Análise de Valor em Risco (VaR) de Carteiras de Investimentos

Valor em Risco Carteira e Especificações Bruno Pérez Ferreira Carteira ou Portfólio de Investimentos Tratase de uma carteira de ativos financeiros mantidos por um investidor ou gestor de fundos Um portfólio pode ter ativos de renda fixa eou variável Retorno de uma carteira composta por ativos i Risco do portfólio Matriz de Covariâncias N i i i Portfólio w R R 0 N i N j ij j i N N N N N N Portfólio w w w w w w w w w w w w w 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 12 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 O VaR da carteira em t é obtido por 𝑉𝑎𝑅𝑡 𝑉𝑎𝑅𝜌𝑉𝑎𝑅 Em que VaR é o vetor n x 1 com o VaR de cada ativo i da carteira de n aplicações e ρ é a matriz n x n contendo as correlações entre os n ativos da carteira VaR de Carteiras Efeito da Diversificação 3 VaR de Carteiras Efeito da Diversificação Pode ser obtido por Em que Para os ativos i e j com pesos w de participação na carteira 1 1 2 11 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 11 2 n n n n N n N n t VaR VaR VaR w w w w w w w w w w w w w w VaR VaR VaR VaR j i j i i j 4 Pela metodologia Riskmetrics a correlação ρijt do VaR de carteira é dado por 𝜌 𝑖𝑗 𝑡 ℎ 𝑖𝑗 𝑡 ℎ𝑖𝑡ℎ𝑗𝑡 VaR de Carteiras Em que hijt λhijt1 2 1 λ rit1rjt112 em que hijt é a volatilidade condicional em t 5 Exercício Calcular o VaR histórico a 5 para a variação percentual diária do índice de mercado ANBIMA IMA conjugado com o Ibovespa entre 01012016 até 01072018 Avaliar qual seria o impacto sobre um patrimônio de 1000000 de unidades monetárias Considere as seguintes participações a 30 IMA e 70 Ibovespa b 100 Ibovespa c 100 IMA e d 50 em cada índice Dados disponíveis em wwwbcbgovbr séries temporais 6 Value at Risk VaR Como visto anteriormente a definição do VaR é genérica Variações entre os diversos modelos de estimação de valor em risco se darão por meio de como é especificado o cálculo da probabilidade Pr t t VaR r 7 Value at Risk VaR Caso essa probabilidade seja dada por Será a especificação de frt ou parametrização de f que determinará o valor do VaR Nesse caso temse um VaR paramétrico dependente basicamente das hipóteses feitas à respeito da distribuição da variável aleatória rt Pr t VaR t t t t dr f r VaR r 8 Value at Risk VaR Supondose que os retornos da carteira sejam normalmente distribuídos com média μt e variância σt 2 temse que onde Zα é o quantil correspondente a α de uma Normal Padrão Por exemplo se α 5 Z5 165 2 1 Pr 2 2 Z x t t t dx e Z r 9 Value at Risk VaR Para uma média μt 0 e uma dada variância σt 2 temse que Em termos de unidades monetárias t t t t Z VaR 165 1 165 t t VaRt u 10 Value at Risk VaR De outra forma para uma amostra de tamanho T de retornos iid suponha que Em que I é uma função indicadora dada por 1 Pr 1 T i VaR r t t t I t T VaR r contrário caso VaR caso r I t t VaR r t t 0 1 11 Value at Risk VaR isto é que a probabilidade da ocorrência de um retorno menor do que VaR seja dada pela distribuição empírica observada de r Trata se de um caso típico de um VaR nãoparamétrico Nesse caso específico a única escolha a ser feita diz respeito ao tamanho da amostra T a ser utilizada São muitas as possibilidades de especificação paramétrica e não paramétrica do VaR sendo que cada uma apresenta suas próprias hipóteses vantagens e desvantagens As mais comuns serão tratadas a seguir 12 VaR sob hipótese de normalidade A hipótese usual é a de que os retornos dos fatores de risco são normais Isso permite escrever o VaR de uma carteira como onde Z1α é o quantil de uma normal padrão Z95 165 Z99 233 t t t u Z VaR ˆ 1 1 13 VaR sob hipótese de normalidade Nesse caso para uma amostra ou janela de T observações o estimador não condicional de σt é T t t T t t t r T r onde r r T 1 2 1 1 1 1 ˆ 14 VaR sob hipótese de normalidade Note que o VaR é dado pelo limite inferior do intervalo de confiança unicaudal para o retorno da carteira ao assumirse que A hipótese de retornos normais iid contudo não apresenta aderência com a realidade A alternativa é substituíla por uma hipótese sobre a distribuição condicional dos retornos ˆ N r 2 rt 2 t t N r 15 VaR sob hipótese de normalidade Um processo adequado para modelar a variância condicional poderia ser um modelo do tipo GARCHpq Generalized Autoregressive Conditional Heterokedasticity 1 0 0 10 1 1 1 2 1 2 2 p j j q i i j i p j t i j q i i t i t t t t t onde r N r 16 VaR EWMA A sugestão proposta no RiskMetrics e largamente utilizada no mercado é a do EWMA Exponencially Weighted Moving Average o EWMA nada mais é do que uma restrição sobre o modelo GARCHpq onde p 1 q 1 ω 0 α 1 λ e β λ O inconveniente é a implicação de uma distribuição não condicional degenerada dos retornos 2 2 2 1 t i t i t r 17