Lista de Exercícios Resolvidos sobre Sequências Numéricas e Limites

1ª Questão Se x1 2 e xn1 2 xn n 1 2 prove que xn converge e que xn 2 para n 1 2 3 2ª Questão Prove os seguintes limites a Se p 0 então limn ⁿp 1 b limn ⁿn 1 c Se p 0 e α 0 é real então limn nαλ1pⁿ 0 d Se x 1 então limn xⁿ 0 e Se a ℝ então limn aⁿn 0 3ª Questão Provar que a sequência xn tal que xn 1 12 13 1n1 1n tem limite a 12 1 4ª Questão Sendo a 0 provar que a seguinte sequência xn é convergente e calcular lim xn a a a a a a 5ª Questão Seja xn uma sequência de Cauchy de números reais Demonstrar a que Xp xn n p admite um ínfimo ap e um supremo bp b que as sequências appℕ e bppℕ são monótonas e convergentes c que limp ap limp bp a e além disso limn xn a 6ª Questão Suponhamos que as subsequências x2n x2n1 e x3n da sequência xn sejam convergentes Demonstrar a que as subsequências x2n x2n1 e x3n tem o mesmo limite b que a sequência xn converge 7ª Questão Seja xn uma sequência Assumindo que xn uma subsequência de xn xn é uma subsequência de xn xnp1 é uma subsequência de xnp demonstrar que a sequência xnn é uma subsequência de xn