Lista de Exercícios de Cálculo 3

8 Mostre que a curva γ definida por rt ti t² sin1tj se 0 t 1 e r0 0 não é regular 9 Considere a curva γ₁ definida por r₁t ti t²j 1 t 2 e seja γ₂ a curva definida por r₂t r₁3 t 1 t 2 Esboce os gráficos de γ₁ e γ₂ e determine a relação entre essas duas curvas 10 Determine a reta tangente e o plano normal a cada curva no ponto indicado 1 rt ti 2tj t²k no ponto P121 2 rt cos4ti sen 4tj tk no ponto em que t π8 3 rt exp3ti exp3tj 18tk no ponto em que t 1 4 rt ti t³j t⁴k no ponto P111 5 rt t cos ti 3 2sen tj 1 3 cos tk no ponto em que t π2 11 Considere a curva γ definida por rt 2t1 t² 1 t²1 t² 1 t ℝ Mostre que o ângulo entre os vetores rt e rt é constante 12 Em cada caso determine as curvas integrais do campo F a F xi yj b F xi yj zk c F ai bj ck com a b e c constantes reais d F x²i y²j z²k que passa no ponto P12 12 1 e F z yi x zj y xk 1 e divvu vu u v f divF G G rotF F rotG 4 Se F xi zj 2yk mostre que não existe um campo vetorial G tal que rotG F 5 Seja F um campo solenoidal isto é div F 0 em um domínio simplesmente conexo Ω R³ e seja G₀ um campo potencial de F isto é rotG₀ F Mostre que qualquer solução G da equação rotG F é da forma G G₀ φ sendo φ um escalar Embora não seja óbvio um tal campo G pode ser definido pela expressão GP ₀¹ tFtx ty tz OP dt 6 Verifique que div F 0 e determine todos os campos de vetores G tais que rot G F a F 2xi yj 3zk b F 2yi zj 2xk c F i j k d F 2yi 2zj e F ex eyk f F 6y²i 6zj 6xk g F 3y²i 3x²j y² 2xk h F yi xjx² y² x y 00 7 Esboce o gráfico de cada curva dada abaixo indicando a orientação positiva 1 rt ti 1 tj 0 t 1 2 rt 2ti t²j 1 t 0 3 rt 1ti tj 1 t 4 rt ti 1 t²j 0 t 1 5 rt ti log tj 1 t e 6 rt cos ti sen tj tk 0 t 2π Cálculo 3 Turma B T1 Lista de Exercícios 3 16122024 Prof Luís Antônio Campos Vetoriais Caminhos Regulares 1 Se φxyz x²yz³ e F xzi y²j 2x²yk Determine a φ b div F c rot F d divφF e rotφF e f rotφ 2 Verifique se o campo F é conservativo Nos casos afirmativos determine um potencial do qual ele deriva a F xi yj b F 3x²yi x³j c F 2xey yi x²ey x 2yj d F xi yj zk e F y² 3xi 2xy cos yj f F 1x i x exp xyj g F sin xy i cos xy j h F expxy i exp x y j i F 3x⁴y³i x³yj j F 5x⁴yi x cos xy j k F 2xi 3yj 4zk l F y z i x z j x y k m F 2xyzi x²zj x²yk n F y sin xi x sin xj xy cos zk 3 Sejam α e β constantes reais u e v campos escalares e F e G campos vetoriais diferenciais Usando regras de derivação deduza as seguintes relações do cálculo diferencial a αu βv αu βv b uv vu uv c uv 1v² vu uv d divrotF 0 e divvu vu u v f divF G G rotF F rotG 4 Se F xi zj 2yk mostre que não existe um campo vetorial G tal que rotG F 5 Seja F um campo solenoidal isto é div F 0 em um domínio simplesmente conexo Ω R³ e seja G₀ um campo potencial de F isto é rotG₀ F Mostre que qualquer solução G da equação rotG F é da forma G G₀ φ sendo φ um escalar Embora não seja óbvio um tal campo G pode ser definido pela expressão GP ₀¹ tFtxtytz OP dt 6 Verifique que div F 0 e determine todos os campos de vetores G tais que rot G F a F 2xi yj 3zk b F 2yi zj 2xk c F i j k d F 2yi 2zj e F ex eyk f F 6y²i 6zj 6xk g F 3y²i 3x²j y² 2xk h F yi xjx² y² xy 00 7 Esboce o gráfico de cada curva dada abaixo indicando a orientação positiva 1 rt ti 1 tj 0 t 1 2 rt 2ti t²j 1 t 0 3 rt 1ti tj 1 t 4 rt ti 1 t²j 0 t 1 5 rt ti log tj 1 t e 6 rt cos ti sen tj tk 0 t 2π Cálculo 3 Turma B T1 Lista de Exercícios 3 05122024 Prof Luís Antônio Integral Tripla Coordenadas Cilíndricas e Esféricas 1 Expresse a integral tripla D fxyzdV como uma integral iterada e em seguida calcule o seu valor no caso em que fxyzxyz e a região D é descrita por a D 1 x 2 0 y 1 1 z 2 b D y x y 0 y 4 0 z 4 y c D 0 x 1 x² y 1 0 z x y d D 0 x z² x z y x z 1 z 2 2 Escreva cada uma das integrais abaixo na ordem dzdydx a ₀¹ ₁³ ₄⁵ fxyz dxdydz b ₀¹ ₀ʸ ₀x²y² fxyz dzdxdy c ₀¹ ₀¹ᶻ ₀z1²y² fxyz dxdydz d ₀¹ ₀¹ᶻ ₀¹ᶻʸ fxyz dxdydz 3 Descreva o sólido Ω do ℝ³ cujo volume é a ₀¹ 1z4z ₂³ dxdydz b ₀¹ ᶻ₃z ₀⁴ˣ dydxdz c ₀² ₓ²²ˣ ₀ˣʸ dzdydx d ₀¹ ₀³ˣ ₀¹ dzdydx e ₁² zz zx²zx² dydxdz 1 ListaCampos Cálculo 18012025 Se pixyz Xyy e F Xzi y2j 2xyK Determine a y Sus Ayxyz 4 z 2xy x2z 3xyz2 16 divF Soluse dir X Ly4 2xy z 2y o z 2y ProtF Supe rotF2yy4 2x2i x axyj on a divyF Solução div pofxyzi divyxy yz axy div xy 2 y4 2xy3 div 1 xy2y 23 X8y3 div23 x0y7 f not 4 Seus not 54 rotexyz x2z 3xyz2 Xyyxyyyxjlaxyl 3xz2 3xz4i 16xyy exyy 2x 2xzi 10 0 0 121 Verifique se os campos não conservativos Se sim determine um potêncial do qual ele daiva ObavaçãoUmcampo Fcomeativo e existe uma funf é chase 2 Fx y X y Soluçã E comuration Seja fixyl logo Of Ext Eyf x y x y b Fx y 3x2y x Stu comunativo Tome fixyl Xy on Of sy X Fixig 2 Fxy axet y xet X 2y Solusi axe y fx y f2xey ydx e yx Cy Xe8 Xsy En fexylexcyldy Xexyy c fxyXeExy e É conservativo pois fixyl Xe xyy2 Of F d Fx y z x y z Solução E conservativo Tome fixyzl f x y j F e Fy2 3x axy cosy1 Soluç Y fyxy ese E conerativo Tome fixyl xy2 unly Of F f Fx y E X expxyp Soluçã Não é comurativo poi 0 exe e yxe log g Fx y Crencxyl cosxy Su Note que unxyll coxyl x e coxy unixyy então Portanto não é conservativo PRI Fxy expexyl expxy Solução Note quee Xe e e Entã E não é comevativo ⑫D Fx y 4x4y3 X3y Soluç Note queXy 3xy exy saxy Portanto F n é comuratie j Fxyl 5Xy Xcoxyll Soluçã Note que D y 5x Xay coyxyenxy Portanto Foe conservativo k Fx y1 2X by 4z1 Soluçã E concurativo Tome fixyz X2 zy 2g If F t Fx yz y z X y xy Solu y y fxy y X y y y y xy xz cy z I x fx yj y xz cxz Vy yz xy Dfxyy xy xz y xty fxyiz zxy Cxy XzyzCye é conservativo Além dimo Of F m Fx y z axyz XyD Soluçãe Tome fixigigl XEyz Of 2xyg X 2 Xy F n Fx y j ynenx Xnenx xycossy Soluç XF Eycoyn xycolyyun xuxlynnle xOly ycoz sen Xcoxx ynx x Dz ycoyl Xcosx 10 0 Portanto E não é comurativo 13SejamA e contenta esempexeseFcampe vetria die e allku Bol Qu po Su Qu po pu am pol p c p X B 6 D u 0Xe uto Demonta Flua l vu Nuo uDO rt 0xu uño Demontra yv Eu d div not F 0 Demonstra div rotF F O e divoDu ou uO Solus dir Do Ful dirw ver vAu Vou f div FxG G rotFl F rotG Dentes ExGl I div FxG FFEFF sy F F b G 4 IG Ga Gs motF EFE notO G MotF F not6 14 Se Fixyigl X z 2y mostre que não existe um campo retoria G te que notG F Demonstração Para F ver o rotacional de G é necenário que F 0 Porém F C 8z 1 0 o 1 Portanto não existe G fal querotol F 5 Seja F um campo selonoidal into é dirto em um domínio simplismente conexo R CIR3 e seja Go um campo potencial de isto é rotlo F Mortre que qualquer soluçãoG da equação nota F é da forma GG q sendoe um acala Embora não seja óbrio um tal campo G podenes definido pela expenão 2 Gp f F x y y x OPdt Demonstração De fato not 60 4 X 100 y xGo ExVQ Exq 0 é sempre geral Go 0 VXGo div Go EF Se P x y z I tftx y yxx y z r Xy z tyEtP tyFztp x fP zEtptyFtP XEtPi Donde GIPESEtFARXOPOt EzHPtyFHpdt JXPtzEHPdt JyECPE C Verifique que divIF O e determine todos os campos de vetores G tais que rotG F 2 Fx y z 2x y 3z Solução divF G 2x 3y ototo Pela fórmula da questão 15 temos GIP JE FARX OP Ot JEtzty yb szdt jY x 3z z2 xbdt y2 x xyd Pyz 3tyzdt 153Exy 2 xzdt fiz xyxyd f syz tot sxzdt xy t 4 16D Fx y z 2y z aX Sformat ti Jity yt y 12x1 t JTx 1xH y 2y dt fity 2yt X ytdt Etig 2 xydt Jexh2tygdt Entry xzt c Fixy j 2 1 Soluçã F e contantedivF 0 Glyige Jity yt 4x y08t fity xdt d Fx y y 2y 2z 0 Sup div F 2y 2y O Gxyz tyFtp yFz Pdt j xEp z5Pdt JtyFtP tXEctpild Jity czt y oldt j x o tyay d Jity 2y X 2yd J28t 122yght Jizy2 2 2 xyd z2x e Fxy z 00 0 e e Sus dirF d de Gxy j tyFP yFz Pdt j xEp z5PdttyFtP tXEctpild Jity 10 ty D ettd JEx e e z z ddt ty a x 0t yge yte xexpetat of Ste y 1 y c 1x q xz 2 yz4 y y g y x t x79 f Fx y j 6y2 63 6X Soluç divF by 62 6x Gxyj Etz Ftp yFz Pdt j xEp zEPdt JtyFtPtXEltpild Jity oyt y6x dt J x6x ybytidt fity syt X6y ot listing bxydt Jo x 6ygldt Jistay stixz0t 4567 Integrais triples Coordenados Cilíndrica e Esfáica 1010112025 17 Expere a integrad tripla ffffixigizidu como uma integra iterada e em seguida calcule o seu valor no caso em que flxy z Xyz e a região D é descrita por a D1X 2 Oby11 51z12 Solução 12xyzdydydxde xy Idy X Ex x z 16 D ry XV Oy4 O Solução 66 y8 addy xy IGryA i JEryl y Joy Lady D 03X11 Xy1 Obz X y xyzdzdyix xyye Iaxyy dyxy xy 12 I E dDD 0 x 2 X z xyX y 13yz2 Soluç xyz dyddyde O 27 Escreva cada uma das integrais abaixo na ordem dydydxi Id50 sgif Oxdydyxygidgydx Devidodojohmyv e og a x y z ER12x3 syVog osgid 161gradydy e Note que OxysX g3X5 e Oxyid Logo x y z EIR3jzx 5 0 xy 4X 0zy11 c x dzdydy Note que Ozixy Xzy 2 e 03X12 Logo 2 x y z 1310x2 xby 2x Oxy xy dzdydx Note que E Oby33Xe OX11 Logo 2 x y z 310x11 Oxy 3x 011 Note que 1 Box e Jag12 Logo 1gr dxdy 2 X y z E31X1 y digaY IgrA Note queanexezoyig e Jz4 Logo 2 X y z Elvonxiv z yiz 1234 14 Em cada caso identifique o sólido e e calcule nu volume por integração tripla al e é delimitado pelo cilindro y xa e pelos planos y z e j 0 Solução y X é paralelo ao eixo z y z 4 z 4 y 350ée Mano limitado pr y e ee reffdu junigyixyd pyxX 6 4x 0xuxAy 0x 022 S 24 2 24 24 25 5 16 e é delimitado pelo cilindro z sya e pelos planas X y X 0 e y 0 Soluçã Em X temos X y e X0 O3X1y Em y temos 0 y1Sy2 Em y temos oby 21 V f in xdydy dy e 42y ydy y zy y 19 e é delimitado pelos cilindros z 3x2 e z 1x2 e pelos planos y y 6 e y 0 3x2 4 X2 4x 4 BX 1 D X 11 Em 3 Em X 1X11 V58yyx 21x 963 X4 X 924sX21DOXY 9620x2 4x4x Sx a 15 d ven é delimitado pelos cilindros 315xy e zay21 lindy y 22yDX y1 Podemo mar coodene 25T 13 12 V Jadzindoredede de da do es é delimitado pelo cilindros ya e y 2X e pelos plane z 5 X y e z 0 Solução y 2X D X 2 y2 Interpo 2 Em z 0yS x y retz S Emx y 2 X2 yz Emy E y E VJSdyxylxyyyyygly e y22yy dy so Joy tzy 2y 2 2yzb gra taysay2dya2 24 413 f e é a intereção da bola Xtyi z526 com o paraboloide za x y Sou Fica mis simples mando coordenada clinicse V Ja dydedordadodadosado tomu e dudo 2i Sol do 1g de é delimitado pelo plano xy e pelas superficies xity 2x e z Sus Xy XXXy0 yo y Anse Podemos simplifica com coordenadas polares 2iT2cad 2 v giccro djirdo Mandof coe 2 23 cala casado e2 ocalasenialdo tome mud pral 15 Em cada caso calcule o volume dosólido dercito pelos desigualdades a0 x z45 y Solu obsy y31 D 3y 1 vJsydy y y 2 b x ay2 4exy z X y 1 Solução Note que X Hy2 a é uma elipse no plano xy ino implica 2X12 at As in d 2 c y2 y1 X2 Solusi 16 D Un coordenadas cilíndricas e calcule as seguintes integrais y 12 J I dedady Solusi X rosia y runid ozny V S oXy en mineiro quadiante de Xty2 o y11 Logo obrea 020212 e dv rdudody diddyedzindo do 2π 1 2π1 1 c 2π c 6 gradgiyx Soluçãe X rcosca y renia z z dV rdr dodz Oy D OLI e OTA EVX 1 6 xiydxcardzindo O e eacassos de do cado e s d f xy V D x y2 1 03z11 Soluçã X rcosca y runia z z dv rdrdadz e My racassa senia Xy2 x1 D 02721e 02032π y deses casamento dedado cacanae criara do 0 II Sexy Ogigix Solução X rcasa y runid z z dV rdrdodze X y2 r2 0xz X y2 D0zz r 2X IX y OMIGCOO e Obt xy Odyx addedadoe carados cole Aeféricede as requintes inter e a S Solu Tome X 1 undcald Yesunidirend z scoldy2 z 1 edv strnddddo X y54 é um círculo de raio a no plano z 0 WD z Vig é um come par baixa R y z2 8 é uma estea por cimal 002 a come zyty yzdzyudddd S undddddd tro 16 grava yng dgddy STomed zyedvdddse avyze daddymud 60 andde coD aca d 0 OFyuumorifício circunemumaafra oeixo do crifício coincidido com dee se vol2 2 Nascondado Por observação da integral determine o raio e do orifício e o raioRe da esqua Calcule vol1 Soluç A esqua tem eq Xyz2 R2 o limite superior de e é Vaza logo a projeção da ajera no plano y nos diz que R 4 D R 2 O limite dea é dado serevatz es r tem limite começando em 1 ou seja o raio e da calota é r 1 zi 3 Vol2 2vendado2 35 2 65 197 Talcule a mana de uma bola de raio R se a demidade de mana no ponto P da tola é proporcional à distânciar do ponto P ao centro da bola Sus Anim a demidade é dada por Acr Ker onde K é uma constante de proporcio nelidade e e é a distância de Pa origem O volume infinituimal dV r2 senca irdada com E 0M R 0 0 i O d 2π E se mana pode su obtida integrando a demidade de mana em todo o volume M Jecridrfa k renca de dadd eSe rencade Rcasa cartcod d d R2d KR Portanto M TKR 10 Determine o centro de mana do Remisfério Xy2 z2R2 30 se a demidade em um ponto x y g de Remisfério é Sxyz z Soluçã O centro de mana j j é dado pori XygVyxygezyde ondeMyNote que ohemisférioésimticoemrespo Yes Mand Coordenada eféricatem Xucy mudcold z colA des 2 und add do m Leve aoO caldinae 2 dad rudo Então j 35xyizdr Se a renddddd cond d se 0 0 u condado tome u codduzen e de e fazemos relatituição dudo Portanto x z 0 0 R Determine o centróide do Remisfério OzVXya Solução Precisamos enconten X xav yyou e ffzov onde V é o volume da região Primeiro vamos calcula Vi tome X Sun Acad y Sucod eycom do e Jove d Jo anip dedade unid e Como o hemisfério ésimétrico eixo y temos 0 30vcond dse h condo un anale a R Portanto 5 j j 10 0 348 127 Calcule o momento de inércia em relação ao seu eixo de um cilindro circular reto de altura R e raso R se a demidade em um ponto xyiz do cilindo Sixy z Va dV Soluç I Jffr Px yig dv tome X roo y rend z j E o Ax y Ra rrdado R dody R