Binômio de Newton e Triângulo de Pascal - Conceitos e Aplicações

Combinação Binômio de Newton e Triângulo de Pascal N úmero Binomial ou Número de Newton Binomial ou Número de Newton 12 n n k nk 12 3 3 12 3 12 0 12 3 9 101112 123 220 simplificando 9 com 9 Combinações Seja M um conjunto de m elementos M a1 a2 a3 am chamamos de combinações de m elementos tomados r a r aos subconjuntos de M constituídos de r elementos Exemplo M 1234 As combinações possíveis tomadas 2 a 2 elementos são 12 13 14 23 24 e 34 Total de combinações 6 Cálculo do Número de Combinações para qualquer n k N com K m Isto quer dizer que a fórmula de combinação é igual ao número binomial de Newton Exemplo Num teatro temos cinco cadeiras restantes numeradas de 1 a 5 e desejamos escolher 2 lugares entre os existentes de quantas formas podemos fazer isto 10 Triângulo de Pascal É um triângulo aritmético infinito onde são dispostos os coeficientes das expansões binomiais Os números que compõem o triângulo apresentam diversas propriedades e relações apresentam diversas propriedades e relações Essa representação geométrica foi estudada pelo matemático chinês Yang Hui 12381298 e por muitos outros matemáticos Segundo a professora de Matemática e Física Rosimar Gouveia entretanto os estudos mais famosos foram do matemático italiano Niccolò Fontana Tartaglia 14991559 e do matemático francês Blaise Pascal 16231662 Sendo que Pascal estudou mais profundamente o triângulo aritmético e provou várias de suas propriedades Na antiguidade esse triângulo era usado para o cálculo de algumas raízes Mais recentemente ele é utilizado no cálculo de probabilidades Além disso os termos do binômio de Newton e da sequência de Fibonacci podem ser encontrados a partir dos números que constituem o triângulo Conforme o site httpswwwtodamateriacombr do dia 23022020 Construção do Triângulo O triângulo de Pascal é construído colocandose os números binomiais de mesmo numerador na mesma linha e os coeficientes de mesmo denominador na mesma coluna Assim temos linha 0 linha 1 linha 2 linha 3 linha 4 linha 5 linha n 0 0 1 1 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 n 0 1 2 3 4 5 n Ao calcular os valores dos coeficientes encontramos a seguinte representação do triângulo de Pascal 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 Propriedades 1 A soma dos elementos de uma linha de numerador n será igual a Sn 2n Exemplos S4 24 S4 16 S5 25 S5 32 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 2 Todas as linhas têm o número 1 como seu primeiro e último elemento Com isso temos 1 1 1 1 Desta forma podemos dizer 1 1e 1 1 Exemplo 3 1 3 5 1 5 e 6 1 6 Desta forma podemos dizer n1 n 3 O restante dos números de uma linha é formado pela adição dos dois números mais próximos da linha acima Essa propriedade é chamada de Relação de Stifel e é expressa por njp1n1pnÉ possível verificar a relação de Stifel diretamente no triângulo de Pascal porque a partir da segunda linha cada elemento é igual à soma do elemento acima com o seu anterior linha 000 linha 11111 linha 2202122 linha 330313233 linha 44041424344 linha 5505152535455 linha 660616263646566 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 15 10 10 5 1 6 15 20 15 6 1 7 21 35 35 21 7 1 4 Os elementos de uma mesma linha equidistantes dos extremos têm valores iguais pn pnp n pnúmero da linha número da coluna Exemplos a52 10 52 5252 523 542 10 b64 15 c75 21 1 0 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 Atividade extra Nome da atividade Triângulo de Pascal Link para assistir a atividade httpswwwtodamateriacombrtriangulodepascal Referência Bibliográfica BUSSAB W O MORETTIN P A Estatística Básica Ed Saraiva 2002181 p CRESPO A A Estatística Fácil Ed Saraiva 1999 224 p FONSECA JS da MARTINS GA de Curso de Estatística 6a ed São Paulo Atlas 2006 320 p HAZZAN S Fundamentos de Matemática Elementar cinco combinatória probabilidade 7ed São Paulo Atual 2004 174 p JAIRO S F MARTINS G A Curso de Estatística Ed Atlas 1996 MORETTIN LG Estatística Básica Probabilidade 7a ed São Paulo Makron Books Pearson 2005 2 v PEREIRA W TANAKA OK Estatística Conceitos Básicos 2a ed São Paulo Makron Books 1990 341 p SILVAEM da et al Estatística I 2ed São Paulo Atlas1999 188 p TOLEDO GL OVALLE II Estatística Básica 2a ed São Paulo Atlas 1995 459 p VIEIRA S Elementos de Estatística 3a ed São Paulo Atlas 1999 145 p