Equações em Diferenças Finitas e Modelagem de Séries Temporais

Prof Wagner M Lamounier 1 Equações em Diferenças Finitas Prof Wagner M Lamounier 2 BIBLIOGRAFIA HAMILTON J D Time Series Analysis Princeton New Jersey Princeton University 1994 Capítulo 1 3 Motivação Grande parte do trabalho de pesquisa e da prática em Controladoria Finanças diz respeito a modelagem da dinâmica de variáveis financeiras Nesse sentido tornase tarefa primordial para o profissional de finanças o desenvolvimento de modelos para explicação previsão e testes de hipóteses relativas ao comportamento de variáveis financeiras contábeis e econômicas tais como Taxas de Retorno Preços Vendas Lucros Índices de Bolsas de Valores e de Futuros Volatilidade Taxas de Juros etc Prof Wagner M Lamounier 4 Modelos de Séries Temporais A Análise de Séries Temporais é o ramo da estatística econometria que se dedica à estimação empírica de equações de diferença que representarão com maior ou menor grau de precisão a dinâmica desses processos e variáveis contendo componentes estocásticos Prof Wagner M Lamounier 5 Séries Discretas no Tempo Os elementos de uma série de dados financeiros y0 y1 yt podem ser considerados como realizações discretas resultados de um processo estocástico Tomandose como exemplo yt como o Preço de Fechamento de uma Ação na Bovespa Como não podemos prevêlo perfeitamente yt será uma variável aleatória Cada valor conhecido do preço de fechamento ao final do pregão será uma nova realização observação desse processo estocástico Prof Wagner M Lamounier 6 A variável discreta y é dita aleatória estocástica se o seu valor está sujeito a uma distribuição de probabilidades conhecida ou não Ou seja se 0 Prob y x 1 Caso exista um valor de x para o qual Proby x 1 então a variável y será dita determinística 7 O Papel das Equações de Diferenças na Modelagem de Séries Temporais A partir de valores observados de uma série temporal podese utilizar modelos matemáticos estatísticos para identificar os aspectos essenciais do verdadeiro processo gerador dos dados As equações de diferenças estocásticas representam a base matemática desses instrumentos para a modelagem dos processo dinâmicos dessas variáveis Prof Wagner M Lamounier 8 Exemplo Prof Wagner M Lamounier 9 Uma equação de diferenças expressa a mudança em alguma variável como resultado de uma mudança finita discreta em outra variável Uma equação diferencial expressa a mudança em alguma variável como resultado de uma mudança infinitesimal contínuas em outra variável Equações de Diferenças Vs Equações Diferenciais Prof Wagner M Lamounier 10 Equações em Diferenças de Primeira Ordem 1 valor de uma outra variável Formalmente o e 1 anterior seu valor no período o relacionar ao valor de em deverá a que variáveis Nesse sentido temse a e fator ao uma variável aos seus relaciona é uma expressão que Uma 1 t t t t v y y t t y outras tempo valores passados y de diferenças linear de primeira ordem equação equação de diferenças def Prof Wagner M Lamounier 11 o dado pela equação 1 como em para um sistema dinâmico variação os efeitos na variável de um choque serão análise de quais a a de grande importânci será de forma agregada Nesse sentido variáveis pode representar um conjunto de outras que ou uma geral a variável será considerad a uma Em v y vt variável exógena variável aleatória Prof Wagner M Lamounier 12 Solução de uma Equação de Diferenças def Uma solução para uma equação de diferenças será uma função e não um número que irá expressar o valor de yt como função dos valores de vt entre as datas 0 e t e possivelmente em função de um dado valor inicial y0 chamado de condição inicial Um aspecto fundamental de uma solução para uma equação de diferenças é que ela deverá satisfazer a equação de diferenças para todos os valores possíveis de t e de vt Prof Wagner M Lamounier 13 Método de Solução por Substituições Recursivas Solução por Iterações 2 equação de diferencas de primeira ordem 1 por substituiç ões recursivas será dada por da Continuand o esse processo tem se que a solução momento t forem conhecidos será possível solucionar o sistema de forma recursiva como o e 0 sequência de valores para v entre o momento a e 1 o valor inicial de y para a data Se 2 1 0 valor corrente de O Quadro a seguir ilustra essa relação ao para cada momento y estará intrinsecamente relacionad o ao seu valor anterior e Assim o caso da equação 1 que descreve o comportamento de y para cada momento t Suponha 1 3 3 2 2 1 1 0 1 1 2 1 0 2 1 3 2 2 1 0 1 2 2 1 2 1 0 1 2 1 0 1 1 0 1 1 2 1 2 1 0 1 0 1 0 t t t t t t t t t t t v v v v v v y y v v v y y v v v y v y y v v y v v y v y y t v y y t v y y v y y v y y t v Equação Data 14 Multiplicadores Dinâmicos 4 será observado Será dado por momento em que o valor para do que separa o momento do choque em apenas do espaço de tempo dependente Ele será de um choque em no momento sobre o valor de no periodo efeito para esse sistema como o sendo define se um Assim 3 definido formalment e pela expressão e de seria dado como função de O valor de dado o valor de como Supondo agora que o processo de solução 2 tivesse começado na data tendo será dado por de no momento valor sobre o do tempo sobre o valor de y Assim por exemplo o efeito de momento diversas situações será preciso calcular o efeito de um choque v em um dado Em 1 3 3 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 0 0 j t j t j t j t j t t j t j t j t j t j j t j t t t t t j t t t t v y y v j j t y t v v v v v v v y y v v v v y y y t φ v y t ceteris paribus y v multiplicador dinâmico Prof Wagner M Lamounier 15 Respostas dinâmicas de y a v Diferentes valores para Φ na equação de diferenças de primeira ordem ytΦyt1vt produzirão diferentes padrões de resposta de y para um choque em v Assim temse os casos Se 0 Φ 1 o valor do multiplicador tenderá geometricamente para 0 com j Quanto mais próximo de 1 for o valor de Φ mais lenta será essa queda e quanto mais próximo de 0 mais rápida será Prof Wagner M Lamounier 16 Exemplo gráfico para 0Φ1 Prof Wagner M Lamounier 17 Respostas dinâmicas de y a v Se 1 Φ 0 o valor do multiplicador continuará tendendo para zero porém irá alternar de sinal com j Quanto mais próximo de 1 for o valor de Φ mais lenta será essa convergência para 0 e quanto mais próximo de 0 mais rápida será Prof Wagner M Lamounier 18 Exemplo gráfico para 1Φ0 Prof Wagner M Lamounier 19 Respostas dinâmicas de y a v Se Φ 1 o valor do multiplicador aumentar exponencialmente ao longo do tempo Assim quando j o valor do efeito de v sobre y dado pelo multiplicador também apresentará um comportamento explosivo Prof Wagner M Lamounier 20 Exemplo gráfico para Φ1 Prof Wagner M Lamounier 21 Respostas dinâmicas de y a v Se Φ 1 o valor do multiplicador também apresentará um padrão de comportamento explosivo quando j Todavia isso de dará de forma oscilatória O gráfico a seguir ilustra essa situação Prof Wagner M Lamounier 22 Exemplo gráfico para Φ1 Prof Wagner M Lamounier 23 Mas o que ocorrerá nos casos limites em que Φ 1 e Φ 0 j v y v v v v v v y y v v v v v y y v v t j t j t j t t t t t j t j t j t t j t j t j t j j t 0 1 2 1 aumento permanente unitário em y pois um um choque na forma de um aumento unitário em irá causar Assim 5 1 isso ocorre basta substituir na equação 3 a seguir porque na exata magnitude do choque sofrido por Para visualiza r tempo uma alteração permanente em y a partir daquele ponto no provocar 1 tem se que uma variação em um dado momento em irá Se 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 Prof Wagner M Lamounier 24 será do tipo ruído branco comportamento de próprio teremos que o 0 para a série outro lado se Por de é chamada de média zero e Δ tem que é uma variável aleatória chamada que Em 6 Δ a seguinte equação de diferencas finitas de primeira ordem com seguiria uma trajetória imprevisív el no tempo de acordo por preço das ações no mercado financeiro em um dado dia dado o Random Walk Hypothesis segundo a qual conhecida na teoria de finanças chamada de muito 1 correspond e ao caso de uma hipótese caso em que Esse 1 1 t t t t t t t t t t t t t t t t ε y y y y y ε ε y ε y y ε y y y nível no diferença primeira branco ruído Aleatório Passeio do Hipótese Prof Wagner M Lamounier 25 Ruído Branco 3 2 1 0 1 2 3 1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99 Prof Wagner M Lamounier 26 Respostas dinâmicas de y a v Em síntese se Φ1 o sistema será dito estável e os impactos de um choque em v irão desaparecer com o passar do tempo Se Φ1 o sistema terá comportamento explosivo e um choque em v levará a uma situação de desequilíbrio permanente Todavia se Φ1 um impacto em v terá um efeito permanente no sistema porém não provocará um comportamento explosivo Prof Wagner M Lamounier 27 futuros de poderá ser obtido derivando se 8 em relação a valores sobre o fluxo de sendo o efeito de um choque em Assim 8 7 poderá ser escrita 1 1 se como o fator de desconto Definindo 7 1 1 1 1 desconto o valor presente desse fluxo no momento atual será de 0 taxa e para uma dada conjunto de valores futuros o Para do conjunto de realizaçõe s futuras da variáve l no agora que o nosso interesse esteja em avaliar o efeito de um choque Suponha 0 3 3 2 2 1 1 0 3 3 2 2 1 3 2 1 t t j t j j k t k t t t t k t k t t t t t t t t v y ceteris paribus v y α y α y α y α y y α i i y i y i y i y y t i y y y y y v valor presente Prof Wagner M Lamounier 28 constantes de de uma variação unitária em no momento com presente será o efeito total sobre o valor 1 1 1 Assim assume se um sistema estável com Pois 11 1 1 lim 1 1 1 1 1 1 1 1 se 9 10 Fazendo 10 ndo se os 2 lados de 9 por Multiplica 9 1 tem se que de se esse resultado de S e cada termo Chamando 1 multiplica dor dinâmico tem se o seguinte resultado para a derivada de 8 em relação a do soma das derivadas e dada a equação 4 a é a regra de que a derivada da soma de funções Dada 3 2 1 1 1 1 1 1 1 3 2 2 j j j 0 2 2 2 2 1 1 0 0 t t t k k j j j k k t t k k t t t t t t t j t j j t v v v t v y S S S S S α α α v y α v y α v y α v y α v y v Prof Wagner M Lamounier 29 Graficamente 30 Material Opcional Equações em Diferenças de Ordem Superior 14 dada por o a como uma rescrevend será dada manipulaçã o algébrica dessa equação de ordem a uma forma mais apropriada para representação e para Todavia 13 que será tem se a equação em diferenças de ordem Assim t seja dependente de defasagens além do valor de v momento generalizar a equação 1 de forma que o valor de no Podemos 3 3 2 2 1 1 t t t 1 t v Fξ ξ ordem primeira de diferença vetorial de equação p v y y y y y p p y t p t p t t t t Prof Wagner M Lamounier 31 Equações em Diferenças de Ordem Superior 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 na forma matricial expandida terá a seguinte estrutura a equação Assim 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 de ordem px1 cujos elementos serão vetor o e de ordem pxp matriz o valor de no momento t o segundo será o valor de y em t 1 e assim por diante a será de ordem px1 cujo primeiro elemento membros dessa nova equação serão o vetor Os 3 2 1 1 3 2 1 1 2 1 1 1 3 2 1 1 2 1 t p t t t t p p p t t t t t t t p p p t t t t t t v y y y y y y y y v y y y y y t t t v Fξ ξ v F ξ v F ξ Prof Wagner M Lamounier 32 O Multiplicador Dinâmico 19 f f f f f f f f terá a seguinte representação para 18 e assim por diante Assim a primeira equação de linha e segunda coluna da matriz primeira como o elemento da f como o elemento da primeira linha e primeira coluna da matriz f pode se definir a primeira equação do sistema que representa a solução para Observando 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 na forma matricial expandida sera Que 17 o esse processo tem se Continuand 0 será 0 Assim para o período t e 1 do vetor para t período t o uma equação de diferenças de primeira ordem uma vez conhecido o valor do vetor para de multiplica dor dinâmico para a equação 14 será obtido de forma similar ao obtido no caso O 1 1 11 2 t 2 11 1 t 1 11 0 t 11 t 1 1 3 t 1 13 2 t 1 12 1 t 1 11 t 12 t 11 1 1 2 2 1 1 0 3 2 1 1 2 1 1 0 2 1 0 1 0 1 0 0 t t p p t t t t t p p t t t t v v v v v y y y y y y y v v v v v y y y y y y y y t t t t t 1 t t t 1 2 2 t 1 1 t 0 t 1 1 t t 1 1 1 F F F F F F F v Fv v F v F F v ξ F ξ v Fv F ξ v v F Fξ v Fξ ξ v Fξ ξ ξ v ξ Prof Wagner M Lamounier 33 O Multiplicador Dinâmico de a e de dores será dado utilizando se a multiplica 1 o cálculo dos primeiro elemento de Todavia para j o é que pois será igual a obtido 1 ele será facilmente Quando j correspond e ao primeiro elemento da matriz termo f O 22 f derivando se 21 o que resultará em no momento sobre em em sendo pode se deduzir o multiplica dor dinâmico que irá mostrar o efeito de um choque Assim 21 f f f f f f f onde se obtém De 20 partír do momento t As equações resultante s serão a o valor de no momento obter ão similar àquela feita para a equação 5 pode ser feita para 18 e 19 para se extrapolaç e das observaçõe s do termo exógeno desde o momento 0 até o momento t Assim uma de equação 19 descreve o valor de no momento como uma função dos valores iniciais A 1 j 11 j 11 1 1 11 2 j 2 11 1 j 1 11 j 11 j 1 1 2 j 1 12 1 j 1 11 F Matriz Espectral D F Matriz Modal U F F v Fv v F v F F v ξ F ξ j t j t j 1 2 j 2 j 1 t 1 j t j 1 t 1 j j t t j t j t j t t t t p t p t t j t v y j t y t v v v v v v y y y y j t y v y p t y Prof Wagner M Lamounier 34 Breve revisão de conceitos Autovalores e Autovetores Def Seja A uma matriz nxn O número real λ será chamado de AUTOVALOR de A sss existir um vetor u 0 em Rn tal que Au λu Se esse escalar e esse vetor chamado de VETOR CARACTERÍSTICO ou de AUTOVETOR existirem essa equação poderá ser reescrita como Au λu 0 A λIu 0 Prof Wagner M Lamounier 35 pp p p p p p p pp p p p p p p j p j j j u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u 3 2 1 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11 3 2 1 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11 3 2 1 i e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Com 23 espaços Para essas matrizes serão válidas as seguintes relações outros na diagonal principal e por zeros nos formada pelos autovalore s uma e invertível formada pelos autovetore s de uma matriz chamada existirá cursos de Álgebra Linear aprende se que se os autovalore s da matriz forem distintos Nos 1 j 1 j j 1 3 1 I 1 I 1 3 1 2 1 I 1 2 1 1 I 1 U U D UD U F UD U UDU UDU UDU F UD U UDU UDU F UDU F UDU FUU UD FU Espectral D Matriz F Matriz Modal U F O Multiplicador Dinâmico Prof Wagner M Lamounier 36 24 f que nos interessa será dado por ou seja o elemento f O primeiro elemento de 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 será igual a a forma expandida da equação Assim 1 1 2 21 12 1 11 11 j 11 j 11 3 2 1 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11 3 3 2 2 1 1 3 3 33 2 32 1 31 2 3 23 2 22 1 21 1 3 13 2 12 1 11 3 2 1 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11 3 2 1 3 2 1 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11 j p p p j j pp p p p p p p j p pp j p j p j p j p p j j j j p p j j j j p p j j j pp p p p p p p j p j j j pp p p p p p p u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u j j j 1 j j F F F UD U F O Multiplicador Dinâmico Prof Wagner M Lamounier 37 28 distintos de por os autovalore s para ser demonstrad o que os pesos dessa média ponderada de autovalore s serão dados Pode 27 f de cálculo do multiplica dor dinâmico de uma equação de diferenças de ordem p fórmula de ordem pxp Assim substituin do 25 em 22 tem se a e uma que consiste na verdade no elemento 11 da matriz ocorre pois o somatório Isso 1 26 aspecto importante dessa representação diz respeito ao resultado da soma de Um 25 f de 24 como tem se se os termos Definindo 1 1 3 2 1 2 2 1 1 j 11 1 1 1 21 12 11 11 3 2 1 1 2 2 1 1 j 11 1 1 p k i k k i p i i p j p p j j t j t p i i p p p p i i i j p p j j i i i c λ λ λ λ p c c c v y c u u u u u u c c c c c c c c c c u u F Identidade Matriz UU1 O Multiplicador Dinâmico Prof Wagner M Lamounier 38 Exemplo j j j j t j t i t t t t c c v y c c c v y y y 0 24 0 222 0 778 0 84 o multiplica dor dinâmico para essa equação de diferenças de ordem 2 será Portanto 0 222 0 778 e 28 tem se que os pesos serão De 0 24 2 4 20 60 60 2 4 0 84 2 4 20 60 60 2 4 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 da resolução de F I 0 partir 0 Os autovalore s de serão obtidos a 1 Matriz para essa equação será A 20 60 o multiplica dor dinâmico para a equação de diferenças de ordem 2 dada por Encontre 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 F F F Prof Wagner M Lamounier 39 Graficamente