Derivadas de Funções Reais de Uma Variável Real

Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Analise Real Matematica 2022 Marcos Roberto Teixeira Primo Universidade Estadual de Maringa Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Aula 15 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Teorema do Valor Medio 3 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Neste capıtulo vamos obter o conceito de derivada de funcoes reais de uma variavel real estudar suas principais propriedades e algumas de suas principais aplicacoes 34 Teorema do Valor Medio Nesta secao vamos mostrar um teorema que em alguns casos nos ajudara a encontrar pontos crıticos de funcoes derivaveis em intervalos abertos a b R Tambem com a ajuda deste teorema vamos mostrar um teorema que e um dos principais teoremas deste curso e nos ajudara a estudar o crescimento e decrescimento de funcoes derivaveis em intervalos abertos a b R Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Teorema do Valor Medio Recordemos o Teorema 151 Teorema do Valor Intermediario Seja f a b R R uma funcao contınua no intervalo fechado e limitado a b R tal que f a f b Entao para todo d R tal que f a d f b existe c a b tal que f c d Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Teorema do Valor Medio Vale um equivalente do Teorema do Valor Intermediario para derivadas mesmo quando esta for descontınua Teorema 152 Teorema de Darboux Sejam f a b R R uma funcao derivavel no intervalo fechado e limitado a b R e d a b Se f a d f b Entao existe c a b tal que f c d Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Teorema do Valor Medio Demonstracao Divideremos a demonstracao em dois casos 1o Caso Suponhamos neste caso que d 0 Entao temos que f a 0 f b Observemos que nao podemos aplicar o teorema do valor intermediario para a funcao f pois nao sabemos se ela e contınua no intervalo a b Mas como f e contınua no intervalo compacto a b R entao o teorema de Weierstrass implica que existe c a b tal que f x f x para todo x a b Temos que f a 0 logo existe δ1 0 tal que para a y a δ1 temos f y f a mostrando que c a f b 0 logo existe δ2 0 tal que para b δ2 z b temos f z f b mostrando que c b Assim obtemos que c a b e um ponto de mınimo local para a funcao f que e uma funcao derivavel em todo o intervaloa b Portanto f c 0 e o teorema esta mostrado para esse caso Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Teorema do Valor Medio 2o Caso Suponhamos agora que d 0 e definamos g a b R R por gx f x dx Temos que g e derivavel em a b g a f a d g b f b d g a 0 g b pois f a d f b e portanto f a d 0 f b d Assim aplicando o primeiro caso para a funcao g obtemos que existe c a b tal que 0 g c f c d ou seja f c d completando a demonstracao do teorema Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Nao existe funao derivavel f 11 C R R tal que 1 ara x 10 fx Pp 1 para x 01 ou 1 ara x 10 fx Pp 1 para x 01 De fato Se existisse tal fundo o teorema de Darboux implicaria que existiria c 11 tal que fc 0 o que claramente nao acontece O Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Teorema do Valor Medio Teorema 154 Teorema de Rolle Seja f a b R R uma funcao tal que i f e contınua em a b ii f e derivavel em a b iii f a f b Entao existe c a b tal que f c 0 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Teorema do Valor Medio Geometriacamente temos que y x f a f b b a f c c 6 Figure f c 0 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Teorema do Valor Medio Demonstracao Como f e contınua no intervalo compacto a b R entao o teorema de Weierstrass implica que existe c1 c2 a b tal que m f c1 f x f c2 M para todo x a b Temos se m f c1 f c2 M entao f x f a para todo x a b e portanto f e constante em a b ou seja f x 0 para todo x a b se m f c1 f c2 M entao se c1 a temos que c2 b pois por hipotese f a f b e portanto c2 a b com f c2 0 se c2 a temos que c1 b pois por hipotese f a f b e portanto c1 a b com f c1 0 Em qualquer um dos caso acima temos que existe c a b tal que f c 0 provando o teorema Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Teorema do Valor Medio Exemplo 155 Vamos utilizar o Teorema de Rolle para mostramos que a equacao x3 2x 1 0 151 possui exatamente um raız real Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Teorema do Valor Medio De fato Para fazermos isso observemos primeiro que se definirmos f R R por f x x3 2x 1 temos f x 3x2 2 para todo x R Logo concluımos que 1 f e contınua em R 2 f e derivavel em R 3 f satisfaz as hipoteses do Teorema de Rolle para qualquer intervalo fechado a b R Ainda mais f 1 13 21 1 2 0 f 1 12 21 1 4 0 Logo o Teoorema do Valor Intermediario implica que existe a 1 1 R tal que f a 0 isto e a 1 1 e uma solucao da equacao 151 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Teorema do Valor Medio Suponhamos agora que exista uma outra solucao b a da equacao 151 isto e f a 0 f b Como f e contınua e derivavel em todo R entao f e contınua em a b e derivavel em a b Assim o Teorema de Rolle implica que existe c a b tal que f c 0 isto e 3c2 2 0 ou seja c2 2 3 o que e um absurdo Logo a equacao 151 possui apenas uma unica raız real Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Teorema do Valor Medio Teorema 156 Teorema do Valor Medio Seja f a b R R uma funcao tal que i f e contınua em a b ii f e derivavel em a b Entao existe c a b tal que f c f b f a b a Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Teorema do Valor Medio Demonstracao Vamos definir uma funcao auxiliar F a b R por Fx f x f b f a b a x a f a x a b Temos que F e contınua em a b F e derivavel em a b e F x f x f b f a b a para x a e x b temos que Fa f a f b f a b a a a f a 0 e Fb f b f b f a b a b a f a 0 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Teorema do Valor Medio Aplicando o Teorema de Rolle para F temos que existe c a b tal que F c 0 isto e 0 F c f c f b f a b a ou ainda f c f b f a b a completando a prova deste teorema Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Teorema do Valor Medio Corolario 157 Seja f a b R R uma funcao tal que i f e contınua em a b ii f e derivavel em a b iii f x 0 para todo x a b Entao f e constante isto e existe d R tal que f x d para todo x a b Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Teorema do Valor Medio Demonstracao Basta observar que para todo x1 x2 a b com x1 x2 temos que f e contınua em x1 x2 f e derivavel em x1 x2 Logo o teorema d valor medio implica que existe c x1 x2 tal que f x1 f x2 f cx2 x1 0 ou seja f x1 f x2 para todo x1 x2 a b com x1 x2 Logo f x f a para todo x a b de onde segue a demonstracao do corolario Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Exemplo 158 Considerando f 1 2 U 34 C R definida por 1 para x 12 f es 2 para x 34 Entao fx 0 para todo x 12 U8 4 e f nao é constante Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Teorema do Valor Medio Corolario 159 Seja f a b R R uma funcao derivavel 1 se f x 0 f x 0 para todo x a b entao f e nao decrescente crescnte 2 se f x 0 f x 0 para todo x a b entao f e nao crescente decrescnte Demonstracao Basta observar que para todo x1 x2 a b com x1 x2 temos que f e contınua em x1 x2 f e derivavel em x1 x2 Logo o teorema d valor medio implica que existe y x1 x2 tal que f x1 f x2 f yx2 x1 de onde segue a demonstracao do corolario Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Teorema do Valor Medio Corolario 1510 Sejam f g a b R R duas funcoes tais que i f g saoe contınuas em a b ii f g sao derivavel em a b iii f x g x para todo x a b Entao existe c R tal que f x gx c para todo x a b Demonstracao Basta aplicar o Teorema do Valor Medio para a funcao h a b R R definida por hx f x gx para todo x a b Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Teorema do Valor Medio Corolario 1511 Seja f a b R R uma funcao derivavel em a b Se existir L R tal que f x L para todo x a b Entao f y f z Ly z para quaisquer y z a b isto e f e lipschitziana com constante L 0 Demonstracao Para quaisquer y z a b temos que f e contınua em y z f e derivavel em y z Logo o teorema d valor medio implica que existe x y z tal que f y f z f xy z f xy z Ly z de onde segue a demonstracao do corolario Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022