Calculo III - Atividades Resolvidas: Forma Polar, Funcoes Analiticas e Integrais

Atividade do Guru Calculo III A z 334i Encontrando a forma polar do numero 3 4i temos que r0 3 4i 32 42 5 e θ0 arg3 4i arctg43 então 3 4i 5 cosθ0 i senθ0 Uma reformulação do problema é z3 3 4i tomando z zcosθ i senθ então z3 z3 cos3θ i sen3θ 5 cosθ0 i senθ0 3 4i Portanto z3 5 z 35 e cos3θ cosθ0 sen3θ senθ0 3θ θ0 2kπ θ θ0 2kπ 3 com k 012 Logo zk 35 cosθ0 2kπ 3 i senθ0 2kπ 3 é uma solução para o problema para cada valor de k B w e12 Organizando 1z temos que z x iy então 1z 1x iy x iyx iy x iy x2 y2 x iy z2 x z2 i y z2 Então w e12 exz2 i yz2 exz2 cosyz2 i senyz2 Portanto Rew exz2 cosyz2 e Imw exz2 senyz2 Im 2 12 Re 1 2 1 2 1 a 10 Determine e represente no plano complexo as raízes de 33 4i b 10 Determine a parte real e a parte imaginária de e1z c 10 Determine a parte real e a parte imaginária de 1 i2 i 2 Determine os valores de z para os quais a função fz é analítica e se possível calcule sua derivada a 10 fz i z8 b 15 fz 1 1 z c 15 fz 1 z3 i2 3 Calcule as seguintes integrais a 15 c ez12 dz sendo C o segmento de reta de 8 πi a 8 3πi b 15 c Rez dz sendo C dada por zt t 2ti com 0 t 1 C 1i2i w Escrevendo 1i na sua forma polar temos 1i 12 12 2 e θ arctg1 π4 1i 2 cosπ4 i senπ4 Agora em termos de exponencial ez 1i sendo z x i y temos ez ex cosy i seny daí ex 2 cosy cosπ4 seny senπ4 x ln2 y π4 Com isso temos que w eln2 π4 i 2i notando que ln2 π4 i2i 2 ln2 π4 i iπ2 ln2 w e2 ln2 π4 i iπ2 ln2 eln22 π4 cosπ2 ln2 i senπ2 ln2 2 eπ4 senln2 i cosln2 Portanto Rew 2 eπ4 senln2 Imw 2 eπ4 cosln2 Questão 2 A fz iz8 temos que fz i 8 z 81 8 i z9 Logo f é analítica para todo z ℂ 0 B fz 1 1z temos que fz 1 1 1z1 1 1 1z2 Logo f é analítica para todo z ℂ 1 C fz 1 z3 i2 temos que fz 2 3 z2 z3 i2 1 6 z2 z3 i3 Logo f é analítica para todo z ℂ z ℂ z3 i Como e3x cos3y i sen3y 1 cos3π4 i sen3π4 x 0 e y π4 2 k π 3 com k 012 Logo f é analítica para todo z ℂ π4 i π4 2π3 i π4 4π3 i Questão 3 A C ez2 dz onde C é dado por 8πi até 83πi Definindo o segmento γt γt 1t8πi t83πi 1t8 1tπi t8 t3πi 8 πi πi t 3πi t 8 πi 14t com 0 t 1 Daí segue que γt 0 4πi 4πi Além disso segue que ez2 ex2 y2 i ex2 cosy2 i ex2 seny2 Portanto C ez2 dz 01 eγt2 γt dt 01 e4 cosπ2 14t i e4 senπ2 14t 4πi dt 4πi e4 01 cosπ2 14t i senπ2 14t dt 4πi e4 senπ2 14t2π i cosπ2 14t2π 01 2 i e4 senπ2 14t i cosπ2 14t01 2 e4 cosπ2 14t i senπ2 14t01 2 e4 cos3π2 cosπ2 i sen3π2 i senπ2 2 e4 i i 0 B C Rez dz onde C é dado por γt t 2ti com 0 t 1 temos que γt 1 2i e dado z x iy temse Rez x então C Rez dz 01 Reγt γt dt 01 t 1 2i dt 1 2i 01 t dt 1 2i t2 201 1 2i 12 12 i