Exercícios de Cálculo 3

1 Determine o domínio da função vetorial a rt 3t 1 t² b r cosπ4 t i ln3 t j t 1 k 2 Determine ddt r para as funções vetoriais abaixo a rt 4 i cos 2t j b rt arctan t i t cos t j 2t k 3 Dadas as funções determine o vetor rt₀ a rt t³ t² t₀ 1 no R² b rt 2 sen t i j 2 cos t k t₀ π2 no R³ c rt cos t sen t t t₀ π4 no R³ 4 Dados os pontos P135 Q402 e R151 determine a A equação vetorial para o segmento PR b A equação vetorial para o segmento QM sendo M o ponto médio entre P e R 5 Considere a estrutura metálica projetada tendo como base um cubo de lado 1m Determine a função vetorial para cada caminho do cordão de solda definido por AB BC CD sabendo que a velocidade fixada é de 30cmmin Defina o domínio para cada caminho Cálculo 3 1 a O domínio de r deve respeitar as restrições das duas coordenadas 3t 1 e t² Temos que 3t 1 0 3t 1 t 13 pois não existe raiz real de números negativos t² não possui restrições Portanto Domr t R t 13 b Devemos respeitar todas as restrições cosπ4 t não possui restrições O logaritmando de ln3 t deve ser positivo ou seja 3 t 0 t 3 t 3 Não existe raiz real de número negativo logo t 1 0 t 1 Assim o domínio será a interseção dos intervalos isto é Domr t R 1 t 3 2 Devemos derivar cada coordenada separadamente a ddt 4 i cos 2t j ddt 4 i ddt cos2t j 0 i 2 1 sen 2t j 2 sen 2t j b ddt arctan t i t cos t j 2t k ddt arctan t i ddt t cos t j ddt 2t k 11 t² i cos t tsen t j 2 1 2t k 11 t² i t sen t cos t j 1t k 3 Em cada item vamos calcular a derivada de rt e em seguida avaliála em t₀ a rt ddt t³ t² ddt t³ ddt t² 3t² 2t Portanto rt₀ r1 3 1² 2 1 3 2 b ddt 2 sen t i j 2 cos t k ddt 2 sen t i ddt 1 j ddt 2 cos t k 2 cos t i 0 j 2 sen t k 2 cos t i 2 sen t k Portanto rt₀ rπ2 2 cosπ2 i 2 senπ2 k 0 i 2 k c rt ddt cos t sen t t ddt cos t ddt sen t ddt t sen t cos t 1 Portanto rt₀ rπ4 sen π4 cos π4 1 22 22 1 4 a A equação vetorial do segmento PR é dada por rt P t PQ com 0 t 1 Assim rt 1 3 5 1 1 5 3 1 5 t 1 2t 3 8t 5 4t com 0 t 1 b Para encontrar o ponto médio de PR basta calcular r12 1 2 12 3 8 12 5 4 12 0 1 3 Assim a equação de QM será St Q QM t 402 04 10 3 2 t 44t t 25t com 0 t 1 5 Considere A 50500 B 50 50 20 C 60 0 100 e D 0 60 100 Assim temos as seguintes funções vetoriais vAB A AB t 50 50 0 5050 5050 20 0 t 50 50 20t vBC B BC t 50 50 20 60 50 0 50 100 20 t 5010t 5050t 2080t vCD C CD t 60 0 100 0 60 60 0 100 100 t 6060t 60t 100 Sabemos que a velocidade é 30 cmmin e precisamos determinar o tempo necessário para percorrer cada segmento Para isso vamos determinar os comprimentos dAB 5050² 5050² 200² 20² 20 cm dBC 6050² 050² 10020² 100 2500 6400 9000 9487 cm dCD 060² 600² 100100² 3600 3600 7200 8485 cm Portanto temos AB tAB 2030 067 min DomvAB t R 0 t 067 BC tBC 948730 316 min DomvBC t R 0 t 316 CD tCD 848530 283 min DomvCD t R 0 t 283