Derivadas Direcionais e Gradientes: Definições e Exemplos

171 Derivadas Direcionais e Gradientes 973 tiplicadores de Lagrange que são usados para o cálculo de extremos de uma função sujeita a um vínculo Os gradientes aparecem novamente na Seção 175 onde mostramos como obter uma função a partir de seu gradiente Esse procedimento é útil para determinar se uma expressão diferencial é exata e para resolver equações diferenciais exatas 171 DERIVADAS DIRECIONAIS E GRADIENTES Vamos generalizar a definição de uma derivada parcial a fim de obter a taxa de variação de uma função em relação a qualquer direção e sentido Isso nos leva ao conceito de derivada direcional Seja f uma função de duas variáveis x e y e seja Px y um ponto do plano xy Suponhamos que U seja o vetor unitário que faz com a parte positiva do eixo x um ângulo cuja medida em radianos é θ Então U cos θi sen θj A Figura 1 mostra a representação de U com ponto inicial em Px y 1711 DEFINIÇÃO Seja f uma função de duas variáveis x e y Se U for o vetor unitário cos θi sen θj então a derivada direcional de f na direção de U denotada por Dᵤf será dada por Dᵤfx y lim h0 fx h cos θ y h sen θ fx y h se o limite existir A derivada direcional dá a taxa de variação dos valores funcionais fx y em relação à direção e sentido do vetor unitário U Isso está ilustrado na Figura 2 Uma equação da superfície S na figura é z fx y Px₀ y₀ z₀ é um ponto na superfície e os pontos Rx₀ cos θ y₀ sen θ 0 são pontos no plano xy O plano que passa por R e Q paralelo ao eixo z faz um ângulo de θ rad com a direção positiva do eixo x Esse plano intercepta a superfície S na curva C A derivada direcional Dᵤf calculada em P₀ é a inclinação da reta tangente à curva C em P₀ no ponto de R₀ e P₀ Se U i então cos θ 1 e sen θ 0 de acordo na Definição 1711 Dᵤfx y lim h0 fx h y fx y h que é a derivada parcial de f em relação a x Se U j então cos θ 0 e sen θ 1 e Dᵤfx y lim h0 fx y h fx y h que é a derivada parcial de f em relação a y N do R Quando dizemos derivada de f na direção de U fica subentendido que não só a direção mas também o sentido está determinado por U Observe que U tem a mesma direção de U mas a derivada direcional de f na direção de U tem sentido oposto da derivada de f na direção de U Assim sendo fₓ e fᵧ são casos particulares da derivada direcional nas direcções dos vetores unitários i e j respectivamente ILUSTRAÇÃO 1 Vamos aplicar a Definição 1711 para encontrar Dᵤf se fx y 3x² y² 4x e U é vetor unitário na direção u π Então U cos θi sen θj isto é U ½3i ½j Assim da Definição 1711 Dᵤfx y lim h0 fx ½3h y h fx y h lim h0 3x ½3h² y h² 4x ½3h 3x² y² 4x h lim h0 3x² 33hx 3h² y² 2hy 4x 23h 3x² y² 4x lim h0 33hx 3h² 2hy 23h h lim h0 33x 3h y 2h3 33x y 23 Seguimos agora para obter uma fórmula que nos possibilite calcular a derivada direcional de uma maneira mais rápida do que usamos a definição Seja gt fx t cos θ y t sen θ e seja U cos θi sen θj Então pela definição de derivada ordinária g0 lim h0 fx 0 h cos θ y 0 h sen θ fx 0 cos θ y 0 sen θ h g0 lim h0 fx h cos θ y h sen θ fx y h Como o segundo membro ainda é Dᵤfx y g0 Dᵤfx y Encontramos agora gt aplicando a regra da cadeia ao segundo membro de 1 o que dá gt fₓx t cos θ y t sen θ xx t cos θ y t sen θ t fₓx t cos θ y t sen θ cos θ fᵧx t cos θ y t sen θ sen θ Logo g0 fₓx y cos θ fᵧx y sen θ Dessa equação e de 2 obtemos o teorema a seguir DEZESSETE Derivadas Direcionais Gradientes e Aplicações das Derivadas Parciais fx y fₓx yi fᵧx yj Mᵧx y Nₓx y As derivadas parciais fₓx y e fᵧx y medem as taxas de variação dos valores funcionais fx y na direção dos eixos x e y respectivamente As derivadas direcionais introduzidas na Seção 171 dão as taxas de variação dessas funções em qualquer direção O gradiente também introduzido na Seção 171 dá a direção e o sentido em que a função tem a sua maior taxa de variação Esse conceito é aplicado na Seção 172 em nossa discussão sobre planos tangentes e normais a superfícies Assim como usamos as derivadas primeira e segunda para determinar as funções máxima e mínima de uma única variável mostramos na Seção 173 de que modo as derivadas parciais podem ser aplicadas para encontrarmos valores extremos de funções de duas variáveis As aplicações nessa seção incluem o método dos mínimos quadrados Na Seção 174 introduzimos os mult 171 TEOREMA Se f for uma função diferenciável de x e y e U cos θ i sen θ j então Dufx y fx y cos θ fx y sen θ Encontramos Duf4 3 multiplicando escalarmente f4 3 por U Duf4 3 12 i 12 j 12 i 23 j 762 Solução a Queremos encontrar DuTx y onde U cos 3π4 sen 3π4 j Tx y Tx yi Tx yj x 2y Vx y z frac1sqrtx2 y2 z2 fx y 4x2 3xy y2 gx y z fracxyx2 y2 172 Planos Tangentes e Normais a Superfícies Derivadas Direcionais Gradientes e Aplicações das Derivadas Parciais Exercícios 172 A função f de duas variáveis tem um valor máximo relativo no ponto x0 y0 se existir um disco aberto Bx0 y0 r onde fx0 y0 fx y para todo x y em B A função f de duas variáveis tem um valor mínimo relativo no ponto x0 y0 se existir um disco aberto Bx0 y0 r tal que fx0 y0 fx y para todo x y em B Seja fx y definida em todos os pontos de algum disco aberto Bx0 y0 r tendo um extremo relativo em x0 y0 Então se existirem fxx0 y0 0 e fyx0 y0 0 Um ponto x0 y0 para o qual temos ambas as igualdades fxx0 y0 0 e fyx0 y0 0 é chamado de ponto crítico O Teorema 1733 estabelece que uma condição necessária para que uma função de duas variáveis tenha um extremo relativo em um ponto onde suas derivadas parciais primeiras existem é que ele seja um ponto crítico É possível para uma função de duas variáveis ter um extremo relativo em um ponto no qual as derivadas parciais não existem mas não iremos considerar tal situação neste livro Além disso a anulação das derivadas parciais primeiras de uma função de duas variáveis não é uma condição suficiente para que a função tenha um extremo relativo no ponto Isso ocorre na ilustração a seguir 1735 TEOREMA Teste da Derivada Segunda Seja f uma função de duas variáveis tal que e suas derivadas primeira e segunda sejam contínuas em algum disco aberto Ba b r Suponhamos além disso que fa b 0 e fxa b 0 Então i f tem um valor mínimo relativo em a b se fxa bfya b fx2a b 0 e fxa b 0 ou fya b 0 ii f tem um valor máximo relativo em a b se fxa bfya b fx2a b 0 e fxa b 0 ou fya b 0 iii fa b não é um extremo relativo se fxa bfya b fx2a b 0 iv Não podemos tirar conclusão nenhuma se fxa bfya b fx2a b 0 Adiaremos a discussão da prova do teste da derivada segunda até o final desta seção onde provaremos a parte i EXEMPLO 1 Se fx y 2x4 y2 x2 2y determine caso haja os extremos relativos de f Solução Para aplicar o teste da derivada segunda calculamos primeiro as derivadas primeira e segunda de f fxx y 8x3 2 fyx y 2y 2 fxxx y 24x2 2 fyxx y 2 fyx y 0 Resolvendo fx y 0 obtemos x 12 x 0 e x 1 Resolvendo agora fx y 0 obtemos y 1 Logo fx e fy são ambos nulos nos pontos 1 1 0 1 e 1 1 e esses são os pontos críticos de f Os resultados da aplicação do teste da derivada segunda a esses pontos estão resumidos na Tabela 1 Tabela 1 Ponto crítico fx fy fxx fxy fy2 Conclusão 12 1 4 2 0 8 f tem um valor mínimo relativo 0 1 2 2 0 4 f não tem um extremo relativo 1 1 4 2 0 8 f tem um valor mínimo relativo No ponto 12 1 fx 0 e fxyfy fx2 0 assim do Teorema 1735 i f tem um valor mínimo relativo em 12 1 Em 0 1 fxfy fx2 0 assim do Teorema 1735 iii f não tem extremo relativo em 0 1 Como fx 0 e fxfy fx2 0 em 12 1 f tem um valor mínimo relativo nesse ponto pelo Teorema 1735i Como f12 1 38 e f1 1 3 concluímos que f tem um valor mínimo relativo de 38 em cada um dos pontos 12 1 e 1 1 Vamos discutir agora extremos absolutos de funções de duas variáveis 1736 DEFINIÇÃO A função f de duas variáveis terá um valor máximo absoluto em seu domínio D no plano xy se existir algum ponto x0 y0 em D tal que fx0 y0 fx y para todos os pontos x y em D Em tal caso fx0 y0 é denominado o valor máximo absoluto de f em D 1737 DEFINIÇÃO A função f de duas variáveis terá um valor mínimo absoluto em seu domínio D no plano xy se existir algum ponto x0 y0 em D tal que fx0 y0 fx y para todos os pontos x y em D Em tal caso fx0 y0 é denominado o valor mínimo absoluto de f em D Para funções de uma única variável tínhamos o teorema do valor extremo Se a função f for contínua no intervalo fechado a b então f terá um valor máximo absoluto e um valor mínimo absoluto em a b Sabemos que um extremo absoluto de uma função contínua num intervalo fechado deve ser um valor funcional extremo relativo ou um valor funcional na fronteira do intervalo Temos uma situação correspondente para funções de duas variáveis No enunciado do teorema do valor extremo para funções de duas variáveis vamos nos referir a uma região fechada no plano xy Por região fechada entendemos aquela que inclui sua fronteira Na ilustração a seguir ambas regiões fechadas estão resumidas na Figura 7 a Os lados de um triângulo juntamente com a região contida nele constituem uma região fechada A fronteira consiste nos lados do triângulo Veja a Figura 7 b Os lados de um retângulo juntamente com a região contida nele constituem uma região fechada A fronteira consiste nos lados do retângulo Veja a Figura 8 SEJA R uma região fechada no plano xy e seja uma função de duas variáveis contínua em R Então existe pelo menos um ponto em R onde f tem um valor máximo absoluto e pelo menos um ponto em R onde f tem um valor mínimo absoluto A demonstração desse teorema será omitida pois que foi contexto deste livro Se f for uma função satisfezendo o Teorema 1738 e ambas fx y e fx y existirem em todos os pontos de R então os extremos de f ocorrerão num ponto x0 y0 onde fx0 y0 0 e fyx0 y0 0 um ponto da fronteira de R 173 Extremos de Funções de Duas Variáveis ser vendida pelos valores 100 2x e 125 3y respectivamente O custo de fabricação de x lâmpadas do primeiro tipo e y lâmpadas do segundo tipo é de 12x 11y 4xy Quantas lâmpadas de cada tipo devem ser produzidas para que ele obtenha o lucro máximo e qual é o lucro máximo Solução A renda obtida com a venda das lâmpadas do primeiro tipo é x100 2x e com as lâmpadas do segundo tipo é y125 3y Logo se fx y for o lucro do fabricante fx y x100 2x y125 3y 88x 114y 2x2 3y2 4xy 1 Como x e y representam o número de lâmpadas exigimos que x 0 e y 0 e permitimos que x e y sejam quaisquer números reais nãonegativos Além disso 100 2x é o preço de venda de lâmpadas do primeiro tipo Assim exigimos que 100 2x 0 ou equivalently x 50 Analogicamente como 125 3y é o preço de venda de lâmpadas do segundo tipo exigimos que y 1253 Logo o domínio de f é a região fechada definida pelo conjunto x y0 x 50 e 0 y 1253 Essa região é retangular e aparece na Figura 9 A fronteira da região consiste nos lados do retângulo Como f é uma função polinomial então ela continua em toda parte Logo f é contínua em seu domínio assim para extremos pode ser aplicado Os pontos críticos são encontrados se determinarmos onde fxx y 0 fyx y 0 fxx y 88 4x 4y fyx y 114 6x 4y Expressando fx y 0 e fxx y 0 temos x y 22 2x 3y 57 Resolvendo essas equações simultaneamente obtemos x 9 e y 13 Para aplicar o teste da derivada segunda calculamos as derivadas parciais segundas fxxx y 4 fyxx y 6 fyyx y 4 No ponto 9 13 fx9 13 4 0 fxx9 13fy9 13 fxy9 13 46 42 8 0 Segue então pelo Teorema 1735ii que f terá um valor máximo relativo em 9 13 De 1 fx y x88 2x y114 3y 4xy 2 Assim f9 13 970 1375 468 1137 O valor máximo absoluto de f deve ocorrer em 9 13 ou na fronteira do domínio de f Vamos comparar f9 13 com os valores funcionais na fronteira Para a parte da fronteira no eixo x com x 0 50 calculando os valores funcionais por 2 temos fx 0 88x 2x² Seja gx 88x 2x² x 0 50 Então gx 88 4x e gx 4 Como g22 0 e g22 0 g tem um valor máximo relativo de 968 em x 22 Além disso g0 0 e g50 0 Como f9 13 1137 968 o valor máximo absoluto de f não ocorre no eixo x Para a parte da fronteira sobre o eixo y com y 0 1253 de 2 f0 y 114y 3y² Seja hy 114y 3y² y 0 1253 Então hy 114 6y e hy 6 Como h19 0 e h19 0 h tem um valor máximo relativo de 1083 em y 19 Além disso h0 0 e h1253 0 Como f9 13 1137 1083 o valor máximo absoluto de f não ocorre no eixo x Vamos considerar agora a parte da fronteira sobre a reta x 50 com y 0 1253 De 2 f50 y y114 3y 600 200y f0 y y114 3y Comparando essas duas equações f50 y f0 y Como f9 13 f0 y para todo y 0 1253 então f9 13 f50 y para y 0 1253 Logo o valor máximo absoluto de f não ocorre sobre a reta y 50 Finalmente temos a parte da fronteira sobre a reta y 13 com x 0 50 De 2 fx 13 x88 2x 133 59x f0 0 x88 2x Portanto como f9 13 f0 x para todo x em 0 50 podemos concluir que também é maior do que fx 13 para todo x em 0 50 Assim o valor máximo absoluto não pode ocorrer sobre a reta y 13 Logo o valor máximo absoluto de f não está sobre a fronteira mas sim no ponto 9 13 Concluímos então que 9 lâmpadas do primeiro tipo devem ser produzidas para o lucro máximo de 1137 EXEMPLO 3 Determine as dimensões relativas de uma caixa retangular sem a tampa e com um dado volume sendo usada a menor quantidade de material possível em sua fabricação Solução Sejam x unidades o comprimento da base da caixa y unidades a largura da base da caixa z unidades a altura da caixa e u unidades de volume e volume dado da caixa onde V é uma constante A Figura 10 mostra a caixa Cada uma das variáveis x y e z está no intervalo 0 Temos as equações S xy 2xz 2yz e V xyz Resolvendo a segunda equação para z em termos de x y e da constante V iremos obter z Vxy e substituindo esse valor na primeira equação temos S xy 2Vy 2Vx Derivando obtemos Sx y 2Vx² Sy x 2Vy² ²Sx² 2Vx³ ²Sy² 2Vy³ Expresso Sx 0 e Sy 0 obtemos x²y 2V 0 xy² 2V 0 Resolvendo essas equações simultaneamente obtemos x 32V e y 32V Para esses valores de x e y ²Sx² 4V2V³ ²Sy² 4V2V³ ²Sx² 4V2V³ 1 2 0 Do Teorema 1735i segue que S tem um valor mínimo relativo quando x 32V e y 32V Convém lembrar que x e y estão no intervalo 0 e notar da equação 3 que S é muito grande quando x e y estão próximos de zero ou são muito grandes Assim sendo concluímos que o valor mínimo relativo de S é um valor mínimo absoluto de S Como z Vxy então quando x 32V e y 32V z V4V 2V2 Logo a caixa deve ter uma base quadrada e uma altura que é metade do comprimento do lado da base Uma aplicação de extremos de funções de duas variáveis envolve a obtenção da reta que melhor se ajusta a um conjunto de pontos dados Por exemplo suponha que queiramos encontrar um modelo matemático para alguns dados que são um conjunto de pontos x1 y1 x2 y2 xn yn Em particular y poderia ser o lucro semanal de um fabricante enquanto que x seria o número de unidades vendidas por semana ou y poderia ser o total de vendas anuais enquanto que x seria o número de anos decorridos desde o começo da empresa O número de casos novos de uma doença epidêmica poderia ser y enquanto que xi seria o número de dias decorridos desde o aparecimento da epidemia O modelo desejado é uma relação entre x e y que permita fazer futuras predições Tal relação é proporcionada por uma reta que se ajuste aos dados Para chegar a uma definição adequada da reta vamos indicar primeiro em que medida uma determinada reta ajustase a um conjunto de pontos medindo as distâncias verticais entre os pontos e a reta Por exemplo na Figura 11 existem n pontos e a reta y mx b O ponto xi yi é o iésimo ponto e correspondendo a ele existe na reta o ponto xi mx b O desvio ou erro entre o iésimo ponto e a reta é definido como di yi mxi b A soma dos quadrados dos desvios é Σn i1 di² Σn i1 yi mxi b² que nunca é negativa sendo zero somente se cada um dos di for zero quando todos os pontos estão sobre a reta Tomaremos como a reta de melhor ajuste aquela para a qual Σn i1 di² é um mínimo absoluto Essa reta é chamada de reta de regressão de y em x e o processo de encontrála é chamado de método dos mínimos quadrados Agora vamos dar o procedimento para o uso do método dos mínimos quadrados a fim de obter a reta de regressão y mx b para um conjunto de n pontos dados Como xi e yi são constantes e m e b são variáveis Σn i1 di² é uma função de m e b Denotamos essa função por f de modo que fm b Σn i1 yi mxi b² Queremos encontrar os valores de m e b que tornem fm b um mínimo absoluto Vamos calcular primeiro as derivadas parciais fm b e fm b 173 Extremos de Funções de Duas Variáveis Derivadas Direcionais Gradientes e Aplicações das Derivadas Parciais 173 Extremos de Funções de Duas Variáveis Derivadas Direcionais Gradientes e Aplicações das Derivadas Parciais EXERCÍCIOS 173 42 Se fm b i1n yi mxi b2 use o teste da derivada segunda para provar que os valores de m e b em 5 e 6 dão um valor mínimo relativo de f Sugestão mostre primeiro que fmmm b 0 Para mostrar que fmmm b fmbm b 0 você deve pro 174 Funções Implícitas Derivação Em geral dizemos que a equação Fx y 0 define implicitamente a função y fx a x b se Fx fx 0 a x b Da mesma forma a equação Fx y z 0 define implicitamente a função z fx y x y D se Fx y z 0 x y D onde D é uma região do plano ILLUSTRAÇÃO 7 Dada a equação x² y² z² 1 dizemos que ela define implicitamente a função z 1 x² y²¹² De fato temos que x² y² 1 x² y²¹²² x² y² 1 y² 1 A discussão das condições sobre a função F para que ela defina implicitamente uma função z é o Teorema da Função Implícita o qual prova a existência de funções implícitas a partir daquelas condições foge do contexto deste livro No que se segue estaremos então admitindo tacitamente a existência da função implícita Os próprios resultados obtidos darão conta de algumas restrições Fica entendido que as fórmulas desenvolvidas só são válidas para funções tais que a aplicação das fórmulas não conduza a um absurdo Poderemos estar interessados em calcular pontos extremos planos tangentes enfim analisar o comportamento de funções cuja definição explícita não é possível ou complicada Tornase importante então poder calcular suas derivadas parciais Nesta seção desenvolveremos um método que nos permite calcular as derivadas de funções definidas implicitamente a partir da equação que as define Consideremos por exemplo a equação Fx y x² y² 1 0 a qual define implicitamente a função y 1 x²¹² Temos que dF Fx dx Fy dy 2x dx 2y dy 0 onde igualamos a zero pois Fx y 0 Segue então que dydx 2x2y xy que existe sempre se y 0 174 TEOREMA Dadas as funções F Fx y e y fx definidas e diferenciáveis respectivamente em D R² a x b Seja f a função definida implicitamente por Fx y 0 isto é Fx fx 0 para a x b Então dfdx Fx Fy onde as derivadas do segundo membro devem ser calculadas nos pontos x fx e supõese que Fy 0 Prova Para todo x a b temos que Fx fx 0 Logo dF Fx dx Fy dy 0 Segue então que se Fy 0 dydx Fx Fy EXEMPLO 1 Dado que y é uma função implícita de x definida por Fx y x³ y cos x 0 determine dydx Solução dydx Fx Fy 3x² y sen x cos x 3x² cos x x³ sen x cos² x ILLUSTRAÇÃO 8 Suponha que yx fx Segue que Fx y fx 0 Então dydx y gx fx gx fx gx fx gx gx 0 que é uma conhecida fórmula para derivar o quociente de duas funções ILLUSTRAÇÃO 9 Convém observar que a fórmula para o cálculo de dydx desde que exista y fx a partir de Fx y 0 Por exemplo x² y² 0 só tem a solução x y 0 isto é um ponto Entretanto empregando a fórmula teremos dydx 2x2y xy que não faz sentido 174 Funções Implícitas Derivação no nosso caso o ponto de tangência é 0 1 3 e para determinarmos a equação procurada resta determinar dydx Mas dydx Fx Fy yex 1 ex yex 1 ex No ponto 0 1 3 o valor de dydx é 3 assim sendo y 1 3 é a equação procurada EXEMPLO 3 Queremos calcular dydx sendo que y fx é definida implicitamente por Fx y 3x² 2y²² 0 Solução dydx Fx Fy 6x²4y 3x²2y pois se 3x² 2y²² 0 então 3x² 2y² 0 Podemos estender o teorema a seguir para funções de três variáveis 1742 TEOREMA Dadas as funções F Fx y z e z fx y definidas e diferenciáveis respectivamente em D R³ e S R² seja f a função de x y definida implicitamente por Fx y z 0 em S Então Fx y zx Fx y zy e Fx y zz Fx y zy para todo x y S As derivadas do segundo membro são calculadas em x y fx y e supõese que Fz 0 Prova Para todo x y S temos que Fx y fx y 0 Logo dF Fx dx Fy dy Fz dz 0 Mas estamos supondo que z fx y então dz zx dx zy dy Substituindo dz em dF teremos Fx Fy zx dx Fy Fz zy dy 0 Como x e y são variáveis independentes ou seja x não é função de nem viceversa segue que dxdy 0 e dydx 0 portanto da relação acima obtemos Fx Fy zx 0 e Fy Fz zy 0 Se Fz 0 podemos dividir ambas as igualdades por Fz obtendo assim as fórmulas dadas no teorema Pode acontecer entretanto que explicitar z nas duas equações dadas seja uma tarefa por demais complicada Podemos usar então o seguinte procedimento alternativo dF Fx dx Fy dy Fz dz 0 e Consideremos agora um caso um pouco mais complicado São dadas as equações Fx y u v 0 e Gx y u v 0 A transformação definida implicitamente no caso em discussão por u ux y v vx y é uma transformação do plano no plano e corresponde a uma mudança de sistemas de coordenadas no plano passagem das coordenadas x e y às coordenadas u e v e desde que esta transformação seja bijetora isto é para cada x y corresponde pela transformação um único u v e viceversa Saber calcular as derivadas parciais de u e v numa tal transformação como veremos no Capítulo 18 desempenha papel importante no cálculo de integrais duplas e triplas quando são necessárias mudanças de variáveis nestes integrais Na solução do Exemplo 3 da Seção 173 minimizamos a função com valores funcionais xy 2xz 2yz sujeita à condição de que x y e z satisfacam a equação xyz v Compare isso com o Exemplo 1 da Seção 173 no qual encontramos os extremos relativos da função f para a qual fx y 2x² y x² 2y Há essencialmente dois tipos diferentes de problemas pois no primeiro caso temos uma condição adicional chamada de vínculo condição lateral ou restrição Tal problema é chamado de problema com extremos vinculados condicionados ou com restrições enquanto que o do segundo tipo é um problema com extremos livres Para encontrar os pontos críticos de F calculamos as quatro derivadas parciais Fx Fy Fz e Fλ e igualamos a zero os seus valores funcionais Fxxyzλ y 2z λxy 0 Fyxyzλ x 2z λxz 0 Fzxyzλ 2x 2y λxy 0 Fxyzλ xyz V 0 Subtraindo os membros correspondentes nas equações 1 e 2 obtemos y x λzy x 0 Suponha que 7 possa ser resolvida para z para obtermos z hx y onde h está definida em um disco aberto Bx0 y0 r e fx y hx y tem um extremo relativo em x0 y0 hx0 y0 Suponha também que as derivadas parciais primeiras de f g e h existem em B e g1x y hx y 0 em B Como f tem um extremo relativo em x0 y0 hx0 y0 as derivadas parciais primeiras de f se anulam nesse ponto Calculamos essas derivadas parciais pela regra da cadeia em x0 y0 hx0 y0 f1 f3 h x 0 e f2 f3 h y 0 8 Se em 7 derivarmos implicitamente em relação a x e depois em relação a y e considerarmos z como a função derivável h de x e y então no ponto x y no disco aberto B g1 g3 h x 0 e g2 g3 h y 0 ou equivalentemente pois g3 0 no disco aberto B em x y de B h x g1 g3 e h y g2 g3 onde os valores funcionais de g1 g2 e g3 estão em x y hx y Se os valores h x e h y forem substituídos nas relações 8 então no ponto x0 y0 hx0 y0 f1 f3g1g3 0 e f2 f3g2g3 0 Além disso f3 g3f3g3 0 em qualquer ponto onde g3 0 Assim em x0 y0 hx0 y0 f1 g1f3g3 0 f2 g2f3g3 0 e f3 g3f3g3 0 Se λ fygy então essas equações podem ser escritas como f1 λg1 0 f2 λg2 0 f3 λg3 0 9 Além disso como f tem um extremo relativo em x0 y0 hx0 y0 e esse extremo está sujeito ao vínculo gx y z 0 então gx0 y0 hx0 y0 0 Se Fx y z λ fx y z λgx y z e se z0 hx0 y0 então 9 e 10 equivalem a Fx 0 Fy 0 Fz 0 Fλ 0 em x0 y0 z0 Logo podemos concluir que um ponto x0 y0 z0 no qual a função f tem um extremo relativo está entre os pontos críticos da função F definida por 11 Observe que as equações 9 podem ser escritas na forma vetorial f λg 0 em x0 y0 z0 onde g 0 Essa equação vetorial juntamente com a equação gx0 y0 z0 0 dá uma outra forma das equações 12 EXEMPLO 2 Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar a menor distância entre a origem e o plano Ax By Cz D Solução Sejam w unidades a distância entre a origem e um ponto x y z no plano Então w x² y² z² Como será um mínimo quando w² for um mínimo formamos a função f para a qual fx y z x² y² z² Queremos encontrar o valor mínimo de f sujeito ao vínculo Ax By Cz D 0 Com a hipótese de que existe tal valor mínimo ele irá ocorrer em um ponto crítico da função F tal que Fx y z λ x² y² z² λAx By Cz D Para encontrar os pontos críticos de F calculamos as derivadas parciais de F igualandoas a zero Fxx y z λ 2x λA 0 Fyx y z λ 2y λB 0 Fzx y z λ 2z λC 0 Fλx y z λ Ax By Cz D 0 13 Das três primeiras equações x λ2A y λ2B z λ2C Substituindo x y z por esses valores em 13 obtemos λ2A² B² C² D Substituímos λ2A por esse valor nas equações 14 e obtemos x AD A² B² C² y BD A² B² C² z CD A² B² C² 15 O ponto com essas coordenadas é o único ponto crítico de F Logo a distância mínima da origem ao plano é a distância da origem ao ponto x0 y0 z0 onde x0 y0 e z0 são os valores de x y e z dados nas equações 15 A distância mínima é então x0² y0² z0² A²D² A² B² C²² A² B² C²² D A² B² C² Quando diversos vínculos são impostos o método dos multiplicadores de Lagrange pode ser aplicado se usarmos diversos multiplicadores Por exemplo se desejamos encontrar pontos críticos da função com valores fx y z sujeitos às duas condições laterais gx y z 0 e hx y z 0 encontramos os pontos críticos da função F das cinco variáveis x y z λ e μ para as quais Fx y z λ μ fx y z λgx y z μhx y z O exemplo a seguir ilustra o método EXEMPLO 3 Ache os extremos relativos da função f se fx y z xz yz e se o ponto x y z está na interseção das superfícies x² z² 2 e yz 2 Solução Formamos a função F tal que Fx y z λ xz yz λx² z² 2 μyz 2 Determinando as cinco derivadas parciais e igualandoas a zero temos Fxx y z λ z 2λx 0 16 Fyx y z λ 2y μz 0 17 Fzx y z λ x y 2z 0 18 Fλx y z λ x² z² 2 0 19 Fμx y z λ yz 2 0 20 De 17 obtemos μ 1 e z 0 Rejeitamos z 0 pois isso contradiz 20 De 16 obtemos se x 0 λ z2x Substituindo esse valor de λ e μ em 18 obtemos x y z2 0 x² z² Substituindo 21 em 19 temos 2x² 2 0 ou x² 1 Isso dá dois valores para x ou seja 1 e 1 e para cada um deles os dois valores 1 e 1 para z Obtendo os valores correspondentes para y temos Nos Exercícios de 1 a 4 use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos críticos da função dada sujeitos aos vínculos dados No Capítulo 19 quando estudamos campos vetoriais desejaremos determinar se uma dada função com valores vetoriais e o gradiente de alguma função com valores reais f e se for queremos obter tal função f Primeiro vamos considerar o problema de como obter f se for conhecido o seu gradiente Isto é temos fx y fₓx yi fᵧx yj e queremos encontrar fx y Igualando o segundo membro de 7 e o de 10 ex cos x ey cos x gx gx 0 gx C Substituindo esse valor de gx em 9 iremos obter fx y ex sen x C Além disso como Nx y existe em B segue de 16 que Nxx y fyx y Uma vez que Me Ns são contínuas em B seus equivalentes fx e fy também são contínuos em B Assim do Teorema 1671 fxx y fyx y em todos os pontos de B Provamos que se Me Ns forem contínuas em um disco aberto B de R² uma condição necessária para que o vetor 14 seja um gradiente em B é que Mxx y Nxx y A relação 19 também é uma condição suficiente para que o vetor 14 seja um gradiente em B Se 19 estiver satisfeita podemos mostrar como encontrar uma função f tal que o vetor 14 seja um gradiente Mas a demonstração que sempre que 19 estiver satisfeita tal função existe é material de um curso em Cálculo Avançado O método para encontrar f via generalização do que foi usado na Ilustração 1 no Exemplo 1 e no Exemplo 2 adiante Temos o teorema a seguir Logo Mx y Nx y assim o vetor é o gradiente fx y Além disso fxx y ey 2x fyx y xey sen y Integrando ambos os membros de 20 em relação a x iremos obter fx y xey x2 gy onde gy é independente de x Agora derivamos parcialmente ambos os membros de 22 em relação a y obtendo fyx y xey gy Igualando o lado direito da equação anterior e de 21 obtemos xey gy xey sen y gy sen y gy cos y C Substituindo a expressão de gy em 22 teremos fx y xey x2 cos y C Para determinarmos se uma dada função com valores vetoriais e o gradiente de alguma função com valores reais f precisamos estabelecer se a expressão da forma Mx ydx Nx ydy é a diferencial total de uma função f Tal expressão é denominada diferencial exata A expressão diferencial Mx ydx Nx ydy será chamada de exata no disco aberto Bx0 y0 r em R² e que Me Ns sejam contínuas em B Então a expressão diferencial Mx ydy Nx ydx será exata em B se e somente se Myx y Nxx y em todos os pontos de B EXEMPLO 3 Determine se a expressão diferencial é exata a y sen x 3 cos y dx 3x sen y cos x dy b 3 r cos θ dr r2 sen θ dθ Solução a Seja Mx y y sen x 3 cos y Nx y 3x sen y cos x Myx y sen x 3 sen y Nxx y 3 sen y sen x Como Myx y Nxx y temos então uma diferencial exata b Seja Mr θ 3 r cos θ Nr θ r² sen θ Mr θ r sen θ Nr θ 2r sen θ Como Mr θ Nrr θ então a expressão diferencial não é exata Se Mx ydx Nx ydy for uma diferencial exata dizemos então que a equação diferencial Mx ydx Nx ydy 0 é uma equação diferencial exata A solução geral da equação é dada por fx y C onde fx y Mx y fyx y Nx y e C é uma constante arbitrária EXEMPLO 4 Determine se a equação diferencial a seguir é exata Em caso afirmativo ache a sua solução geral 3x²y xy² e² dx x³ x²y cos y dy 0 Solução Seja Mx y 3x²y xy² e² Nx y x³ x²y cos y Mx y 3x² 2xy Logo My x Nx y assim sendo a equação diferencial é exata Portanto a solução geral é fx y C onde fₓx y 3x²y xy² e² fᵧx y x³ x²y cos y Integrando ambos os membros de 24 em relação a x iremos obter fx y x³y 12x²y² e² gy onde gy é independente de x Derivando parcialmente ambos os membros de 26 em relação a y temos fₓx y x³ x²y gy Igualando o segundo membro dessa equação e o de 25 temos gy cos y gy sen y C Substituindo essa expressão em 26 teremos fx y x³y 12x²y² e² sen y C Logo a solução geral é x³y 12x²y² e² sen y 0 2x³y x²y² 2e² 2sen y C onde C 2C 176 O Teorema 1761 pode ser estendido para funções de três variáveis Sejam M N e R funções de três variáveis x y e z definidas numa bola aberta Bk₀ y₀ z₀ ri em ℝ³ sendo Mx y Mₓ Mᵧ N Nᵧ R e Rₓ contínuas em B Então o vetor Mx y z x₁ Nx y z y₁ Rx y z z₁ será um gradiente em B se e somente se Mx y z Nᵧx y z Mᵧx y z Rₓx y z e Nᵧx y z Rᵧx y z A demonstração da parte somente se do Teorema 1763 é análoga à demonstração da parte somente se do Teorema 1751 e será deixada como exercício veja o Exercício 35 A demonstração da parte se foge do contexto deste livro 1765 DEFINIÇÃO A expressão diferencial Mx y zdx Nx y zdy Rx y zdz será denominada exata em uma bola aberta B em ℝ³ se existir uma função f tal que fₓx y z Mx y z fᵧx y z Nx y z fᵧx y z Rx y z em todos os pontos x y z B ILUSTRAÇÃO 6 A expressão e²sen z 2y² dx 2xz 2y dy e² cos z 2xy 3z² dz é uma diferencial exata pois é a diferencial total da função f encontrada no Exemplo 5 A tabela a seguir dá a pressão sistólica do sangue e os batimentos cardíacos correspondentes de vários pacientes onde x mm de mercúrio é a pressão sistólica do sangue e y o número de batimentos cardíacos por minuto Paciente A B C D E F a Ache uma equação da reta de regressão para os dados da tabela b Use a reta de regressão para estimar o número de batimentos cardíacos de um paciente com pressão sistólica de 85 mm de mercúrio