Derivadas de Funções Reais de Uma Variável Real - Análise Real II

Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Analise Real Matematica 2022 Marcos Roberto Teixeira Primo Universidade Estadual de Maringa Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Aula 12 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos 3 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Neste capıtulo vamos obter o conceito de derivada de funcoes reais de uma variavel real estudar suas principais propriedades e algumas de suas principais aplicacoes 31 Definicoes e Exemplos Nesta secao vamos introduzir o conceito de derivada de funcoes reais de uma variavel real usando retas tangentes ao grafico dessas funcoes em um determinado ponto Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos Seja f Df R R uma funcao definida por y f x Entao Gf x f x R2 x Df R2 e o grafico de f e se Px1 f x1 e um ponto do grafico de f entao Figure Retas Secantes e Reta Tangente em um Ponto do Grafico de uma Funcao estamos interessados em encontrar a equacao da reta r que e tangente ao grafico de f no ponto Px1 f x1 a figura acima mostra esta situacao Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos Como Px1 f x1 r e a equacao da reta r e dada por y mx n onde m e o coeficiente de inclinacao da reta r precisamos entao encontrar a tangente do angulo α pois m tg α como mostra a figura abaixo Figure Reta Tangente e Reta Secante ao Grafico de uma Funcao Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos Ao observarmos a figura acima temos que tg α2 f x2 f x1 x2 x1 e de forma geral tg αx f x f x1 x x1 Assim tg α lim xx 1 f x f x1 x x1 Definicao 121 A reta tangente ao grafico de uma funcao f Df R definida por y f x em um ponto Pa f a Gf e a reta que passa pelo ponto P e tem coeficiente de inclinacao dado por m tg α lim xa f x f a x a desde que o limite acima exista Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos Exemplo 122 Vamos encontrar a equacao da reta tangente a parabola y x2 1 no ponto 1 0 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos De fato Temos a 1 f a f 1 12 1 0 Assim P1 0 deve ser um ponto da reta e sua inclinacao m e dada por m lim x1 f x f 1 x 1 lim x1 x2 1 0 x 1 lim x1 x2 1 x 1 lim x1 x 1x 1 x 1 lim x1 x 1 2 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos Portanto a equacao da reta tangente r e dada por r y mx n 2x n Como 1 0 deve ser um ponto da reta temos que 0 2 1 n n 2 ou seja a equacao da reta tangente e dada por r y 2x 2 completando o exemplo Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos Exemplo 123 Vamos encontrar a equacao da reta tangente ao grafico da funcao f 3 R definida por y x 3 no ponto Pa f a onde a 4 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos De fato Temos a 4 f a f 4 4 3 1 1 Assim P4 1 deve ser um ponto da reta e sua inclinacao m e dada por m lim x4 f x f 1 x 4 lim x4 x 3 4 x 4 lim x4 x 3 1 x 4 lim x4 x 3 1 x 4 x 3 1 x 3 1 lim x4 x 3 1 x 4x 3 1 lim x4 1 x 3 1 1 2 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos Portanto a equacao da reta tangente r e dada por r y mx n 1 2x n Como 4 1 deve ser um ponto da reta temos que 1 1 2 4 n n 1 ou seja a equacao da reta tangente e dada por r y 1 2x 1 completando o exemplo Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos A inclinacao da reta tangente ao grafico de uma funcao y f x em um ponto a f a de seu grafico e dada por m lim xa f x f a x a Para calcularmos o limite acima as vezes e conveniente introduzir a seguinte mudanca de variaveis h x x a x a h Assim x a x h 0 e a inclinacao da reta tangente fica m lim xa f x f a x a lim h0 f a h f a h lim x0 y x onde y f x f a Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos Exemplo 124 Vamos encontrar a equacao da reta tangente ao grafico da hiperbole y 3 x x 0 em a 3 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos De fato Temos a 3 f a f 3 3 3 1 Assim P3 1 deve ser um ponto da reta e sua inclinacao m e dada por m lim h0 f 3 h f 3 h lim h0 3 3h 1 h lim h0 33h 3h h lim h0 h 3h h lim h0 1 3 h 1 3 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos Portanto a equacao da reta tangente r e dada por r y mx n 1 x n Como 3 1 deve ser um ponto da reta temos que 1 1 3 3 n n 2 ou seja a equacao da reta tangente e dada por r y 1 3x 2 completando o exemplo Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos Exemplo 125 Vamos encontrar a inclinacao da reta tangente ao grafico da funcao y x3 x 0 em um ponto generico a f a x f x Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos De fato Temos a x f a f x x3 Assim Px x3 deve ser um ponto da reta e sua inclinacao mx e dada por mx lim h0 f x h f x h lim h0 x h3 x3 h lim h0 x3 3x2h 3xh2 h3 x3 h lim h0 3x2h 3xh2 h3 h lim h0 3x2 3xh h2 3x2 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos Portanto a inclinacao da reta tangente ao grafico da funcao y x3 em um ponto x x3 e dada por mx 3x2 Por exemplo se x 1 entao m1 3 12 3 se x 1 entao m1 3 12 3 se x 2 entao m2 3 22 12 se x 2 entao m2 3 22 12 completando o exemplo Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos A funcao mx 3x2 encontrada no exemplo anterior sera chamada de derivada da funcao y x3 e sera denotada por f x isto e f x x3 e f x lim h0 f x h f x h 3x2 Em um ponto x a temos f a a3 e f a lim h0 f a h f a h lim xa f x f a x a 3a2 Claramente em tudo o que falamos devemos ter sempre claro que temos um limite envolvido e esse limite pode nao existir Formalmente temos a proxima definiccao Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos Definicao 126 Sejam f Df R R uma funcao definida por y f x a I Df onde I e um intervalo aberto contendo a A derivada de f em a denotada por f a e definida por f a lim h0 f a h f a h lim xa f x f a x a lim x0 y x onde y f x f a quando o limite existe Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos Em algumas oportunidades sera util utilizarmos a seguinte notacao para a derivada em um ponto generico a x Df dy dx lim x0 y x lim x0 f x x f x x f x Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos Exemplo 127 Considere a funcao y f x x2 2x 1 1 Vamos calcular a derivada da funcao em um ponto x Df 2 Vamos calcular a dereivada da funcao no ponto a 1 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos De fato Para o item 1 temos dy dx f x lim h0 f x h f x h lim h0 x h2 2x h 1 x2 2x 1 h lim h0 x2 2xh h2 2x 2h 1 x2 2x 1 h lim h0 2xh h2 2h h lim h0 2x h 2 2x 2 Assim dy dx f x 2x 2 Para o item 2 temos f a f 12 1 2 4 finalizando o exemplo Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos A principal aplicacao do conceito de derivada e sua interpretacao geometrica de uma funcao f em um numero a Df e a seguinte A derivada f a de uma funcao y f x em um ponto a Df e a inclinacao da reta tangente ao grafico da funcao y f x no ponto Pa f a Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos Figure Interpretacao Geometrica da Derivada de uma Funcao y f x em um Ponto x1 f x1 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos Exemplo 128 Considere a funcao f R R definida por y f x x3 6x2 9x 1 1 Vamos encontrar a derivada de y f x 2 Vamos encontrar a equacao da reta tangente que passa pelo ponto a f a onde a 1 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos De fato Para o item 1 temos f x lim h0 f x h f x h lim h0 x h3 6x h2 9x h 1 x3 6x2 9x 1 h lim h0 3x2h 3xh2 h3 12xh 6h2 9h h lim h0 3x2 3xh h2 12x 6h 9 3x2 12x 9 Assim dy dx f x 3x2 12x 9 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos Para o item 2 temos a 1 f a f 1 13 612 9 1 1 1 6 9 1 15 a inclinacao da reta tangenteao grafico de y f x x3 6x2 9x 1 no ponto a 1 e m f 1 312 12 1 9 3 12 9 24 Assim a equacao da reta tangente e r y 24x n e como 1 15 deve ser um ponto da reta entao 15 24 n n 15 24 9 ou seja a equacao da reta tangente e r y 24x 9 completando o exemplo Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos Exemplo 129 Considere a funcao f R R definida por y f x 2 x 3 x x 3 1 Vamos encontrar a derivada de y f x 2 Vamos encontrar a equacao da reta tangente que passa pelo ponto 2 4 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos De fato Para o item 1 temos f x lim h0 f x h f x h lim h0 2xh 3xh 2x 3x h lim h0 2xh3x2x3xh 3xh3x h lim h0 2x3xh3x2x3xh2x 3xh3x h lim h0 h3 x 2 x h3 x h3 x lim h0 3 x 2 x 3 x h3 x lim h0 5 3 x h3 x 5 3 x2 Assim dy dx f x 5 3 x2 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos Para o item 2 temos a 2 f a f 2 4 a inclinacao da reta tangenteao grafico de y f x 2x 3x no ponto a 2 e m f 2 5 3 22 5 1 5 Assim a equacao da reta tangente e r y 5x n e como 2 4 deve ser um ponto da reta entao 4 5 2 n n 4 10 6 ou seja a equacao da reta tangente e r y 5x 6 completando o exemplo Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos Consideremos entao X um conjunto nao vazio f X R R uma funcao dada a X X um ponto de acumulacao de X isto e existe an X a tal que an a Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos Definicao 1210 Se o limite lim xa f x f a x a existir diremos que f e derivavel em a X X e neste caso denotaremos a derivada de f em a X X por f a lim xa f x f a x a Diremos que f e derivavel em X se f for derivavel em todos os pontos de X Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos Para as proximas observacoes seja f X R R uma funcao definida no subconjunto nao vazio X R 1 Seja a X X e consideremos a seguinte mudanca de variaveis h x a x a h Temos x a h 0 Logo f e derivavel em a se e somente se o limite f a lim h0 f a h f a h existir 2 Se todo ponto de X for um ponto de acumulacao de X e f for derivavel em X entao f X R R definida por f a lim xa f x f a x a e uma funcao bem definida pois o limite quando existe e unico Quando a funcao f for contınua diremos que f e uma funcao de classe C1 em X e denotaremos por f C1X Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos 3 Se a X X e um ponto de acumulacao a direita de X e o limite lim xa f x f a x a existir diremos que f e derivavel a direita em a X X e neste caso denotaremos a derivada a direita de f em a por f a lim xa f x f a x a 4 Se a X X e um ponto de acumulacao a esquerda de X e o limite lim xa f x f a x a existir diremos que f e derivavel a esquerda em a X X e neste caso denotaremos a derivada a esquerda de f em a por f a lim xa f x f a x a Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos Proposicao 1211 Sejam f X R R uma funcao definida no subconjunto nao vazio X R e a X X X X Entao f e derivavel em a X se e somente se f e derivavel a direita e a esquerda em a e lim xa f x f a x a lim xa f x f a x a lim xa f x f a x a isto e f a f a f a Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos Teorema 1212 Sejam f X R R uma funcao definida no subconjunto nao vazio X R e a X X Entao f e derivavel em a X se e somente se existir C R tal que f a h f a Ch rh com lim h0 rh h 0 Nesse caso f a C Observemos que neste caso T R R definida por Th f ah Ch e uma transformacao linear de R em R Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos Corolario 1213 Sejam f X R R uma funcao definida no subconjunto nao vazio X R e a X X Se f e derivavel em a X entao f e contınua em a X A recıproca do corolario acima nao e valida como mostra o proximo exemplo Exemplo 1214 Cosideremos f R R definida por f x x Entao 1 f e contınua em R 2 f e derivavel em R 0 3 f nao e derivavel em a 0 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos Vamos agora calcular a derivada de algumas funcoes Exemplo 1215 Consideremos f R R 1 Se f x c para todo x R onde c R e uma constante real qualquer vamos mostrar que f a 0 para todo a R 2 Se f x x para todo x R vamos mostrar que f a 1 para todo a R 3 Se f x x3 para todo x R vamos mostrar que f a 3a2 para todo a R 4 Se f x xn para todo x R onde n N e um numero natural dado vamos mostrar que f a nxn1 para todo a R Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Exercicio 1216 Consideremos gi go RR Se 1 x xsen sex 0 1 8 0 sex 0 vamos mostrar que gi nao é derivavel em a 0 Se 5 mC xsen sex 0 2 0 sex 0 vamos mostrar que g é derivavel em a 0 e que g30 0 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos Exemplo 1217 Consideremos h1 h2 R R 1 Se h1x sen x para todo x R vamos mostrar que h 1a cosa para todo a R 2 Se h2x cosx para todo x R vamos mostrar que h 2a sen a para todo a R Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos De fato Observemos inicialmente que lim h0 sen h h 1 lim h0 cos h 1 h 0 pois lim h0 cos h 1 h lim h0 cos h 1 h cos h 1 cos h 1 lim h0 cos2 h 1 hcos h 1 lim h0 sen 2h hcos h 1 lim h0 sen h cos h 1 sen h h sen 0 cos 0 1 1 0 1 1 0 sen x y sen x cos y sen y cos x cosx y cos x cos y sen xsen y Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos Assim para todo a R temos que h 1a lim h0 h1a h h1x h lim h0 sen a h sen a h lim h0 sen a cos h sen h cos a sen a h lim h0sen acos h 1 h sen h h cos a sen a 0 1 cos a cos a Portanto h 1a cos a para todo a R Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Definicoes e Exemplos Tambem para todo R temos que h 2a lim h0 h2a h h2a h lim h0 cosa h cos a h lim h0 cos a cos h sen asen h cos a h lim h0cos acos h 1 h sen h h sen a cos a 0 1 sen a sen a Portanto h 2a sen a para todo a R completando o exemplo Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022