Métodos de Estimação: MV e MM com Exemplos

1 5 Métodos de Estimação MV e MM Algumas fórmulas do Capítulo 1 Erro Quadrático Médio EQMθn Vθn Eθn θ 2 Variância de θn Quadrado do viés 2 Teorema de Rao e Blackwell VT VETS EVTS 3 Não viés assintótico lim n Eθn θ 4 Consistência ε 0 lim n Pθn θ ε 0 p lim θn θ ε 0 lim n Pθn θ ε 1 5 Desigualdade de Chebyshev ε 0 PX θ ε 1 ε2 EX θ2 6 Função de verossimilhança L Θ ℝ θ Lθ x1 x2 xn fXxi θ lθ x1 x2 xn ln Lθ x1 x2 xn ln fXxi θ 7 Estimador MV do máximo em populações Uniformes Lθ x1 x2 xn 1 θn se xn θ 0 se xn θ 8 Estimador MV da média e variância em populações Laplace fXx θ σ 1 2σ e 1 σ xθ x ℝ lθ σ x1 x2 xn n ln2 n lnσ 1 σ xi θ 9 Se a amostra admite uma estatística suficiente S e o estimador MV de θ for único então ele será função de S Lθ x1 x2 xn gs θ hx1 x2 xn lθ x1 x2 xn ln fXxi θ ln gs θ ln hx1 x2 xn 2 Questões Selecionadas 1 No contexto da questão anterior Seja 𝐗𝟏 𝐗𝟐 𝐗𝐧 uma amostra simples de uma população Gama 𝐗𝚪 𝟐 𝟏 𝛉 com densidade 𝐟𝐗𝐱 𝛉 𝐱 𝛉𝟐 𝐞𝟏 𝛉𝐱 𝐱 𝟎 Sabese que 𝐄𝐗 𝟐𝛉 e 𝐕𝐗 𝟐𝛉𝟐 a Obtenha o estimador MV Máxima Verossimilhança de 𝛉 i Encontrar a função de verossimilhança da amostra Conhecidos Lθ x1 x2 xn fXxiθ e fXx θ x θ2 e1 θx temos Lθ x1 xn 1 θ2n Πxie1 θ xi ii Para maximizar L é preciso igualarse as derivadas primeiras a zero e assegurarse que a derivada segunda é negativa no ponto crítico Porém para se evitar o produtório o que torna complexa a derivação podese maximizar o logaritmo da verossimilhança l lθ x1 xn lnL 2n lnθ 1 θ Σ xi Σ lnxi iii Condição de Primeira Ordem igualando a derivada primeira a zero lθ x1 xn l θ 2n θ 1 θ2 Σ xi 0 2n 1 θ Σ xi θMV 1 2n Σ Xi θMV 1 2 X iv Condição de Segunda Ordem assegurando que a derivada segunda é negativa no ponto crítico substituindo o θMV por seu valor estimado na CPO lθx1 xn l θ 2n θ2 2 θ3 Σ xi 2n θ2 1 X θ 2n θ2 1 X 1 2 X 2n θ2 0 3 b Obtenha o estimador MM Método dos Momentos de 𝛉 e calcule a eficiência Rao Cramér deste estimador i Igualando os momentos populacionais com os momentos amostrais populacionais EX 2θ X θMM 1 2 X Os estimadores MV e MM são iguais ao estimador MVU ii Calculando a eficiência RaoCramér efθ θ Eθ 2 n Vθ I1θ iii Calculando os componentes da fórmula derivada da Esperança e Variância θ Eθ θ E 1 2 X θ 1 2 EX θ θ θ Eθ 1 Vθ V 1 2 X 1 4 VX 1 4 VX n 1 4 2θ2 n Vθ θ2 2n iv Informação de Fisher quando ΩX não depende do parâmetro fXx θ x θ2 e1 θx ln fXX1θ lnX1 2 lnθ 1 θ X1 ln fX θ 2 θ 1 θ2 X1 2 ln fX θ2 2 θ2 2 θ3 X1 I1θ E 2 ln fX θ2 E 2 θ2 2 θ3 X1 2 θ2 2 θ3 2θ I1θ 2 θ2 v Substituindo os valores calculados de volta na fórmula de eficiência efθ 1 n θ2 2n 2 θ2 efθ 1 O estimador é eficiente 4 2 Três firmas disputam o mercado do rastreamento veicular O market share teórico das três firmas é 𝛉𝟏 𝛉𝟐 e 𝛉𝟑 𝟏 𝛉𝟏 𝛉𝟐 respectivamente Uma pesquisa de mercado entre 100 clientes deste serviço mostrou 𝐱𝟏 clientes da firma 1 𝐱𝟐 clientes da firma 2 e 𝐱𝟑 clientes da firma 3 a Dê os estimadores MV Máxima Verossimilhança de 𝛉𝟏 𝛉𝟐 e 𝛉𝟑 i Encontrar a função de verossimilhança da amostra para uma população trinomial Lp1 p2 p3 n x1 x2 x3 p1 x1 p2 x2 p3 x3 n x1 x2 x3 p1 x1 p2 x2 p3 x3 Lθ x1 x2 x3 n x1 x2x3 θ1 x1 θ2 x2 1 θ1 θ2x3 ii Para maximizar L é preciso igualarse as derivadas primeiras a zero e assegurarse que a derivada segunda é negativa no ponto crítico Porém para se evitar o produtório o que torna complexa a derivação podese maximizar o logaritmo da verossimilhança l Iθ x1 x2 x3 lnL ln n x1x2 x3 x1 lnθ1 x2 lnθ2 x3 ln1 θ1 θ2 iii Condição de Primeira Ordem igualando as derivadas primeiras a zero l θ1 θ x1 x2 x3 x1 θ1 x3 1 θ1 θ2 0 x1 θ1x1 x3 θ2x1 0 l θ2 θ x1 x2 x3 x2 θ2 x3 1 θ1 θ2 0 x2 θ2x2 x3 θ1x2 0 x1 x3 x1 x2 x2 x3 θ1 θ2 x1 x2 iv Resolvendo as duas equações usando a Regra de Cramér Nessa regra para se encontrar o valor de uma incógnita realizase uma divisão na qual o numerador é o determinante da matriz dos coeficientes substituindo a coluna dos coeficientes do xi procurado pelos termos depois da igualdade e o denominador é o determinante da matriz dos coeficientes θ1 x1 x1 x2 x2 x3 x1 x3 x1 x2 x2 x3 x1x2 x3 x1x2 nx3 θ1MV X1 n θ2 x1 x3 x1 x2 x2 x1 x3 x1 x2 x2 x3 x2x1 x3 x1x2 nx3 θ2MV X2 n θ3 1 X1 n X2 n θ3MV X3 n 5 iv Condição de Segunda Ordem assegurando que a derivada segunda é negativa no ponto crítico substituindo o θMV por seu valor estimado na CPO Podese checar que a matriz Hessiana é definida negativa de modo que a solução de primeira ordem fornece um ponto de máximo global da verossimilhança b Se 𝐱𝟏 𝟐𝟓 𝐱𝟐 𝟒𝟎 𝐱𝟑 𝟑𝟓 dê as estimativas MV do market share das três firmas i Para se calcular as estimativas MV basta dividir os números de clientes X1 X2 X3 de cada firma pelo total de entrevistados n θ1 x1 n 25 100 25 θ2 x2 n 40 40 θ3 x3 n 35 100 35 3 Considere uma amostra 𝐗𝟏 𝐗𝐧 extraída de uma população X uniforme no intervalo 𝛉 𝛉 𝟏 𝛉 𝟎 a Escreva a Verossimilhança amostral representea graficamente e mostre que existe uma infinidade de estimadores MV para 𝛉 no intervalo 𝐗𝐧 𝟏 𝐗𝟏 i Encontrar a função de verossimilhança da amostra Conhecido Lθ x1 x2 xn f1nx1 x2 xn θ temos Lθ x1 xn 1 θ x1 x2 xn θ 1 0 caso contrário Lθ x1 xn 1θθ1x1 xn ii O máximo da verossimilhança L 1 ocorre quando θ x1 xn θ 1 ou xn 1 θ x1 O gráfico ao lado ilustra a solução MV 6 b Um dos estimadores MV é 𝛉 𝟏 𝟐 𝐗𝐧 𝟏 𝐗𝟏 Calcule o seu valor esperado O estimador é consistente O que você pode dizer sobre suas propriedades assintóticas i Inicialmente verificamos a função de distribuição acumulada da amostra FXx x θ θ x θ 1 0 x 0 1 x θ 1 ii Calculamos as funções de distribuição acumulada do mínimo e máximo amostrais FX1x 1 1 FXxn 1 1 x θn θ x θ 1 0 x 0 1 x θ 1 FXnx FXxn x θn θ x θ 1 0 x 0 1 x θ 1 iii Calculamos as esperanças a partir das fda calculadas EX1 1 FX1x dx 0 1 0dx θ 0 1 x θ ndx θ1 θ 1 1dx θ1 EX1 θ 1 n 1 1 x θ n1 θ θ1 0 EX1 θ 1 n 1 EXn 1 FXnx dx 0 1 0dx θ 0 1 x θndx θ1 θ 1 1dx θ1 EXn θ θ 1 θ 1 n 1 x θn1 θ θ1 0 EXn θ 1 1 n 1 iv Levando em conta a igualdade EX1 EXn 2θ 1 podemos estimar θ Eθ E 1 2 Xn X1 1 Eθ 1 2 EXn EX1 1 Eθ 1 2 θ 1 1 n 1 θ 1 n 1 1 Eθ 1 2 2θ Eθ θ O estimador proposto é não viesado 7 v Analisando as propriedades assintóticas do estimador MV Converge para θ0 θn n θ0 q c Assintoticamente não viesado lim n Eθn θ Consistente p lim θn θ0 Assintoticamente eficiente nθn θ0 v a N 0 1 I1θ0 c Dê o estimador MM de 𝜽 Quais são suas propriedades assintóticas i Igualando os momentos populacionais com os momentos amostrais populacionais EX a b 2 θ θ 1 2 θ 1 2 X θ X 1 2 O estimador de momentos de θ é não viesado e assintoticamente consistente 4 Seja 𝑿𝟏 𝑿𝒏 uma amostra de uma população X Poisson com parâmetro 𝝀 𝟎 a Ache o estimador MV de 𝝀 e use o teorema de Lehman e Scheffé para provar que ele é não viesado de menor variância MVU i Encontrar a função de verossimilhança da amostra Lθ x1 xn enλλxi xi xi 012 0 caso contrário ii Para maximizar L é preciso igualarse as derivadas primeiras a zero e assegurarse que a derivada segunda é negativa no ponto crítico Porém para se evitar o produtório o que torna complexa a derivação podese maximizar o logaritmo da verossimilhança l lθ lnLθ x1 xn nλ xi lnλ ln xi iii Condição de Primeira Ordem igualando a derivada primeira a zero l θ n xi λ 0 λ xi n λ X Como é um estimador não viesado e função de uma estatística suficiente pelo teorema de Rao Blackwell é um estimador de menor variância Por outro lado vimos que a densidade da Poisson pertence a uma família completa Logo pelo teorema de Lehman e Scheffé λ é o único estimador não viesado de menor variância MVU 8 b Dê a variância assintótica do estimador MV de 𝝀 i Da letra c temos que I12nλ n λ ii Das propriedades assintóticas dos estimadores MV temos Vλ 1 I1λ0 Vassλ λ n iii Nesse caso a variância assintótica coincide com a variância do estimador de amostras infinitas pois Vλ VX VX n λ n 5 Um produto de grande aceitação é vendido no mercado por quatro firmas distintas O market share de cada firma é dado por 𝟏 𝟒 𝛉 𝟏 𝟑 𝛉 𝟏 𝟐 𝛉 e 𝟏 𝟏𝟑 𝟏𝟐 𝛉 respectivamente onde 𝛉 é um parâmetro desconhecido 𝟎 𝛉 𝟏 Em uma amostra de tamanho n 𝐗𝟏 consumidores adquirem o produto da primeira marca 𝐗𝟐 o produto da segunda marca e 𝐗𝟑 o da terceira e 𝐗𝟒 da quarta firma 𝐗𝟏 𝐗𝟐 𝐗𝟑 𝐗𝟒 𝐧 a Dê o estimador MV de 𝛉 i Encontrar a função de verossimilhança da amostra para uma população tetranomial Lp1 p2 p3 p4 n x1 x2 x3 x4 p1 x1 p2 x2 p3 x3 p4 x4 n x1 x2 x3 x4 p1 x1 p2 x2 p3 x3 p4 x4 Lθ x1 x2 x3 x4 n x1x2 x3 x4 1 4 θ x1 1 3 θ x2 1 2 θ x3 1 13 12 θ x4 ii Para maximizar L é preciso igualarse as derivadas primeiras a zero e assegurarse que a derivada segunda é negativa no ponto crítico Porém para se evitar o produtório o que torna complexa a derivação podese maximizar o logaritmo da verossimilhança l lθ lnLθ x1 xn ln n x1x2 x3 x4 x1 ln4 x2 ln3 x3 ln2 x4 ln 1 13 12 θ x1 x2 x3 lnθ iii Condição de Primeira Ordem igualando a derivada primeira a zero l θ x4 1 1 13 12 θ 13 12 x1 x2 x3 θ 0 13x4 12 13θ n x4 θ 0 13θx4 n x412 13θ 12 13θθ 0 13θx4 n x412 13θ 0 θ 12 13 1 x4 n 9 b Se em 100 compradores observouse 𝐱𝟏 𝟏𝟎 𝐱𝟐 𝟐𝟎 𝐱𝟑 𝟑𝟎 𝐱𝟒 𝟒𝟎 dê a estimativa amostral de 𝛉 e do market share estimado das 4 firmas i Estimando a partir da amostra o valor de θ θ 12 13 1 40 100 36 65 055385 ii Estimando o market share de cada firma com base nos dados do enunciado s1 1 4 36 65 9 65 s1 1384 s2 1 3 36 65 12 65 s2 1846 s3 1 2 36 65 18 65 s3 2770 s4 1 13 12 36 65 26 65 s4 4000 6 Seja 𝐗𝟏 𝐗𝐧 uma amostra simples de uma população Pareto com densidade 𝐟𝐗𝐱 𝛉 𝛉 𝐀 𝐀 𝐱 𝛉𝟏 𝐱 𝐀 𝛉 𝟐 a Dê os estimadores MV dos parâmetros A e 𝛉 Função de Verossimilhança LA θ x1 xn fXx1 A θ θnAθn 1 xi θ1 A x1 0 caso contrário A θ x1 xn fXx1A θ θnAθn 1 xiθ1 A x1 0 caso contrário AMV X1 A solução para θ é interior lA θ x1 xn n ln θ θn ln x1 θ 1 lnxi A x1 lA θ x1 xn n ln θ θn ln x1 θ 1 ln Σ xi A x1 lθ x1 xn n θ n ln x1 Σ ln xi 0 10 n θ Σ ln xi n ln x1 n θ Σ ln xi x1 θMV n Σ ln Xi X1 A solução X1 θMV é um ponto de máximo da verossimilhança pois lθ x1 xn n θ2 0 b Dê os estimadores MM de A e 𝛉 Estimadores de momentos Calculando EX e VX EX θAθ xθdx A θAθ 1 θ 1 xθ1 A θ θ 1 A EX2 θAθ xθ1dx A θAθ 1 θ 2 xθ2 A θ θ 2 A2 VX EX2 EX2 θ θ 2 A2 θ θ 1 A 2 θ θ 12θ 2 A2 Calculando os estimadores X θ θ 1 A e Sn1 2 θ θ 12θ 2 A2 Substituindo a primeira equação na segunda Sn1 2 AX θ 1θ 2 A θ 1θ 2 X Sn1 2 Substituindo a última equação na primeira X θ θ 1 θ 1θ 2 X Sn1 2 X2 θθ 2Sn1 2 θ2 2θ X Sn1 2 0 Resolvendo os estimadores θMM 1 1 X Sn1 2 e AMM 1 X Sn1 2 1 1 X Sn1 2 X 11 c Explique porque os estimadores MV são preferíveis mesmo em pequenas amostras Os estimadores MV são preferíveis aos estimadores MM neste caso porque eles são funções de estatísticas suficientes ou seja eles carregam todo o conteúdo informacional contido na amostra No caso dos estimadores MM eles estão baseados nas estatísticas Xi e Xi 2 as quais não são suficientes Pelo teorema da fatoração de Neyman é fácil perceber que as estatísticas suficientes para A e θ são X1 e Xi 7 No contexto da questão 6 ache a variância assintótica do estimador MV de 𝛉 A variância assintótica do estimador MV de θ é igual ao inverso da quantidade de Informação contida na amostra sobre este parâmetro como propriedade os estimadores MV são assintoticamente eficientes Vamos então obter I1nθ Fixado A o suporte da va X não depende de θ Logo podemos calcular primeiro a informação contida em X1 ln fXX1θ ln θ θ ln A θ 1 ln X1 ln fXX1θ θ 1 θ ln A ln X1 2 ln fXX1θ θ2 1 θ2 I1θ E 2 ln fXX1 θ θ2 E 1 θ2 1 θ2 I1nθ n θ2 Assim a variância assintótica de θ n lnXi X1 é Vassθ I1n 1 θ θ2 n 8 O preço por metro quadrado X dos novos apartamentos construídos na Costa Azul é distribuído uniformemente no intervalo ab onde ab são parâmetros a serem estimados através de uma amostra simples 𝐗𝟏 𝐗𝐧 a Dê os estimadores MV de a e de b Verossimilhança La b x1 x2 xn 1 b a n a x1 xn b 0 caso contrário O ponto que maximiza a verossimilhança é aMV X1 bMM Xn 12 b Ache os estimadores MM de a e de b Estimadores de momentos igualamse os dois primeiros momentos amostrais com os dois primeiros momentos populacionais X EX a b 2 Sn1 2 VX b a2 12 aMM X 3 Sn1 bMM X 3 Sn1 9 No contexto da questão anterior a Dê os estimadores MVU de a e de b Os estimadores MV de a e b são estatísticas suficientes e completas Pelo teorema de Lehmann e Scheffé se acharmos funções φ1X1 X2 e φ2X2 X1 tais que Eφ1X1 X2 a e Eφ2X2 X1 b então a φ1X1 X2 e b φ2X2 X1 serão os únicos estimadores MVU de a e b Vamos primeiro obter a densidade de X1 FX1x a b 1 1 FXx n 1 b x b a n fX1x a b n 1 b a n b xn1 Eb X1 n 1 b a n b xndx b a n n 1 b a EX1 b n n 1 b a b na n 1 Obtendo a densidade de Xn FXnx a b FXx n x a b a n fXnx a b n 1 b a n x an1 EXn a n 1 b a n x andx b a n n 1 b a EXn a n n 1 b a a nb n 1 A densidade de X1 superestima a e a densidade de Xn subestima b 13 Para obtermos as funções φ1 e φ2 consideremos o sistema de equações lineares n 1 X1 Xn n 1 1 n a b a b n 1 1 n 1 X1 Xn n 1 a b n n2 1 1 n2 1 1 n2 1 n n2 1 X1 Xn n 1 nX1 Xn n 1 nXn X1 n 1 Podemos checar que Ea a e Eb b Logo a φ1X1 X2 nX1 Xn n 1 b φ2X1 X2 nXn X1 n 1 São os estimadores MVU de a e b b Se em uma amostra de 30 lançamentos o preço do m² mínimo foi de 8000 reais e o preço máximo foi de 15000 reais dê as estimativas MVU de a e de b Estimativas a 30 8000 15000 29 7758 reais b 30 15000 8000 29 15241 reais 10 Seja 𝐗𝟏 𝐗𝟐 𝐗𝐧 uma amostra de uma população 𝐗𝐋𝐚𝐩𝐥𝐚𝐜𝐞𝛍 𝛔 com densidade 𝐟𝐗𝐱 𝛉 𝟏 𝟐𝛔 𝐞𝟏 𝛔𝐱𝛍 𝐱 ℝ Lembre que o estimador MV de 𝛍 é a mediana amostral 𝐗𝐧𝟏 𝟐 supondo n ímpar Sabemos também que 𝐄𝐗 𝛍 e 𝐕𝐗 𝟐𝛔𝟐 Usando um teorema para a convergência das estatísticas ordenada de ordem temos a convergência da mediana amostral 𝐌 𝐗𝐧𝟏 𝟐 para uma distribuição Normal 𝐧 𝐌 𝐅𝐗 𝟏 𝟏 𝟐 𝐟𝐗 𝐅𝐗 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝐝 𝐧 𝐍𝟎 𝟏 a Use o critério EQM para comparar os estimadores MV e MM de 𝛍 para o estimador MV use os momentos assintóticos deduzidos da fórmula acima Qual deles é preferível Explique 14 M Xn1 2 é o estimador MV de μ como dito no enunciado Usando a fórmula FX 11 2 μ fX FX 11 2 fXμ 1 2σ n M μ 1 2 1 2σ n σ M μ n N01 Logo assintoticamente temos EM μ VM σ2 n EQMμMV σ2 n Para o estimador de momentos EX X μMM X EμMM EX μ VμMM VX VX n 2σ2 n Comparando os dois estimadores EQMμMM 2σ2 n 2EQMμMV EQMμMV Deste modo o estimador MV é preferível Ele é baseado em uma estatística suficiente a medidana O estimador MM não é baseado em uma estatística suficiente b Use Chebyshev para mostrar que os estimadores de 𝛍 MV e MM são ambos consistentes Por Chebyshev para que um estimador seja consistente basta que ele seja assintoticamente não viesado e que sua variância tenda a 0 quando n tende ao infinito Este é o caso de ambos estimadores de μ vistos no item a Logo os estimadores MV e MM de μ são ambos consistentes QUESTÕES SELECIONADAS CAPÍTULO V 1 222 T2 Q2ab 2 222 T2 Q3ab 3 221 T1 Q1abc 4 221 T1 Q2bd 5 221 T1 Q3ab 6 222 P1 Q1abc 7 222 P1 Q2 8 222 P1 Q3ab 9 222 P1 Q4ab 10 222 P1 Q5ab