Calculo II - Funcoes de Duas Variaveis e Aplicacoes da Diferenciacao - FATEC

FATEC MIGUEL REALE CÁLCULO II Prof Dr HENRIQUE FURIA SILVA TRABALHO 3 10052023 MCA019 CÁLCULO 2 MANUTENÇÃO INDUSTRIAL httpwwwfatecitaqueraedubr Av Miguel Ignácio Curi 360 São Paulo SP 011 20564347 1 Função de duas variáveis Considere a seguinte função real de duas variáveis reais 𝑥 𝑦 𝑔𝑥 𝑦 𝑥2 5 𝑦2 3 Pedese a Determinar o domínio da função 15pt b Construir o gráfico usando software de computador c Escrever a equação da curva de nível para o nível 𝑐 2 d Esboçar a curva de nível para o nível 𝑐 2 2 Aplicações da diferenciação Considere o ponto 𝑥0 𝑦0 1 2 do plano cartesiano o vetor 𝑣 15 8 e a seguinte função 𝑥 𝑦 𝑓𝑥 𝑦 1 8 3 𝑥4 𝑦5 7 𝑥3 𝑦2 𝑥2 𝑦2 Pedese a Construa o gráfico usando software de computador 15pt b Utilize coordenadas polares para calcular o limite da função para 𝑥 𝑦 0 0 c Determine as derivadas parciais da função e suas imagens no ponto 𝑥0 𝑦0 d Obtenha a equação do plano tangente ao gráfico da curva no ponto 𝑥0 𝑦0 𝑓𝑥0 𝑦0 e Determine o vetor gradiente no ponto 𝑥0 𝑦0 f Calcule a derivada direcional 𝑓 𝑣 no ponto 𝑥0 𝑦0 Questão 1 1 Função de duas variáveis Considere a seguinte função real de duas variáveis reais xy gxy x² 5 y² 3 Pedese a Determinar o domínio da função b Construir o gráfico usando software de computador c Escrever a equação da curva de nível para o nível c 2 d Esboçar a curva de nível para o nível c 2 11 Solução da questão 1 111 Solução da questão 1 a O domínio da função é o conjunto de pontos onde a função fica bem definida Nesse sentido para a função gx y nós temos que o domínio dessa função deve ser tal que o argumento da raíz seja não negativa ou seja x² 5y² 3 0 x³5 y²1 35 Logo o domínio da função é o conjunto D dado por D x y ℝ² x³5 y²1 35 ou seja é a região do plano que contém tanto a borda quanto a parte fora da Elipse x³5 y²1 35 112 Solução da questão 1 b O gráfico pedido é o seguinte 113 Solução da questão 1 c A curva de nível para c 2 é obtida fazendo gx y c 2 Com efeito isso nos dá que 2 x² 5y² 3 x² 5y² 3 4 x² 5y² 7 Logo as curvas de nível são as elipses com a seguinte equação x²5 y²1 75 114 Solução da questão 1 d O gráfico pedido é o seguinte 2 Questão 2 Aplicações da diferenciação Considere o ponto x₀ y₀ 1 2 do plano cartesiano o vetor v 15 8 e a seguinte função x y fx y 18 3 x⁴ y⁵ 7 x³ y² x² y² Pedese a Construa o gráfico usando software de computador b Utilize coordenadas polares para calcular o limite da função para x y 0 0 c Determine as derivadas parciais da função e suas imagens no ponto x₀ y₀ d Obtenha a equação do plano tangente ao gráfico da curva no ponto x₀ y₀ f x₀ y₀ e Determine o vetor gradiente no ponto x₀ y₀ f Calcule a derivada direcional fv no ponto x₀ y₀ 21 Solução da questão 2 211 Solução da questão 2 a O gráfico da função pedida é o seguinte De posse disso nós temos que fxy fr costr sint 18 3r4 cos4tr5 sin5t 7r3 cos3tr2 sin2t r2 cos2t r2 sint 18 r9 cos4t sin5t 7r5 cos3t sin2t r2 18 r7 cos4t sin5t 7r3 cos3t sin2t 18 cos3t sin2t r7 cost sin3t 7r3 Com isso segue que o limite pedido pode ser calculado da seguinte forma limxy00 fxy limr0 fr costr sint limr0 18 cos3t sin2t r7 cost sin3t 7r3 18 cos3t sin2t limr0 r7 cost sin3t 7 limr0 r3 0 Portanto obtemos que limxy00 fxy 0 213 Solução da questão 2 c Vamos calcular as derivadas pedidas Com efeito vamos ter que fx x 18 3 x4 y5 7 x3 y2 x2 y2 18 x2 y212x3y5 21x2y2 2x3x5y5 7x3y2 x2 y22 18 12x5y5 21x4y2 12x3y7 21x2y4 6x6y5 14x4y2 x2 y22 Por outro lado em relação a variável y nós temos que fy y 18 3 x4 y5 7 x3 y2 x2 y2 18 x2 y215x4y4 14x3y 2y3x5y5 7x3y2 x2 y22 18 15x6y4 14x5y 15x4y6 14x3y3 6x5y6 14x3y3 x2 y22 E assim as derivadas parciais pedidas são fx 18 12x5y5 21x4y2 12x3y7 21x2y4 6x6y5 14x4y2 x2 y22 fy 18 15x6y4 14x5y 15x4y6 14x3y3 6x5y6 14x3y3 x2 y22 Agora vamos determinar as imagens das derivadas no ponto x0y0 12 nós temos que as derivadas são tais que fx x0y012 18 12x5y5 21x4y2 12x3y7 21x2y4 6x6y5 14x4y2 x2 y22 x0y012 18 12 25 21 4 12 27 21 24 6 25 12 22 1 42 1716 8 25 429 50 E fy x0y012 18 15x6y4 14x5y 15x4y6 14x3y3 6x5y6 14x3y3 x2 y22 x0y012 18 15 24 28 15 26 14 23 6 26 14 23 25 788 25 8 197 50 214 Solução da questão 2 d Vamos calcular primeiro fx0y0 que é fx0y0 f12 3 25 7 22 40 6840 1710 De posse disso vamos determinar a equação do plano tangente da curva z fxy Com efeito essa equação é dada por z z0 fxx0y0x x0 fyx0y0y y0 onde fx fx e fy fy Com isso em mãos segue que a equação do plano tangente é dada usando os resultados já calculados no item anterior nós temos que z 1710 42950 x 1 19750 y 2 z 42950 x 19750 y 42950 2 19750 1710 1710 Portanto a equação do plano é z 42950 x 19750 y 1710 215 Solução da questão 2 e O vetor gradiente é o seguinte grad f fxy i x j y fxy i x j y 18 3 x4 y5 7 x3 y2 x2 y2 i 18 12x5y5 21x4y2 12x3y7 21x2y4 6x6y5 14x4y2 x2 y22 j 18 15x6y4 14x5y 15x4y6 14x3y3 6x5y6 14x3y3 x2 y22 Ou seja grad f i 18 12x5y5 21x4y2 12x3y7 21x2y4 6x6y5 14x4y2 x2 y22 j 18 15x6y4 14x5y 15x4y6 14x3y3 6x5y6 14x3y3 x2 y22 216 Solução da questão 2 f Agora vamos calcular a derivada direcional de f com respeito do vetor v 158 no ponto 12 Com efeito a derivada direcional de f com respeito ao vetor v é obtida pelo seguinte desenvolvimento fv fx fy v fx fy 158 15 fx 8 fy 15 18 12x5y5 21x4y2 12x3y7 21x2y4 6x6y5 14x4y2 x2 y22 8 18 15x6y4 14x5y 15x4y6 14x3y3 6x5y6 14x3y3 x2 y22 Agora vamos aplicar essa derivada no ponto 12 que é o que foi efetivamente pedido na questão Nessas condições nós temos que fv xy12 15 fx x0y012 8 fy x0y012 15 42950 8 19750 128710 78825 12791130 e o resultado pedido é fv xy12 12791130