Algebra Lista3

1 Seja U2 2 R é o espaço vetorial das matrizes triangulares superiores de ordem 2 com entradas reais Se T U2 2 R U2 2 R é dada por T a b 0 c a b b c 0 a c calcule TBB onde B 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 2 Se mudarmos a base para B1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 calcule TB₁B₁ por determinar a matriz mudança de base P tal que TB₁B₁ P¹TBBP 2 Considere T P2R P2R definida por T a bx cx² 8a 10b 5a 7bx 2cx² a Encontre os autovalores de T b Encontre as bases e as dimensões dos autoespaços de T c Explique porque T é diagonalizável e exiba uma base B tal que TBB é diagonal d Usando o fato que T¹BB T¹BB exiba uma fórmula para T¹ 3 Seja V P1R e para px V defina f₁ f₂ V por f₁px ₀¹ ptdt e f₂px ₀² ptdt Mostre que B f₁ f₂ é uma base para V e encontre uma base B para V para a qual B é dual 1 T 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 12 0 0 0 2 T 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 12 0 0 0 2 T 0 0 0 2 0 2 0 2 2 1 0 0 0 2 1 1 0 0 4 0 0 0 2 Tᵦᴮ 1 1 2 0 1 2 12 12 4 T 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 12 0 2 1 0 0 T 0 2 0 0 2 2 0 0 2 1 0 0 1 1 0 2 0 0 2 0 0 0 1 T 0 0 0 1 0 1 0 1 12 0 2 0 0 3 0 0 0 1 TB₁B₁ 1 2 0 12 1 1 1 2 1 2 T a bx cx² 8a 10b 5a 7b x 2cx² MATRIZ QUE REPRESENTA T 8 10 0 5 7 0 0 0 2 0 T λ I 8 λ 10 0 5 7 λ 0 0 0 2 λ 0 8 λ7 λ2 λ 502 λ 0 8 17 λ2 1 502 λ λ 2 ou 8 17 λ 50 56 7 λ² 50 λ² λ 6 0 λ 1 5 2 λ 3 λ 2 λ 2 λ 3 a λ 2 10 10 0 5 5 0 0 0 0 a b c a b 0 a A e b A c IR c c L 1 x x² λ 3 5 10 0 5 10 0 0 0 5 a b c 0 0 0 c 0 a 2b 0 a A b A2 L 1 x2 b AUTOVETORES L 1 x x² 1 x2 c Pois a multiplicidade algébrica é igual a multiplicidade geométrica de seus autovalores TB 2 0 0 0 2 0 0 0 3 d D 2 0 0 0 2 0 0 0 3 P 1 0 1 1 0 1 0 1 0 T P1 D P T T1 P1 D P T1 P D P T1 P1 P T1 D1 P T1 P1 D1 P SABESE QUE Tk Pk Dk P k 1 T1 P1 D1 P 3 P1x a x b a e b R f1px 01 a x b dx a x22 01 b x 01 a2 b f2px 02 a x b dx a x22 02 b x 02 2a 2b a 1 b 1 Bx 32 4 B Lx 1