Convergencia de Series - Testes e Criterios Resolvidos

Exemplo Para quais valores de se a série A é convergente n 1 Aplicaremos o Ceste da Razão para a 3 im b n 1 ka31 N Segue do Ceste da Razão que a série é absolutamente convergente quando a311 e é divergente quando 12371 Portanto a série converge quando 4 e diverge quando as a ou 4 Como o teste é inconclusivo para 131 1 então analisa remos os casos a 2 e s 4 separadamente No caso em que se 2 temos 115 que é convergente critério da Série alternada n 1 1 No caso em que se 4 temos nen que é divergente Isérie harmônica Concluímos que para 24 a série dada é convergente Corema Seja a série de potências anlased Existem apenas três possi n 0 bilidades i A série converge apenas para a so ii A série comerge para todo se real iii Existe um R O tal que a série converge absolutamente para todo a no intervaloaoR GotR e diverge para todo a com 1220 R Nos extremos a série poderá convergir ou não R é conhecido como Raio de Convergência Nos exemplos anteriores R 0 e R 1 respecti vamente v Corema Seja a série de potências an aaa com raio de con n 0 vergência R RO ou R o v Entãoa função dada por fx anload é contínua em n 0 atoR Go R Crema Seja a série de potências an aaa com raio de con n 0 vergência R RO ou R o v Seja f dada por fx anlaad Então para todo e aoR 20R n 0 t to tan 2002 do fa das f O n 00 INTEGRAÇÃO TERMO A TERMO v Corema Seja a série de potências an aaa com raio de con n 0 vergência R RO ou R o v Seja F dada por fx an aad Então para todo te GoR 20R n 0 fa v nanal20 DERIVAÇÃO TERMO A TERMO n 1 Para as1 a Série o é uma série geométrica que converge n 0 para 1 1 al Em outras palavras 1 2 2 a Logo para Is1 temos P 1 au 2 das P do 1 2 al 2 2 k In126 23 an K Juke laok1 n 1 N Para a 0 decorre que K 0 a O raio de convergência é o mesmo que da Série original R 1 O raio de convergência é o mesmo que da série original R 1 Quando colocamos as 1 obtemos 1 m2 n 1 han A Série I converge on diverge no h Para responder a esta pergunta usaremos o critério da Razão lim An Sim 1nt Tim n 01 no A N n 1 W n n1 O resultado acima nos permite concluir baseado no critério que a série dada converge Uma indagação comum é Para qual valor a série converge Para respondermos esta pergunta utilizaremos a série de Taylor Seja fuma função que pode ar representada por série de potências fx ao acx20 asa ad askco lavaoR No caso em que s aso obtemos flad ao De acordo com o Corema anterior podemos derivar termo a termo fx as 2a220 3asuso ISHo R No caso em que alalo obtemos flald as Fazendo a derivação termo a termo e considerando o caso em que au so obtemos fad Gara Repetindo o processo obtemos fad Gara Repetindo o processo obtemos f lavo 3 2 as 31 as Logo an f n f lavo 3 2 as 31 as Logo an f n Corema Se f tiver uma expansão em série de potências em No isto é se flae anlatsed lavand R n 0 então ela deve ser da seguinte forma flal flatd flad lauad fbolalsofb 2 3 A série acima é chamada série de Caylor da função femolo No caso especial aloo a série de Caylor tornase flal flo float f f a 3 Es caso surge com frequência e De foi dado o nonse de série de Maclaurin Exemplo Encontre a série de Maclaurin da Função fa e e seu raio de convergência Se flae então C e para todon Mais aindaf0 1 para todon A série de Maclaurin será fa 1 m x 2 sin 1 2 3 n 0 n Encontraremos o raio de convergência da série Para 270 aplicaremos o teste da Razão lim An Ima 0 I n An It to Ht1 A série é convergente para todoar logo R s A conclusão é que aa sin A n 0 n Em particular