Atividade de Cálculo 3

CURSO DE ENGENHARIADEPENDÊNCIAADAP Disciplina CALCULO III Trabalho TURMA Professor Júlio César Araújo Orientação O presente trabalho consta com atividades totalizando assim 10 pontos A presente folha deve ser entregue juntamente com as respostas e cálculos que deve ser feita a caneta preta ou azul SERÁ DESCONTADO 20 PONTO O NÃO CUMPRIMENTO DESTE ITEM Data de entrega CONFORME CALENDÁRIO AVA É obrigatório a aposição dos cálculos em todas as questões NOME SERÁ AVALIADO COM OS RESPECTIVOS CÁLCULOS NÃO SERÁ ACEITO APENAS A RESPOSTA 1 Calcule as derivadas de segunda ordem da função fx y x3y 2y2 𝑦𝑥2 4𝑥 10 PONTO 2 Determine os valores de máximo e mínimo ou pontos de sela da função descrita por fx y 2x3 xy2 5x2 y2 20 PONTOS 3 Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide hiperbólico 𝑍 4 x2 y2 e acima do quadrado 𝑅 11 𝑋 02 10 PONTO 4 Calcule a integral iterada cos𝑥 𝑦 𝑧 𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑥 0 𝑦 0 𝜋 2 0 10 PONTO 5Calcule a integral da função descrita por 𝑍 na região dada 10 PONTO 𝑍 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 3x2y2z 𝐺 𝑥 𝑦 𝑧0 𝑥 3 1 𝑦 2 0 𝑧 4 SERÁ AVALIADO COM OS RESPECTIVOS CÁLCULOS NÃO SERÁ ACEITO APENAS A RESPOSTA 6 Calcule G z dV y f x nos seguintes itens sendo 40 PONTOS 2 z 3 e 0 y 0 2 x 12xy2z3 com 1 y z f x a 1 0 x x2 2 x y 0 xdzdydx b 2 0 x2 0 y 0 y dzdydx c 4 0 2 y y 0 y dzdxdy d Questão 1 Calcule as derivadas de segunda ordem d função fxy x³y 2y² yx² 4x Solução Calculando cada uma das derivadas parciais de f temos que fx xy 3x²y 2xy 4 e fy xy x³ 4y x² Questão 2 Determine os valores de máximo e mínimo ou pontos de sela da função fxy 2x³ xy² 5x² y² Solução Começamos calculando as derivadas parciais de f com respeito a x e y fx fx xy 6x² y² 10x e y fy xy 2yx 2y Os pontos críticos de f são os pontos xy tais que 6x² y² 10x 0 2yx 2y 0 Segue da segunda equação do sistema que 2yx1 0 y 0 ou x 1 Substituindo x 1 na primeira equação obtemos 61² y² 101 0 y² 4 y 2 Agora substituindo y 0 na segunda equação obtemos 6x² 0 10x 0 2x3x 5 0 x 0 ou x 53 Logo os pontos críticos de f são 00 530 12 12 Para classificarmos esses pontos críticos usamos o Teste da Segunda Derivada Para isso vamos primeiro calcular as derivadas parciais de f de segunda ordem e a derivada parcial mista fxx ²fx² xy 12x 10 fyy ²fy² xy 2x 2 fxy ²fxy xy x fy xy 2y e fyx ²yx xy y fx xy 2y Assim o determinante D da matriz Hessiana é dado por D Dxy fxx xy fyy xy fxy xy² 12x 102x 2 4y² 46x 5x 1 y² Portanto 1 D00 20 0 e fxx 00 10 0 00 é ponto de mínimo local 2 D530 403 0 e fxx 530 20 0 530 é ponto de máximo local 3 D12 16 0 12 é ponto de sela 4 D12 16 0 12 é ponto de sela Questão 3 Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide hiperbólico z 4 x² y² e acima do quadrado R 11 02 Solução O volume do sólido é S é dado por V R 4 x² y² dydx 11 02 4 x² y² dydx 11 4y x²y y³3₀² dx 11 8 2x² 83 dx 11 163 2x² dx 163 11 dx 2 x² dx 163 x11 2 x³311 12 Questão 4 Calcule a integral 0π2 0y 0x cosx y z dzdxdy Solução Temos que 0π2 0y 0x cosx y z dzdxdy 0π2 0y senx y z0x dxdy 0π2 0y sen2x y senx y dxdy 0π2 cos2x y cosx y0y dy 0π2 cos3y cos2y dy 0π2 cos3y dy cos2y dy 13 sen3y0π2 senycosy0π2 13 Questão 5 Calcule a integral da função descrita por Z fxyz 3x²y²z na região G xyz 0 x 3 1 y 2 0 z 4 Solução G fxyz dzdydx 03 12 04 3x² y² z dzdydx 03 12 3x² y² z²204 dydx 24 03 12 x² y² dydx 24 03 x² y³312 dx 24 03 73 x² dx 24 73 x³303 504 Questão 6 Calcule G fxyzdV nos seguintes itens sendo a fxyz12xy²z³ com 1 x 2 0 y 3 e 0 z 2 b ₀¹ ₓ² ₀2xy x dzdydx c ₀² ₀x² ₀ʸ y dzdydx d ₀⁴ y² ₀ʸ y dzdxd y Solução a Temos que 1² ₀³ ₀² 12xy²z³ dzdydx 1² ₀³ 12xy² z⁴4₀² dydx 48 1² ₀³ xy² dydx 48 1² x y³3₀³ dx 432 1² x dx 432 x²21² 864 216 648 b Temos que ₀¹ ₓ² ₀2xy x dzdydx ₀¹ ₓ² x z₀2xy dydx ₀¹ ₓ² x 2 x y dydx ₀¹ ₓ² 2x x² xy dydx ₀¹ 2xy x²y xy²2ₓ²ˣ dx ₀¹ 2x² x³ x³2 2x³ x⁴ x⁵2 dx ₀¹ 2x² x³2 x⁴ x⁵2 dx 2 x³3₀¹ ½ x⁴4₀¹ 15 x⁵₀¹ ½ x⁶6₀¹ 31120 c Temos que ₀² ₀x² ₀ʸ y dzdydx ₀² ₀x² y z₀ʸ dydx ₀² ₀x² y² dydx ₀² y³3₀x² dx 13 ₀² x⁶ dx 13 x⁷7₀² 13 1287 12821 d Temos que ₀⁴ y² ₀ʸ y dzdxd y ₀⁴ y² y z₀ʸ dxdy ₀⁴ y² y² dxdy ₀⁴ y² xy²² dy ₀⁴ 2y² y² y dy 2 ₀⁴ y² dy ₀⁴ y52 dy 2 y³3₀⁴ 27 y72₀⁴ 12821