Variáveis Aleatórias Contínuas e Inferência Estatística

ESTATÍSTICA APLICADA A NEGÓCIOS Prof Alexandre Alberto Politi 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS E INTRODUÇÃO À INFERÊNCIA ESTATÍSTICA PARTE I 3 SUMÁRIO 1 Introdução 2 Variáveis aleatórias contínuas e a distribuição de probabilidade normal 21 Distribuição normal 22 A distribuição de probabilidade normal padrão 3 Inferência estatística 4 Conclusões 5 Apêndice 4 1 INTRODUÇÃO Este material abordará o conceito de variável aleatória contínua e distribuição de probabilidade contínua A partir desse conceito será apresentada uma das distribuições mais comumente utilizadas em estatística a distribuição de probabilidade normal Será mostrado como calcular probabilidades de variáveis aleatórias contínuas que são normalmente distribuídas Para facilitar os cálculos será apresentada a distribuição Z também chamada de distribuição normal padrão Por fim será iniciado o estudo da inferência estatística avaliando os conceitos de estimação de parâmetros e teste de hipóteses 5 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS E A DISTRIBUI ÇÃO DE PROBABILIDADE NORMAL Já foi dito anteriormente que uma variável aleatória discreta X possui esse nome porque os valores que ela pode assumir são valores discretos X 0 X 1 X 2 etc Entretanto existe uma classe extremamente variada de experimentos aleatórios cujos resultados possíveis podem assumir infinitos valores valores dentro do conjunto dos números reais Nesses casos não podemos mais simplesmente atribuir a probabilidade da variável X assumir um único valor mas sim a probabilidade de ela assumir valores dentro de uma faixa específica Como exemplo suponhamos que um experimento aleatório realize a medição do comprimento de uma amostra de parafusos fabricados por uma máquina Vamos definir a variável aleatória X como sendo o comprimento medido de um parafuso Devido ao fato do comprimento de um parafuso poder assumir infinitos valores por exemplo 23568 cm 236985 cm 2347789 cm não podemos atribuir à variável X a probabilidade de um único valor específico ocorrer mas sim de uma faixa de valores Por exemplo podemos estar interessados na probabilidade do comprimento de um parafuso estar entre 23 cm e 24 cm que denotamos por P 23X24 Assim como um experimento aleatório envolvendo variáveis aleatórias discretas possui uma distribuição de probabilidade associada o mesmo ocorre para variáveis aleatórias contínuas Aqui estudaremos um caso particular de distribuição de probabilidade contínua a distribuição normal Esse tipo de distribuição ocorre em uma ampla gama de situações práticas 21 Distribuição normal Sem dúvida a distribuição de probabilidade normal é a distribuição mais amplamente utilizada em estudos estatísticos Uma distribuição normal é caracterizada pela simetria em torno da média e por dois parâmetros a sua média µ e seu desvio padrão σ A Figura 1 ilustra uma curva normal com as suas características fundamentais e dois exemplos Na Figura 1 a é avaliada a forma de uma distribuição normal bem como os seus parâmetros média e desvio padrão Na Figura 1 b temos duas distribuições normais com médias distintas e desvios padrões iguais Na Figura 1 c temos duas distribuições normais com médias iguais e desvios padrões distintos 6 Figura 1 Distribuição normal a Forma e parâmetros b Médias distintas e dp iguais c Médias iguais e dp distintos a b c Agora que estudamos as características de uma distribuição normal podemos aprender como calcular probabilidades de um experimento aleatório que possa ser representado por uma distribuição normal Como já foi dito ao tratar de distribuições contínuas de probabilidades e a distribuição normal é a mais importante delas estamos interessados nas probabilidades de ocorrência de faixa de valores específicos por exemplo P2 X 5 PX 8 PX 10 etc A Figura 2 avalia três exemplos enfocando que o cálculo de probabilidades em distribuições contínuas é feito encontrando o valor da área abaixo da distribuição Figura 2 Cálculo de probabilidades a Pa X b b PX a c PX a a b c Entretanto um pequeno problema de ordem prática se apresenta Cada distribuição normal possui formas distintas de acordo com os seus parâmetros µ e σ e por isso precisamos realizar cálculos diferentes para cada distribuição avaliada Por esse motivo é extremamente comum recorrermos a uma distribuição normal padrão que já possui os valores de suas áreas calculadas Utilizar a distribuição normal padrão facilita muito os cálculos Tudo o que devemos fazer é uma conversão dos valores da distribuição normal do experimento em estudo para a distribuição normal padrão O próximo tópico irá detalhar como realizar cálculos de probabilidades de uma distribuição normal fazendo uso da distribuição normal padrão 7 22 A distribuição de probabilidade normal padrão Para facilitar os cálculos de probabilidade para uma distribuição normal qualquer é comum recorrermos à chamada distribuição normal padrão Essa distribuição é comumente de distribuição Z e possui uma média µz 0 e um desvio padrão σz 1 A distribuição normal padrão é apresentada na Figura 3 A distribuição normal padrão Já existem tabelas prontas com os valores das áreas abaixo de uma distribuição normal padrão ver Apêndice Essas tabelas facilitam muito os cálculos das probabilidades de qualquer distribuição normal Para tanto basta utilizar a seguinte equação de conversão Onde Z é o nome dado à variável aleatória cuja representação é a distribuição normal padrão X é a variável aleatória em estudo μ e σ são a média e o desvio padrão da variável aleatória X Uma vez realizada a conversão de X em Z basta observar a tabela já pronta com os valores de Z Apêndice Vamos avaliar o exemplo 1 Exemplo 1 Um fabricante de produtos elétricos está lançando no mercado um novo tipo de lâmpada cujos testes de qualidade demonstraram que o tempo de vida útil é normalmente distribuído com média µ 3000 horas e desvio padrão σ 400 horas Façamos X denotar o tempo de vida útil em horas Um cliente compra uma lâmpada desse fabricante Vamos calcular a A probabilidade de a lâmpada falhar em menos de 2000 horas b A probabilidade de a lâmpada falhar após 3500 horas No item a queremos saber a probabilidade PX 2000 8 Figura 4 Exemplo 1 item a A primeira atitude a ser tomada é converter o valor x 2000 da variável aleatória X para o seu respectivo valor z na variável aleatória Z normal padrão utilizando a equação de conversão Agora temos que PX 2000 PZ 250 Basta olhar na tabela Apêndice que o valor de PZ 250 é 00062 Portanto temos que PX 2000PZ 250 00062 062 No item b queremos saber a probabilidade PX 3500 Figura 5 Exemplo 1 item b Novamente o que precisamos fazer é converter o valor x 3500 da variável aleatória X para o seu respectivo valor z na variável aleatória Z normal padrão Agora temos que PX 3500 PZ 125 Notemos um pequeno detalhe a tabela de probabilidades da distribuição normal padrão Apêndice nos fornece a probabilidade PZ125 Porém como sabemos que a área total abaixo de qualquer distribuição de probabilidades deve ser 1 já que representa todo o espaço amostral podemos escrever que 9 PX3500PZ1251PZ125 PX3500PZ125108944 PX3500PZ125010561056 10 3 INFERÊNCIA ESTATÍSTICA O campo da estatística que visa tirar conclusões acerca de uma população com base em uma amostra dessa população é denominado de inferência estatística ou estatística inferencial Classicamente a inferência estatística é subdividida em dois ramos estimação de parâmetros e teste de hipóteses Suponha um fabricante da indústria farmacêutica que pretenda lançar um novo medicamento para dor e uma informação importante é o tempo médio que esse medicamento começa a agir Evidentemente não é possível testar esse medicamento em toda a população humana de modo que o fabricante precise recorrer a uma amostra de voluntários O fabricante deve ser capaz de estimar com uma precisão específica a média real em toda a população do tempo de ação desse medicamento apenas com os dados obtidos na amostra dos voluntários Esse é um exemplo típico de estimação de parâmetros Suponha agora um problema um pouco diferente O órgão regulador apenas aprovará o lançamento do novo medicamento caso o seu tempo médio de ação seja 20 minutos A questão prática que se impões é a seguinte a partir de dados da amostra podemos afirmar que o tempo médio de ação do novo medicamento é de 20 minutos ou não Esse é um exemplo clássico de um teste de hipótese 11 4 CONCLUSÕES Como foi proposto este material se ocupou de estudar conceitos importantes do cálculo de probabilidades tais como o conceito de variável aleatória e distribuição de probabilidades Foi avaliado também o chamado Modelo Binomial que se mostrou extremamente útil no cálculo de probabilidades dos mais variados experimentos aleatórios 12 5 APÊNDICE Tabela de Probabilidades para a distribuição normal padrão 13 INDICAÇÃO DE LEITURA OBRIGATÓRIA SWEENEY D J WILLIAMS T A ANDERSON D R Estatística aplicada à administração e economia 3a ed São Paulo Cengage 2013 Capítulo 6 Introdução e Tópico 62 14 REFERÊNCIAS Costa Neto P O Estatística São Paulo Blücher 2002 Freund J E Estatística Aplicada Economia Administração e Contabilidade Porto Alegre Bookman 2006 Iezzi G Dolce O Matemática 2º grau São Paulo Atual 1974 Meyer P L Probabilidade aplicações à estatística Rio de Janeiro LTC 1982 Montgomery D C Runger G C Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros Rio de Janeiro LTC 2012 15 FIPECAFI Todos os direitos reservados A FIPECAFI assegura a proteção das informações contidas nesse material pelas leis e normas que regulamentam os direitos autorais marcas registradas e patentes Todos os textos imagens sons vídeos eou aplicativos exibidos nesse volume são protegidos pelos direitos autorais não sendo permitidas modificações reproduções transmissões cópias distribuições ou quaisquer outras formas de utilização para fins comerciais ou educacionais sem o consentimento prévio e formal da FIPECAFI CRÉDITOS Autoria Alexandre Alberto Politi Coordenação de Operações Juliana Nascimento Design Instrucional Patricia Brasil Design 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