determinado quando ele possui uma única solução b Possível e Indeterminado quando ele possui uma quantidade infinita de soluções c Impossível quando ele não possui solução 18 SOLUÇÕES DE UM SISTEMA LINEAR Teorema 03 Sejam 𝑝𝑐 e 𝑝𝑎 respectivamente os postos das matrizes dos coeficientes e ampliada de um sistema linear com 𝑚 equações e 𝑛 incógnitas Então a O sistema é possível se e somente se 𝑝𝑐 𝑝𝑎 𝑝 b Se 𝑝 𝑛 o sistema será determinado c Se 𝑝 𝑛 o sistema será indeterminado 19 Observação 05 No caso de um sistema indeterminado podemos escolher 𝑛 𝑝 incógnitas e as outras 𝑝 serão dadas em função destas Neste caso dizemos que o grau de liberdade do sistema é 𝑔𝑙 𝑛 𝑝 Exemplo 09 Determine 𝑘 para que o sistema ቐ 4𝑥 3𝑦 2 5𝑥 4𝑦 0 2𝑥 𝑦 𝑘 seja a Possível e Determinado b Possível e Indeterminado c Impossível 20 Capítulo 2 do Livro Texto Exercícios de 01 à 26 p 49 55 21 EXERCÍCIOS