Introdução à Inferência Estatística

ESTATÍSTICA APLICADA A NEGÓCIOS Prof Alexandre Alberto Politi 2 INTRODUÇÃO À INFERÊNCIA ESTATÍSTICA 3 SUMÁRIO 1 Introdução 2 Intervalos de confiança 21 Intervalo de confiança para a média de uma distribuição normal com variância conhecida 3 Testes de hipóteses 31 Testes para a média de uma distribuição normal com variância conhecida 4 Conclusões 5 Apêndice 4 1 INTRODUÇÃO O campo da estatística que visa tirar conclusões acerca de uma po pulação com base em uma amostra dessa população é denominado inferência estatística ou estatística inferencial Classicamente a in ferência estatística é subdividida em dois ramos estimação de parâ metros e teste de hipóteses Suponha um fabricante da indústria farmacêutica que pretenda lan çar um novo medicamento para dor e uma informação importante é o tempo médio em que esse medicamento começa a agir Evidente mente não é possível testar esse medicamento em toda a população humana de modo que o fabricante precise recorrer a uma amostra de voluntários O fabricante deve ser capaz de estimar com uma precisão específica a média real a média da população do tempo de ação desse medicamento apenas com os dados obtidos na amostra dos voluntários Esse é um exemplo típico de estimação de parâmetros Suponha agora um problema um pouco diferente O órgão regulador apenas aprovará o lançamento do novo medicamento caso o seu tempo médio de ação seja 20 minutos A questão prática que se impõe é a seguinte a partir de dados da amostra podemos afirmar que o tempo médio de ação do novo medicamento é de 20 minutos ou não Esse é um exemplo clássico de um teste de hipótese 5 2 INTERVALOS DE CONFIANÇA Como foi dito uma parte do que chamamos de estatística inferencial está preocupada em estimar valores de determinado parâmetro média variância desvio padrão etc de uma população a partir de uma amostra proveniente dessa mesma população No entanto estimar um único valor para a média pode não ser de muita serventia já que as chances da média real da população ser exatamente igual à média estimada a partir da amostra é praticamente nula Por esse motivo em situações práticas é mais comum trabalharmos com faixas de valores em torno da média estimada Essas faixas de valores são chamadas de intervalos de confiança O tópico a seguir tratará de um método para encontrar intervalos de confiança Será tratado especificamente o caso em que queremos informações da média de uma população quando conhecemos apenas a sua variância Observemos que conhecer a variância de uma população e não conhecermos a sua média não é um caso muito realista apesar de ser possível porém para um curso introdutório é importante estudar esse tipo de problema para entendermos os objetivos da estatística inferencial 21 Intervalo de confiança para a média de uma distribuição normal com variância conhecida Vamos supor que estejamos interessados em estudar uma população que sabemos ter uma distribuição normal e que conhecemos o valor da sua variância σ2 Estamos interessados em estimar um intervalo de confiança para a sua média μ que não conhecemos O objetivo desse tópico é desenvolver um procedimento para a criação desse intervalo de confiança específico Ao final será dado um exemplo Vamos adotar as seguintes nomenclaturas μ média da população para a qual desejamos construir um intervalo de confiança que a contenha σ2 variância da população que nesse caso conhecemos σσ2 desvio padrão da população n tamanho da amostra x média da amostra α nível de confiança do intervalo Construir um intervalo de confiança para o valor real da média μ é construir uma faixa de valores 6 a μ b Em que a e b são os valores extremos para a estimativa de μ e que são calculados a partir dos dados da amostra É evidente que se quisermos uma estimativa com maior grau de confiança de que a média μ se encontre no intervalo entre a e b devemos ampliar esse intervalo já que um intervalo maior possui mais chances de conter a média μ De maneira análoga se quisermos ser mais rígidos podemos diminuir o intervalo porém com grau de confiança menor Esse grau de confiança costuma ser designado pela letra α que já foi indicado acima É possível mostrar que para o caso de uma população normal com variância σ2 conhecida o intervalo de confiança para a média μ é construído da seguinte maneira Tabela 1 Intervalo de confiança para a média de uma população normal com variância conhecida 1 Tomemos uma amostra aleatória de tamanho n e calculemos sua média x 2 Escolhamos um nível de confiança α para construir o intervalo de confiança da média μ 3 O intervalo de confiança requerido é Onde zα2 é valor em uma distribuição normal padrão que corresponde ao nível de confiança α2 Exemplo 1 Certo fabricante de copos descartáveis teve a sua máquina quebrada e ele acaba de comprar uma nova do mesmo modelo Sabe se pelos registros da máquina anterior que o tempo de fabricação de um copo é normalmente distribuído e com desvio padrão σ15 segundos 7 O fabricante necessita encontrar um intervalo de confiança para o tempo médio μ de fabricação dos copos da nova máquina e para isso toma uma amostra de tamanho n 10 Os tempos de fabricação das 10 amostras são apresentados a seguir em segundos 10 95 97 85 113 121 91 80 79 13 Pedese O intervalo para μ com 95 de confiança ou seja α 5 O intervalo para μ com 99 de confiança ou seja α 1 Para encontrar os intervalos de confiança solicitados devemos utilizar a expressão do item 3 da Tabela 1 Temos que a média da amostra é x 99 o desvio padrão da população conhecido por meio da experiência anterior com a outra máquina é σ15 o tamanho da amostra é n 10 zα2 z52 z0052 z0025 196 extraído da tabela da curva normal padrão no Apêndice Portanto para o item a temos Esse resultado nos diz que há 95 de probabilidade de a média μ estar dentro do intervalo de confiança calculado O item b pede o intervalo de confiança para α 1 Portanto zα2 z12 z0012 z0005 258 E o novo intervalo de confiança fica Esse resultado nos diz que há 99 de probabilidade de a média μ estar dentro do intervalo de confiança calculado 8 3 TESTES DE HIPÓTESES Vimos nos tópicos anteriores como construir um intervalo de confiança para o parâmetro média μ de uma população normal com variância conhecida As técnicas estatísticas conhecidas como testes de hipóteses também visam tirar informação acerca de uma população a partir de uma amostra No entanto há uma diferença na maneira de abordar a questão Esse tópico mostrará como realizar testes de hipóteses para a média de uma população com distribuição normal e variância conhecida Em seguida será fornecido um exemplo 31 Testes para a média de uma distribuição normal com variância conhecida Vamos supor que o fabricante de copos do exemplo 1 esteja interessado em responder à seguinte pergunta com base na amostra será possível afirmar que a média da população é igual a um valor μ0 por exemplo 12 segundos ou ela é diferente de 12 segundos Podemos formalizar essa pergunta da seguinte maneira H0 μ μ0 H1 μ μ0 Onde H0 é a hipótese a ser testada e H1 a hipótese alternativa aquela que rejeita H0 A ideia fundamental para realizar esse teste é ter em mente que há dois valores críticos valoreslimite um inferior e outro superior que a média da amostra x pode assumir para que aceitemos a hipótese H0 Esses valores críticos dependem é claro do nível de confiança α adotado Em outras palavras caso a média da amostra x seja maior que o valor crítico superior calculado ou menor que o valor crítico inferior calculado devemos rejeitar a hipótese de que a média da população μ seja igual a μ0 12 segundos no nosso exemplo e aceitar o fato de que ela é diferente de μ0 Pode ser demonstrado que os valores críticos são dados pelas expressões 9 Ou seja se a média da nossa amostra x for menor que xc1 ou maior que xc2 devemos rejeitar a hipótese H0 A Figura 1 ilustra genericamente a região de aceite da hipótese H0 bem como os valores críticos para xc1 e xc2 para determinado valor de α Figura 1 Regiões de aceite e rejeição da hipótese H0 Vamos ao próximo exemplo de cálculo para o teste de hipótese avaliado Exemplo 2 Certo fabricante de copos descartáveis teve a sua máquina quebrada e ele acaba de comprar uma nova do mesmo modelo Sabe se pelos registros da máquina anterior que o tempo de fabricação de um copo é normalmente distribuído e com desvio padrão σ15 segundos O fabricante coloca uma questão a média dos tempos de produção da máquina para as futuras fabricações será igual a 12 segundos Para responder a essa pergunta ele utilizou um nível de confiança de 95 α5 e tomou a mesma amostra com n10 10 95 97 85 113 121 91 80 79 13 O fabricante necessita portanto realizar o seguinte teste de hipótese H0 μ 12 H1 μ 12 Para responder se ele deve aceitar a hipótese H0 que a média μ seja igual a 12 devemos simplesmente calcular os valores críticos xc1 e xc2 Depois verificarmos se a média da amostra x se encontra dentro da faixa dos valores críticos calculados 10 Mas a média da amostra é x 99 que se encontra abaixo de xc1 Portanto podemos concluir para α 5 que a média da população μ12 rejeitamos portanto a hipótese H0 11 4 CONCLUSÕES Este material se propôs a iniciar o estudo da estatística inferencial O objetivo aqui foi o de introduzir os conceitos fundamentais desse ramo da estatística bem como avaliar os seus objetivos Para isso foi apresentada a subdivisão clássica da estatística inferencial em estimação de parâmetros e testes de hipótese Tanto para a estimação de parâmetros quanto para o teste de hipótese foram avaliados e exemplificados os casos em que se desejava informação acerca da média de uma população quando a sua variância era conhecida 12 5 APÊNDICE Tabela de Probabilidades para a distribuição normal padrão 13 INDICAÇÃO DE LEITURA OBRIGATÓRIA SWEENEY D J WILLIAMS T A ANDERSON D R Estatística aplicada à administração e economia 3a ed São Paulo Cengage 2013 Capítulo 8 Introdução e Tópico 82 Capítulo 9 Introdução e Tópicos 91 92 e 93 14 REFERÊNCIAS Costa Neto P O Estatística São Paulo Blücher 2002 Freund J E Estatística Aplicada Economia Administração e Contabilidade Porto Alegre Bookman 2006 Iezzi G Dolce O Matemática 2º grau São Paulo Atual 1974 Meyer P L Probabilidade aplicações à estatística Rio de Janeiro LTC 1982 Montgomery D C Runger G C Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros Rio de Janeiro LTC 2012 FIPECAFI Todos os direitos reservados A FIPECAFI assegura a proteção das informações contidas nesse material pelas leis e normas que regulamentam os direitos autorais marcas registradas e patentes Todos os textos imagens sons vídeos eou aplicativos exibidos nesse volume são protegidos pelos direitos autorais não sendo permitidas modificações reproduções transmissões cópias distribuições ou quaisquer outras formas de utilização para fins comerciais ou educacionais sem o consentimento prévio e formal da FIPECAFI CRÉDITOS Autoria Alexandre Alberto Politi Coordenação de Operações Juliana Nascimento Design Instrucional Patricia Brasil Design Gráfico e Diagramação Dejailson 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