Estatísticas Suficientes e Teorema da Fatoração de Neyman

1 2 Estatísticas Parâmetros Suficiência Questões Selecionadas 1 Considere a amostra 𝐗𝟏 𝐗𝐧 de uma população 𝐗 com densidade 𝐟𝐗𝐱 𝛌 𝟐𝐱 𝛌𝟐 𝐬𝐞 𝟎 𝐱 𝛌 𝟎 𝐜𝐚𝐬𝐨 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐫á𝐫𝐢𝐨 b Ache uma estatística suficiente para 𝛌 A estatística T é suficiente para λ se e somente se a função densidade conjunta pode ser decomposta nas funções h e g em que a função h depende exclusivamente da amostra não depende de λ e a função g depende de λ e depende da amostra por meio de T Ou seja na função g é que aparecerá a estatística suficiente fX1X2Xnx1 x2 xn λ gtx1 x2 xn λ hx onde h não depende de λ Retomando a função de densidade conjunta do item a fX1X2Xnx1 x2 xn λ 2 λ2 n xi n i1 se xn λ 0 se xn λ Podemos resumir a fdp da amostra em apenas uma função utilizando uma função indicadora Ixn de modo que ela retorne os mesmos valores Ixn 1 se xn 0 λ 0 se xn 0 λ fX1X2Xnx1 x2 xn λ Ixn 2 λ2 n xi n i1 Identificando as funções g e h fX1X2Xnx1 x2 xn λ gtx1 x2 xn λ hx1 x2 xn fX1X2Xnx1 x2 xn λ gtx1 x2 xn λ Ixn 2 λ2 n hx1 x2 xn xi Portanto uma estatística T suficiente para o parâmetro λ está contida na função g e consiste no valor máximo da amostra T Xn 2 2 Seja 𝐗𝟏 𝐗𝟐 𝐗𝐧 amostra de uma população 𝐗 com 𝐟𝐗𝐱 𝛉 𝟑𝛉𝟑 𝐱𝛉𝟒 𝐱 𝟎 𝛉 𝟎 b Ache a estatística suficiente para 𝛉 Não é possível reunir todas as observações xi como argumentos de uma função T assumindo valores reais unidimensionais Dessa forma a densidade da amostra não pode ser colocada no formato requerido pelo teorema da fatoração de Neyman fX1 X2 Xnx1 x2 xn gtx1 x2 xn θ hx1 x2 xn Portanto a única estatística suficiente para θ é a estatística ndimensional da amostra inteira X1X2Xn 3 Seja 𝐗𝟏 𝐗𝐧 uma amostra de uma população XPoisson com parâmetro 𝛌 𝟎 a Use a fatoração de Neyman para identificar uma estatística suficiente para 𝛌 Por definição a distribuição de Poisson possui uma função de probabilidade de fXx 1 x eλλx A probabilidade ou densidade da amostra é o produto da probabilidade de cada realização fX1X2Xnx1 x2 xn λ fXx1 λ fXx2λ fXxn λ Portanto inserindo os valores da fdp da população na fórmula obteremos a fdp da amostra fX1X2Xnx1 x2 xn λ 1 x1 eλλx1 1 x2eλλx2 1 xn eλλxn fX1X2Xnx1 x2 xn λ 1 x1x2 xn enλ λx1x2xn fX1X2Xnx1 x2 xn λ enλ λ xi xi Identificando as funções g e h fX1X2Xnx1 x2 xn λ gtx1 x2 xn λ hx1 x2 xn fX1X2Xnx1 x2 xn λ gtx1 x2 xn λ enλ λ xi hx1 x2 xn xi Portanto uma estatística T suficiente para o parâmetro λ está contida na função g e consiste no somatório dos valores da amostra T ΣXi 3 4 Seja 𝐗𝟏 𝐗𝐧 uma amostra sobre uma população 𝐗𝐔𝐧𝐢𝐟𝛉 𝟏 𝟎 𝛉 𝟏 a Use o teorema da fatorização de Neymann para obter uma estatística suficiente para 𝛉 Por definição a fdp da população uniforme é fXx 1 1 θ se θ x 1 0 cc A fdp da amostra é dada pela multiplicação entre a fdp de cada realização fX1X2Xnx1 x2 xn 1 1 θ n se θ x1 x2 xn 1 0 cc Utilizando a função indicadora para reduzir a fdp da amostra em apenas uma função 1x1 1 se x1 θ 1 0 se x1 θ 1 fX1X2Xnx1 x2 xn 1x1 1 1 θ n 1 Identificando as funções g e h fX1X2Xnx1 x2 xn θ gtx1 x2 xn θ hx1 x2 xn fX1X2Xnx1 x2 xn θ gtx1 x2 xn θ 1x1 1 1 θ n hx1 x2 xn 1 Portanto uma estatística T suficiente para o parâmetro θ está contida na função g e consiste no valor mínimo da amostra T X1 b Calcule o valor esperado da estatística suficiente obtida no item anterior Por definição temos que a fda da Uniformeab é FXx x a b a se a x b 0 se x a 1 se x b Para este caso em específico onde aθ e b1 temos 4 FXx x θ 1 θ se θ x 1 0 se x θ 1 se x θ Do texto cap 2 eq 10 temos a fda do mínimo amostral FX1x 1 1 FXx n FX1x 1 1 x θ 1 θ n 0 se x θ 1 se x θ se θ x 1 FX1x 1 1 θ 1 θ x θ 1 θ n 0 se x θ 1 se x θ se θ x 1 FX1x 1 1 x 1 θ n se θ x 1 0 se x θ 1 se x θ Para obter fX1x é necessário derivar a fda em relação a x fX1x d dx FX1x fX1 n 1 xn1 1 θn se θ x 1 0 cc Por definição o valor esperado é EX x fxdx EX1 xn 1 xn1 1 θn dx 1 θ EX1 1 n 1 nθ n 1 nθ 1 n 1 5 Seja 𝐗𝟏 𝐗𝟐 𝐗𝐧 uma amostra de uma população 𝐗 discreta com função de probabilidade 𝐟𝐗𝐱 𝛉 𝟏 𝛉𝛉𝐱 𝐱 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝟎 𝛉 𝟏 5 a Use a fatoração de Neymann para achar uma estatística suficiente para 𝛉 A probabilidade ou densidade da amostra é o produto da probabilidade de cada realização fX1X2Xnx1 x2 xn θ fXx1 fXx2 fXxn Portanto inserindo os valores da fdp da população na fórmula obteremos a fdp da amostra fX1X2Xnx1 x2 xn θ 1 θθx1 1 θθx2 1 θθxn se 0 θ λ 0 caso contrário fX1X2Xnx1 x2 xn θ 1 θn θ xi se 0 θ λ 0 caso contrário Identificando as funções g e h fX1X2Xnx1 x2 xn θ gtx1 x2 xn θ hx1 x2 xn fX1X2Xnx1 x2 xn θ gtx1 x2 xn θ 1 θn θ xi hx1 x2 xn 1 Portanto uma estatística T suficiente para o parâmetro θ está contida na função g e consiste no somatório dos valores da amostra T ΣXi 6 Seja 𝐗𝟏 𝐗𝐧 uma amostra casual simples de uma população Geométrica 𝐗 com função de probabilidade 𝐏𝐗 𝐱 𝐩𝟏 𝐩𝐱𝟏 𝐱 𝟏 𝟐 𝟑 A va 𝐗 dá o número de provas até a obtenção do primeiro sucesso em um experimento de Bernoulli com probabilidade de sucesso 𝐩 Sabese que 𝐕𝐗 𝟏𝐩 𝐩𝟐 a Use a fatorização de Neyman para identificar uma estatística suficiente para 𝐩 Por definição a função de probabilidade de uma distribuição Geométrica é fXx PX x p1 px1 A probabilidade ou densidade da amostra é o produto da probabilidade de cada realização fX1X2Xnx1 x2 xn p fXx1 fXx2 fXxn 6 Portanto inserindo os valores da fdp da população na fórmula obteremos a fdp da amostra fX1X2Xnx1 x2 xn p1 px11 p1 px21 p1 pxn1 fX1X2Xnx1 x2 xn pn 1 pnxi Identificando as funções g e h fX1X2Xnx1 x2 xn p gtx1 x2 xn p hx1 x2 xn fX1X2Xnx1 x2 xn p gtx1 x2 xn p pn1 pn xi hx1 x2 xn 1 Portanto uma estatística T suficiente para o parâmetro p está contida na função g e consiste no somatório dos valores da amostra T ΣXi QUESTÕES SELECIONADAS CAPÍTULO II 1 222 T1 Q1b 2 222 T1 Q3b 3 221 T1 Q2a 4 212 T1 Q1ab 5 212 T1 Q2a 6 221 P1 Q2a