Derivadas e Problemas de Otimização

Uma corda de violão vibrante originalmente em repouso ao longo do eixo dos x mostrada na figura Seja x a distância em metros a partir da extremidade esquerda da corda Ao tempo de t segundos o ponto x foi deslocado y fx t metros verticalmente a partir de sua posição de repouso onde y fx t 0003 senπx sen2765 t Calcule as derivadas parciais de y Ache a derivada direcional de z x²y no ponto 12 na direção que faz um ângulo de 5π4 com o eixo x Suponha que fx y z x² y⁴ x² z² dá a concentração de sal num fluído no ponto xyz e que você está no ponto 1 1 1 Em que direção você deve ir se você quer que a concentração cresça mais depressa Justifique sua resposta mostrando todos os cálculos para o desenvolvimento da questão Projete uma caixa retangular de leite com largura w comprimento l e altura h que contenha 512 cm³ de leite Os lados da caixa custam 001cm² e o topo e o fundo custam 002cm² Ache as dimensões da caixa que minimizem o custo total do material usado Uma companhia aérea internacional tem um regulamento pelo qual cada passageiro pode carregar uma valise cuja soma da largura comprimento e altura sejam menores ou iguais a 135 cm Ache as dimensões da valise de volume máximo que um passageiro pode carregar sob este regulamento Encontre o ponto de máximo ou de mínimo de fxy 2x³ y² 8x 6y 20 Identifique se o ponto encontrado é de máximo ou mínimo pelo teste da segunda derivada Uma equação da superfície de uma montanha é z 900 3xy onde a distância é medida em metros o eixo x aponta na direção oeste e o eixo y na direção sul Um alpinista está no ponto correspondente a 50 4 300 a Qual a direção de subida mais íngreme b Quando se move na direção norte o alpinista está descendo ou subindo a montanha 1 dydx 0003 sin2765 t ddx sinπ x ddx π x 0003 sin2765 t cos π x π dydx 0003 π sin 2765 t cos π x dydt 0003 sin π x ddt sin 2765 t ddt 2765 t 0003 sin π x cos 2765 t 2765 dydt 8295 sin π x cos 2765 t 2 z x²y P 1 2 z dzdx dzdy 2xy x² z 1 2 2 1 2 1² 4 1 u cos 5 π4 sen 5 π4 22 22 Derivada direcional Du z P 4 1 22 22 4 22 22 5 22 52 3 fxyz x² y⁴ x² z² fx 2 x t 0 2 x z² 2 x 2 x z² fy 0 4 y³ 0 4 y³ fz 0 0 2 x² z 2 x² z f xyz 2 x 2 x z² 4 y³ 2 x² z f P f 1 1 1 2 2 4 2 4 4 2 A direção de maior crescimento é dada pelo vetor gradiente neste ponto 1 1 1 f P 4 4 2 Versor f P 4 4 2 4² 4² 2² f P 46 46 26 23 23 13 4 Custo dos lados CL 001 2lh 2wh CL 002 lh wh 002 l w h Custo topo e fundo CTF 2lw 002 004lw Custo total CT CL CTF 002 l w h 004lw CT 002 l w h 004lw Volume V lwh 512 Isolando h h 512 lw CT 002 l w 512 lw 004lw CT 1024 w 1024 l 004lw Derivadas parciais do custo total CTw 1024 w2 0 004l 1024 w2 004l CTl 0 1024 l2 004w 1024 l2 004w CTw 0 004l 1024 w2 l 256 w2 CTl 0 004w 1024 l2 w 256 l2 l 256 w2 256 256 l22 256 l4 2562 l 25613 w2 256 l 256 25613 25623 w 25613 h 512 lw 512 25613 25613 512 25623 h 2 256 25623 2 25613 l w 25613 h 2 25613 5 l w h 135 l w h cubo V lwh l3 3l 135 l 135 3 45 V 45 cm3 91125 cm3 6 fxy 2x3 y2 8x 6y 20 fx 6x2 0 8 0 0 6x2 8 fy 0 2y 0 6 0 2y 6 fxy 6x2 8 2y 6 00 6x2 8 x2 86 x 23 2y 6 y 3 Os pontos críticos são P1 23 3 e P2 23 3 Hessiano Hxy fxx fxy fxx fyy 12x 0 0 2 24x HP1 2423 0 P1 é um ponto de sela HP2 2423 0 fxxP2 1223 0 P2 é um ponto de mínimo z 900 3xy p 50 4 300 z zx zy 3y 3x z504 34 350 12150 Direção mais íngreme é dada por ẑP 12 150122 1502 2629 25629 7b Norte aponta na direção y negativa zy 3x x50 150 0 o alpinista está descendo 1 yx 0003 sin2765t ddxsinπx ddxπx 0003 sin2765t cosπx π yx 0003π sin2765t cosπx yt 0003 sinπx ddtsin2765t ddt2765t 0003 sinπx cos2765t 2765 yt 8295 sinπx cos2765t 2 z x2y p 12 z zx zy 2xy x2 z12 212 12 41 ū cos5π4 sin5π4 22 22 Derivada direcional DūzP 41 22 22 422 22 522 52 3 fxyz x2 y4 x2z2 fx 2x 0 2xz2 2x 2xz2 fy 0 4y3 0 4y3 fz 0 0 2x2z 2x2z fxyz 2x 2xz2 4y3 2x2z fP f111 22 4 2 442 A direção de maior crescimento é dada pelo vetor gradiente neste ponto 1 1 1 fP 4 4 2 vetor fP 44242 42 22 fP 46 46 26 23 23 13 4 Custo dos lados CL 001 2lh 2wh CL 002 2lh wh 002 lwh Custo topo e fundo CTF 2lw 002 004lw Custo total CT CL CTF 002 lwh 004lw CT 002 lwh 004lw Volume V lwh 512 Isolando h h 512 lw CT 002 lw 512lw 004lw CT 1024w 1024l 004lw Derivadas parciais do custo total CTw 1024w2 0 004l 1024w2 004l CTl 0 1024l2 004w 1024l2 004w CTw 0 004l 1024w2 l 256w2 CTl 0 004w 1024l2 w 256l2 l 256w2 256l4 256l42562 l 25613 w2 256l 25625613 25623 W 25613 h 512lw 5122561325613 51225623 h 225625623 225613 l w 25613 h 2 25613 5 l w h 135 l w h cubo V lwh l3 3l 135 l 1353 45 V 45 cm3 91125 cm3 6 fxy 2x3 y2 8x 6y 20 fx 6x2 0 8 0 0 6x2 8 fy 0 2y 0 6 0 2y 6 fxy 6x2 8 2y 6 0 0 6x2 8 x2 86 x 23 2y 6 y 3 Os pontos críticos são P1 23 3 e P2 23 3 Hessiano Hxy fxx fxy 12x 0 24x frx fyy 0 2 HP1 2423 0 P1 é um ponto de sela HP2 2423 0 P2 é um ponto fxxP2 1223 0 de mínimo 7 z 900 3xy p 50 4 300 z zx zy 3y 3x z504 34 350 12 150 Direção mais íngreme é dada por zP 12 150122 1502 2629 25629 7 b Norte aponta na direção y negativa zy 3xx50 150 0 o alpinista está descendo