Integrais de Linha superfície

Seja S a parte do plano z x interior ao elipsoide 3x2 y2 z2 1 orientada de modo que n k 0 Seja F 1 4x2 3y2 ez y 2x 2 O valor da integral S F n dS é Escolha uma opção 2π π 2π 0 π Seja S a superfície de equação paramétrica r u v u2 v2 u2 v2 4uv Determine a equação do plano tangente a S no ponto P0 r 10 Escolha uma opção x y 0 x z 0 x y 2z 0 x y z 1 z y 0 Seja dado o campo F x y z xx2 y2 z232 i yx2 y2 z232 j zx2 y2 z232 k e seja S S1 S2 onde S1 é a porção do cilindro x2 y2 3 entre os planos z 2 e z 1 com normal apontando para fora e S2 é a porção do plano z 2 interna ao cilindro x2 y2 3 com normal n k Calcule F n dS Escolha uma opção 2π 3π 2 3π 4π 0 Seja Fxyz z y ex²i x z ey²j y x ez²k e seja γ o triângulo de vértices A 1 0 0 B 0 1 1 e C 0 0 1 orientado no sentido tal que C segue A e precede B Calcule γ F dr Escolha uma opção 2 2 0 1 1 Calcule o fluxo do campo F x 2zy 1 através da porção de elipsoide x²4 y²4 z² 1 contida no semiespaço z 0 e orientada com normal n tal que n k 0 Escolha uma opção 23 π 83 π 83 π 23 π 0 Calcule a área da parte do cilindro x² y² 4 que está acima do plano z 0 e abaixo do plano z y 4 Escolha uma opção 4π 11π2 16π 5π2 12π Seja S o elipsoide 2x² 4y² 2z² 1 Usando o Teorema de Gauss calcule a integral S x² yx z² zx y² 4x² 16y² 4z² dS Escolha uma opção 3π4 2π3 π12 π6 3π2 Solução ① S zx 3x²y²z²1 S zx 4x²y²1 ηuv 12 u cos v u sen v 12 u cos v u 01 v 0 2π ηu 12 cos v sen v 12 cos v ηv 12 u sen v u cos v 12 u sen v ηu ηv 12 u 0 12 u 0 Logo S F η ds 02π 01 Fηuv ηu ηv du dv 02π 01 12 u 1 u² cos² v 3u² sen² v u du dv 02π 01 12 u 12 u³ cos² v 32 u³ sen² v du dv 02π u²4 u⁴8 cos² v 38 u⁴ sen² v01 dv 02π 14 18 cos² v 38 sen² v dv 02π 14 18 14 sen² v dv 02π 38 18 1 cos 2v dv 12 v 116 sen 2v02π 12 2π π ② πuv u² v² u² v² 4 u v πu 2 u 2 u 4 v πv 2 v 2 v 4 u πu πv 8 u² 8 v² 8 v² 8 u² 8 u v em P0 πu πv 10 8 8 0 π10 110 A equação do plano tangente x 1 y 1 z 8 8 0 0 8x 1 8y 1 0 x y 0 Solução ③ x x x² 4 y² z²32 x² y² z²32 x 32 x² y² z²12 2 x x² y² z²³ x² y² z² 3 x² x² y² z²52 y² z² 2 x² x² y² z²52 Analogamente y y x² y² z²32 x² z² 2 y² x² y² z²52 e z z x² y² z²32 x² y² 2 z² x² y² z²52 Logo divF 0 Pelo Teorema da divergência S F ds E divF 0 S F n ds S3 F n ds 02π π2π 3 3 sen φ cos θ 3 3 sen θ sen θ 3 sen θ cos θ 3 3 sen θ cos² θ 2 2 1 3 cos φ32 dφ dθ 02π π2π 3 3 sen φ 3 sen θ cos φ 3 3 sen φ cos² φ 4 2 3 cos φ32 dφ dθ 02π π2π 3 3 sen φ 3 sen φ cos φ 4 2 3 cos φ32 dφ dθ 02π π2π 3 3 3 cos φ sen φ dφ dθ 4 2 3 cos φ32 Fazendo u 4 2 3 cos φ du 2 3 sen φ dφ Solução integral 33 3 cos φ sen φ d φ 4 23 cos φ32 integral 33 3u 4 23 u32 du 23 integral 18 3u 12 23 u32 du 23 112 integral 6 3u u32 du 14 integral 2 u u32 du 14 integral 2 u32 u12 du 14 4 u12 2 u12 c u12 12 u12 c 1 4 23 cos φ12 12 4 23 cos φ12 c na integral integral from 0 to 2π 1 4 23 cos φ12 12 4 23 cos φ12 dθ integral from π2 to π 1 4 2312 12 4 2312 12 12 dθ integral from 0 to 2π 1 3 1 12 3 1 12 dθ integral from 0 to 2π 12 3 1 12 3 1 74 dθ integral from 0 to 2π 32 dθ 3π 4 F z y ex2 x z ey2 y x ez2 RotF 1 1 1 1 1 1 0 0 1 C B0 11 RotF 2 2 2 A superfície r4 u 0 0 1 u1 0 1 v0 1 0 ru v u v 1 u u 0 1 v 0 1 u nu x nv 1 0 1 Logo Pelo Teorema de Stokes integral over y F dn integral from 0 to 1 integral from 0 to 1u 2 2 2 1 0 1 dv du integral from 0 to 1 integral from 0 to 1u 4 dv du integral from 0 to 1 41u du 4 integral from 0 to 1 1u du 4 u u2201 4 1 12 412 2 5 S x24 y24 z2 1 z 0 Πu v 2 u cos v 2 u sen v 1 u2 nu 2 cos v 2 sen v 4 1 u2 Πv 2 u sen v 2 u cos v 0 u 0 1 v 0 2π nu x nv 2 u2 cos v 1u2 2 u2 sen v 1u2 4 u Na Integral integral over S F ds integral from 0 to 2π integral from 0 to 1 2 u cos v 4 u sen v 1 u2 4 2 u2 cos v 1u2 2 u2 sen v 1u2 4 u du dv integral from 0 to 2π integral from 0 to 1 4 u3 cos2 v 1u2 8 u3 sen2 v 4 u du dv integral from 0 to 2π integral from 0 to 1 4 u3 3 1u2 cos2 v 83 1u2 cos2 v 2 u4 sen v 2 u40 to 1 dv integral from 0 to 2π 83 cos2 v 2 sen v2 2 dv integral from 0 to 2π 23 cos2 v dv 13 integral from 0 to 2π 1 cos 2 v dv 13 v sen 2 v 202π 2π 3 6 z y y αt 2 cos t 2 sen t αt 2 sen t 2 cos t αt 4 sen2 t 4 cos2 t αt 4 2 As integral from 0 to 2π fαt αt dt integral from 0 to 2π 4 2 sen t 2 dt integral from 0 to 2π 8 4 sen t dt 8 t 4 cos t02π 82π 16π 7 Gx y z 2 x2 4 y2 2 z2 1 Gx 4 x Gy 8 y Gz 4 z n 4 x 8 y 4 z 16 x2 64 y2 16 z2 2 x 4 y 2 z 4 x2 16 y2 4 z2 S x2 yx z2 zx y2 4 x2 16 y2 4 z2 dS x2 14 x z2 12 x y2 n dS E divF dv E 12 0 0 dv 12 VolE 12 43 π a23 12 2 π 6