Questões de Cálculo 3

𝑈𝐸𝑆𝐶 𝑈𝑛𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑑𝑢𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑆𝑎𝑛𝑡𝑎 𝐶𝑟𝑢𝑧 𝑃𝑟𝑜𝑓𝑎 𝑀𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑀𝑎𝑟𝑔𝑎𝑟𝑒𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝑅 𝐹𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠 𝐶𝑢𝑟𝑠𝑜 𝐸𝑛𝑔𝑒𝑛ℎ𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜 𝐷𝑖𝑠𝑐𝑖𝑝𝑙𝑖𝑛𝑎 𝐶á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝐼𝐼𝐼 𝑨𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝑵𝒐𝒕𝒂 Vale 10 pt 1 Determine as direções e sentidos em que a derivada direcional de 𝑓𝑥 𝑦 𝑥2 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦 no ponto 10 tem valor 1 2 Determine os pontos nos quais a direção e sentido de maior variação da função 𝑓𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦2 2𝑥 4𝑦 é 𝑖 𝑗 3 Nas proximidades de uma bóia a profundidade de um lago em um ponto com coordenadas 𝑥 𝑦 é 𝑧 200 002𝑥2 0001𝑦3onde 𝑥 𝑦 e z são medidos em metros Um pescador que está em um pequeno barco parte do ponto 8060 em direção à bóia que está localizada no ponto 00 A água sob o barco está ficando mais profunda ou mais rasa quando ele começa a se mover Explique 4 A temperatura 𝑇 em uma bola de metal é inversamente proporcional à distância do centro da bola que tomamos como sendo a origem A temperatura no ponto 122 é de 120 a Determine a taxa de variação de T em 122 em direção ao ponto 213 b Mostre que em qualquer ponto da bola a direção do maior crescimento na temperatura é dada pelo vetor que aponta para a origem 5 A temperatura em um ponto 𝑥 𝑦 𝑧 é dada por 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 200𝑒𝑥23𝑦29𝑧2 onde 𝑇 é medido em ºC e 𝑥 𝑦 𝑧 em metros a Determine a taxa de variação da temperatura no ponto 𝑃2 12 em direção ao ponto 3 33 b Qual é a direção e sentido de maior crescimento da temperatura em 𝑃 c Encontre a taxa máxima de crescimento em 𝑃 Questões de Cálculo Gabriel Costa e Giovanne Dias Questão 1 Determine as direções e sentidos em que a derivada direcional de fxy x2 sinxy no ponto 10 tem valor 1 Resolução A derivada direcional de f no ponto 10 na direção de um vetor unitário u u1u2 é dada por Duf10 f10 u Calculamos o gradiente fx 2x y cosxy fy x cosxy f10 21 Queremos que 21 u1u2 1 2u1 u2 1 com u12 u22 1 Substituindo u2 1 2u1 u12 1 2u12 1 u15u1 4 0 u1 0 ou u1 45 Calculando u2 u1 0 u2 1 u1 01 u1 45 u2 35 u2 45 35 Resposta As direções e sentidos são dados pelos vetores u1 01 u2 45 35 Questão 2 Determine os pontos nos quais a direção e sentido de maior variação da função fxy x2 y2 2x 4y é i j Resolução A direção de maior variação de uma função escalar fxy é sempre a direção do gradiente fxy Dado que queremos que essa direção seja i j 11 devemos encontrar os pontos onde fxy 11 fxy λ11 Calculamos o gradiente da função fxy x2 y2 2x 4y fx 2x 2 fy 2y 4 Logo fxy 2x 2 2y 4 Queremos que 2x 2 2y 4 λ11 Então 2x 2 λ e 2y 4 λ 2x 2 2y 4 2x 2y 2 x y 1 Portanto os pontos onde o gradiente tem a direção 11 satisfazem a equação x y 1 Resposta Todos os pontos xy tais que x y 1 Ou seja a direção de maior variação coincide com i j nesses pontos Questão 3 Nas proximidades de uma bóia a profundidade de um lago em um ponto com coordenadas xy é z 200 002x2 0001y3 onde xy e z são medidos em metros Um pescador que está em um pequeno barco parte do ponto 8060 em direção à bóia que está localizada no ponto 00 A água sob o barco está ficando mais profunda ou mais rasa quando ele começa a se mover Explique Resolução A função dada é zxy 200 002x2 0001y3 Queremos saber se z está aumentando ou diminuindo quando o pescador se move na direção da bóia isto é na direção do vetor v 0 80 0 60 80 60 u 45 35 vetor unitário Calculamos o gradiente de zxy zx 004x zy 0003y2 No ponto 8060 z8060 004 80 0003 602 32 108 Agora a derivada direcional na direção u 45 35 é Duz z u 32 108 45 35 45 32 35 108 128 3245 1965 392 Como o valor é positivo a profundidade está aumentando Resposta A água está ficando mais profunda sob o barco quando ele começa a se mover pois a derivada direcional da profundidade ao longo da direção de movimento é positiva Questão 4 A temperatura T em uma bola de metal é inversamente proporcional à distância do centro da bola que tomamos como sendo a origem A temperatura no ponto 122 é de 120 a Determine a taxa de variação de T em 122 em direção ao ponto 213 b Mostre que em qualquer ponto da bola a direção do maior crescimento na temperatura é dada pelo vetor que aponta para a origem 2 Resolução Sabemos que a temperatura Txyz é inversamente proporcional à distância à origem Txyz k x2 y2 z2 Para determinar a constante k usamos o ponto 122 onde T 120 12 22 22 9 3 T122 k3 120 k 360 Portanto a função temperatura é Txyz 360 x2 y2 z2 a Derivada direcional no ponto 122 em direção a 213 1 Calculamos o vetor direção v 213 122 111 u 13 111 2 Gradiente de Txyz Txyz 360x2 y2 z212 T 360 12 x2 y2 z232 2xyz T 360 xyz x2 y2 z232 No ponto 122 temos x2 y2 z2 9 T122 360 122 932 360 122 27 1333 2667 2667 3 Derivada direcional Du T T u 1333 2667 2667 13 111 Du T 13 1333 1 2667 1 2667 1 13 1333 2667 2667 13333 770 Resposta do item a A taxa de variação é aproximadamente 770 A temperatura está diminuindo nessa direção b Direção de maior crescimento da temperatura Sabemos que a direção de maior crescimento é dada pelo gradiente T Já vimos que Txyz 360 xyz x2 y2 z232 Esse vetor é paralelo ao vetor xyz ou seja aponta da posição atual em direção à origem Resposta do item b Em qualquer ponto o gradiente aponta para a origem Assim a direção de maior crescimento da temperatura é aquela que aponta para a origem Questão 5 A temperatura em um ponto xyz é dada por Txyz 200 ex2 3y2 9z2 onde T é medido em graus Celsius e xyz em metros a Determine a taxa de variação da temperatura no ponto P 212 em direção ao ponto 333 b Qual é a direção e sentido de maior crescimento da temperatura em P c Encontre a taxa máxima de crescimento em P 3 Resolução Sabemos que a temperatura Txyz é inversamente proporcional à distância à origem Txyz k x2 y2 z2 Para determinar a constante k usamos o ponto 122 onde T 120 12 22 22 9 3 T122 k3 120 k 360 Portanto a função temperatura é Txyz 360 x2 y2 z2 a Derivada direcional no ponto 122 em direção a 213 1 Calculamos o vetor direção v 213 122 111 u 13 111 2 Gradiente de Txyz Txyz 360x2 y2 z212 T 360 12 x2 y2 z232 2xyz T 360 xyz x2 y2 z232 No ponto 122 temos x2 y2 z2 9 T122 360 122 932 360 122 27 1333 2667 2667 3 Derivada direcional Du T T u 1333 2667 2667 13 111 Du T 13 1333 1 2667 1 2667 1 13 1333 2667 2667 13333 770 Resposta do item a A taxa de variação é aproximadamente 770 A temperatura está diminuindo nessa direção b Direção de maior crescimento da temperatura Sabemos que a direção de maior crescimento é dada pelo gradiente T Já vimos que Txyz 360 xyz x2 y2 z232 Esse vetor é paralelo ao vetor xyz ou seja aponta da posição atual em direção à origem Resposta do item b Em qualquer ponto o gradiente aponta para a origem Assim a direção de maior crescimento da temperatura é aquela que aponta para a origem Questão 5 A temperatura em um ponto xyz é dada por Txyz 200ex2 3y2 9z2 onde T é medido em graus Celsius e xyz em metros a Determine a taxa de variação da temperatura no ponto P 212 em direção ao ponto 333 b Qual é a direção e sentido de maior crescimento da temperatura em P c Encontre a taxa máxima de crescimento em P Resolução Função Txyz 200ex2 3y2 9z2 Gradiente de T Vamos usar a regra da cadeia T Tx Ty Tz 200ex2 3y2 9z2 2x 6y 18z Logo Txyz 200ex2 3y2 9z2 2x 6y 18z No ponto P 212 ex2 3y2 9z2 e4 31 36 e43 Então T212 200e43 4 6 36 a Derivada direcional de T em direção a 333 Vetor direção v 3 3 3 2 1 2 1 2 1 u 161 2 1 Derivada direcional DuT T u 200e43 4 6 36 161 2 1 Produto escalar 41 62 361 4 12 36 52 DuT 200 526 e43 104006 e43 A taxa de variação é 104006 e43 b Direção de maior crescimento A direção de maior crescimento é dada pela direção do gradiente T2 1 2 ou seja o vetor v 4 6 36 Direção unitária u 1v4 6 36 Resposta b A direção de maior crescimento é na direção de 4 6 36 ou seja o mesmo sentido do gradiente no ponto P c Taxa máxima de crescimento A taxa máxima de crescimento é o módulo do gradiente T2 1 2 200e43 4 6 36 200e43 42 62 362 200e43 16 36 1296 200e43 1348 Resposta c 2001348 e43