Teorema de Rao e Blackwell e Estimador MVU de θ

5 EQM MVU Propriedades Assintóticas Teoremas do Capítulo I Teorema de Rao e Blackwell Se S é uma estatística suficiente para θ e T é um estimador não viesado de θ sem ser função apenas de S então θ ETS é um estimador não viesado de θ tal que Vθ VT II Famílias e estatísticas completas Se para toda função ux a premissa EuX 0 implicar que uX 0 q c então a família fx θ θ Θ é completa III Teorema de Lehman e Scheffé Supondo que S é uma estatística suficiente e completa de uma família completa para θ Se existe uma função φS que é um estimador não viesado de θ tal que EφS 0 então φS é o único estimador MVU de θ Questões Selecionadas 1 Seja 𝐗𝟏 𝐗𝟐 𝐗𝐧 uma amostra simples de uma população Gama 𝐗𝚪 𝟐 𝟏 𝛉 com densidade 𝐟𝐗𝐱 𝛉 𝐱 𝛉𝟐 𝐞𝟏 𝛉𝐱 𝐱 𝟎 Sabese que 𝐄𝐗 𝟐𝛉 e 𝐕𝐗 𝟐𝛉𝟐 a Use o Teorema de Lehamn e Scheffé para obter o único estimador MVU Minimum Variance Unbiased de 𝛉 Conhecimento prévio necessário A distribuição Gama pertence à família exponencial cap V pág 8 A família das distribuições exponenciais é completa cap V pág 6 A estatística S somatório das va de uma família exponencial segue a distribuição Gama 𝐒𝚪𝐧 𝛉 cap IV pág 7 A estatística T é completa se sua fdp pertence a uma família completa cap V pág 6 Teorema de Lehman e Scheffé cap V pág 6 o Para uma estatística S suficiente e completa se existe uma função φS que é um estimador não viesado de θ tal que EφS θ então φS é o único estimador MVU de θ i Levando em conta que a amostra tem distribuição Gama XΓα β ou seja pertence à família exponencial então a soma das va Sn Xi terá distribuição Gama SnΓnα β ii Dessa forma a estatística S Xi definida como suficiente no exercício a por fatoração de Neyman por possuir uma distribuição Gama também será completa iii Por fim utilizaremos o Teorema de Lehmann e Scheffé para determinar o único estimador MVU de θ Pelo enunciado da questão temos que EX 2θ Assim ESn EnX nEX n 2θ EφSn E Sn 2n 1 2n ESn θ Portanto o valor de φS S 2n é o único estimador MVU de θ de forma que θn S 2n 1 2 X 2 Seja 𝐗𝟏 𝐗𝐧 uma amostra casual simples de uma população 𝐗𝐍𝟎 𝛔𝟐 a Considere os dois estimadores alternativos para 𝛔𝟐 𝛔𝟐 𝟏 𝐧 𝐗𝐢 𝟐 𝛔𝟐 𝟏 𝐧 𝟏 𝐗𝐢 𝟐 Use o critério EQM para escolher entre estes dois estimadores Conhecimento prévio necessário EQMθ Vθ Eθ θ 2 cap V pág 2 Se XNμ σ2 então Z Xμ σ N01 Estatística I Se XiN01 então Xi 2 χn2 Estatística I Eχ2v v Estatística I Vχ2v 2v Estatística I i Para utilizarmos as propriedades da QuiQuadrado precisamos normalizar a nossa distribuição Xi 0 σ 2 Xi2 σ2 χ2n ii Calculando as esperanças dos estimadores Xi2 σ2 nσ2 σ2 χ2n E nσ2 σ2 n Eσ2 σ2 Xi2 σ2 n 1σ2 σ2 χ2n E n 1σ2 σ2 n Eσ2 n n 1 σ2 iii Calculando as variâncias dos estimadores V nσ2 σ2 2n Vσ2 2 n σ4 V n 1σ2 σ2 2n Vσ2 2n n 12 σ4 iv Calculando os EQM dos estimadores EQMσ2 Vσ2 Eσ2 σ22 EQMσ2 2 n σ4 02 EQMσ2 2 n σ4 EQMσ2 Vσ2 Eσ2 σ22 EQMσ2 2n n 12 σ4 1 n 1 σ2 2 EQMσ2 2n n 12 σ4 1 n 12 σ4 EQMσ2 2n 1 n 12 σ4 v Calculando qual estimador teve o menor EQM EQMσ2 EQMσ2 2 n σ4 2n 1 n 12 σ4 2 n n 12 2n 1 2n2 4n 2 2n2 n 4 2 n 0 EQMσ2 EQMσ2 Como σ2 é não viesado e tem variância menor que σ2 ele tem um EQM menor b Use Chebyshev para provar que os estimadores do item anterior são ambos consistentes Conhecimento prévio necessário Erro Quadrático Médio cap V pág 2 𝐄𝐐𝐌 𝐄𝛉 𝛉 𝟐 𝐕𝛉 𝐄𝛉 𝛉 𝟐 Desigualdade de Chebyshev cap V pág 11 𝛆 𝟎 𝐏𝛉 𝛉 𝛆 𝟏 𝛆𝟐 𝐄𝛉 𝛉 𝟐 i Observar a condição à direita da desigualdade de Chebyshev 1 ε2 Eθ θ 2 1 ε2 Vθ Eθ θ 2 Os limites lim n Eθ θ e lim n Vθ 0 implicam que lim n 1 ε2 EQM 1 ε2 0 02 0 ii Verificar se as condições se aplicam aos EQM dos estimadores propostos ε 0 Pσ2 σ2 ε EQMσ2 ε2 2 nσ4 ε2 n 0 Logo P lim σ2 σ2 O estimador σ é consistente ε 0 Pσ2 σ2 ε EQMσ2 ε2 2n1 n12σ4 ε2 n 0 Logo P lim σ2 σ2 O estimador σ é consistente 3 Seja 𝐗𝟏 𝐗𝐧 uma amostra sobre uma população𝐗𝐔𝐧𝐢𝐟𝛉 𝟏 𝟎 𝛉 𝟏 a Use o Teorema de Lehman e Scheffé para obter o estimador MVU de 𝛉 Minimum Variance Unbiased Conhecimento prévio necessário A estatística X1 é suficiente letra a da questão A estatística X1 é completa na distribuição uniforme cap V pág 7 EX1 nθ 1 n 1 letra b da questão Teorema de Lehman e Scheffé cap V pág 6 o Para uma estatística S suficiente e completa se existe uma função φS que é um estimador não viesado de θ tal que EφS θ então φS é o único estimador MVU de θ i Como X1 é uma estatística completa podemos aplicar Lehmann e Scheffé nθ 1 n 1 EX1 nθ 1 n 1 X1 φX1 θ n 1 X1 1 n EφX1 θ ii Como a função φ permite que o estimador θ pode ser negativo para valores de x1 menores que 1 n1 e como pelo enunciado 0 θ 1 o estimador MVU será θ max 0 n 1X1 1 n 4 Seja 𝐗𝟏 𝐗𝟐 𝐗𝐧 a amostra de uma população 𝐗𝐆𝐩 geométrica a Dê uma estatística suficiente e completa para a probabilidade de sucesso p Conhecimento prévio necessário Probabilidade da Amostra cap I pág 3 o fX1Xn fXx1 fXxn para amostras iid Função de Densidade de Probabilidade da distribuição Geométrica Estatística I o fXx p p1 px1 x 12 Teorema da Fatoração de Neyman cap II pág 9 o TX1 Xn é suficiente para θ se é possível reescrever a fdp da amostra assim fX1Xnx1 xn θ gt θ hx1 xn h não depende de θ A soma de va com distribuição Geométrica segue uma distribuição Pascal e a fdp de uma distribuição Pascal Estatística I O teste para saber se uma estatística é completa o Se para toda função ux a premissa EuX 0 implicar que uX 0 q c então a família fx θ θ Θ é completa i Calculando a probabilidade da amostra fXx p p1 px1 x 123 fX1Xnx1 xn p pn 1 pxi1 pn1 p xin ii Representando a soma dos valores de X pela estatística S Xi fX1Xnx1 xn p pn1 psn iii Utilizando o Teorema da Fatoração para verificar se S é uma estatística suficiente fX1Xnx1 xn p pn1 psn gs p pn1 psn hx1 xn 1 Sim S é uma estatística suficiente para p iv Verificando se S é uma estatística completa através de uX e EuX SPascaln p fSs n p s 1 n 1 pn1 psn s n n 1 n 2 Seja u uma função qualquer tal que EuS us fSs n p us s 1 p 1 pn1 psn EuS p 1 p n us s 1 n 1 1 ps 0 p 01 A expressão us s 1 n 1 1 ps é um polinômio em 1 p com coeficiente na potência s igual a us s 1 n 1 Ela se anula para todo p se e somente se todos os coeficientes são nulos o que requere que us us 1 us 2 0 Portanto S é completa Logo S Xi é uma estatística suficiente e completa 5 A produção de grãos de uma determinada região pode ser aproximada por uma va X exponencial truncada com densidade𝐟𝐗𝐱 𝛉 𝛉𝐞𝛉𝐱𝟏 se 𝐱 𝟏 e 𝐟𝐗𝐱 𝛉 𝟎 para 𝐱 𝟏 𝛉 𝟎 Se 𝐗𝟏 𝐗𝐧 é uma amostra de n safras independentes a Ache 𝛉 o estimador MVU Minimum Variance Unbiased de 𝛉 Conhecimento prévio necessário Probabilidade da Amostra cap I pág 3 o fX1Xn fXx1 fXxn para amostras iid Teorema da Fatoração de Neyman cap II pág 9 o TX1 Xn é suficiente para θ se é possível reescrever a fdp da amostra assim fX1Xnx1 xn θ gt θ hx1 xn h não depende de θ Teorema de Rao e Blackwell cap V pág 4 o Se S é uma estatística suficiente para θ e T é um estimador não viesado de θ sem ser função apenas de S então θ ETS é um estimador não viesado de θ tal que Vθ VT A distribuição Gama pertence à família exponencial cap V pág 8 A família das distribuições exponenciais é completa cap V pág 6 A estatística S somatório das va de uma família exponencial segue a distribuição Gama 𝐒𝚪𝐧 𝛉 cap IV pág 7 A estatística T é completa se sua fdp pertence a uma família completa cap V pág 6 Teorema de Lehman e Scheffé cap V pág 6 o Para uma estatística S suficiente e completa se existe uma função φS que é um estimador não viesado de θ tal que EφS θ então φS é o único estimador MVU de θ i Calculando a probabilidade da amostra fXx θ θeθx1 fX1Xnx1 xn θneθxi1 ii Representando a soma dos valores de X pela estatística S Xi fX1Xnx1 xn θneθsn iii Utilizando o Teorema da Fatoração para verificar se S é uma estatística suficiente fX1Xnx1 xn gs θ hx1 xn gs θ θnesn hx1 xn 1 Logo S é uma estatística suficiente para θ iv Encontrando o estimador MVU que deverá ser função de S Rao e Blackwell Yi Xi 1Expθ Yi Xi 1 S nΓn θ Como a distribuição Gama pertence à família exponencial S n é estatística completa v Temos então ES n n θ E n sn θ pela distribuição Gama Calculemos E n S n n t θn Γn tn1eθtdt 0 nθn Γn tn2eθtdt 0 nθnθ1n Γn un11 0 eudu u θt Considerando que un11eudt 0 Γn 1 temos E n S n nθnθn1 Γn Γn 1 nθ n 1 Γn 1 Γn 1 n n 1 θ θ n 1 n n S n θ n 1 S n vi Pelo teorema de Lehman e Scheffé como E n1 n n Sn θ o estimador MVU de θ será θ n 1 S n b Mostre que 𝛉 é um estimador consistente de 𝛉 no sentido de que 𝛜 𝟎 𝐥𝐢𝐦 𝐧𝛉 𝛉 𝛜 𝟎 para todo 𝛉 𝟎 Conhecimento prévio necessário S nΓn θ da questão a XΓk θ fx k θ xk1ex θ θkΓk EX x fxdx Consistência cap V pág 9 𝜀 0 lim 𝑛 𝑃𝜃𝑛 𝜃 𝜀 0 Desigualdade de Chebyshev cap V pág 11 𝛆 𝟎 𝐏𝛉 𝛉 𝛆 𝟏 𝛆𝟐 𝐄𝛉 𝛉 𝟐 i Para mostrar que θ converge em probabilidade para θ basta mostrar que sua variância tende a 0 em grandes amostras uma vez que ele é não viesado Calculemos então sua variância Eθ2 n 12 E 1 S n 2 n 12 1 t2 0 θn Γn tn1 eθtdt n 12 θn Γn tn3eθtdt 0 n 12 θnθ2n Γn un21eudu 0 u tθ n 12 θ2 Γn Γn 2 n 12 θ2 n 1 n 2 Γn 2 Γn 2 n 1 n 2 θ2 definida para n 34 Deste modo Vθ Eθ2 Eθ 2 n1 n2 θ2 θ2 θ2 n2 n 0 e assim θ é consistente ϵ 0 0 lim n Pθ θ ϵ lim n Vθ ϵ2 0 usando Chebyshev QUESTÕES SELECIONADAS CAPÍTULO V 1 222 T2 Q1b 2 221 P1 Q1ab 3 212 T1 Q1c 4 211 T1 Q3a 5 211 T1 Q4ab