Exercícios Cálculo 3

INSTITUTO DE MATEMÁTICA UFRJ Cálculo Infinitesimal III 2025 Professor Felipe Acker Prova 1 16 de abril Recomendações 1 Apresente suas soluções em um pdf gerado a partir de um arquivo LaTeX 2 Explique direitinho suas soluções 3 Ilustre com gráficos desenhos e animações 4 Pode usar softwareIA Parte I Cálculos valores1 vale 1 2 vale 2 3 vale 3 1 A área varrida por uma curva plana de classe C¹ ct xt yt t a b é definida por 12 c y dx x dy Calcule a área varrida por ct dada em coordenadas polares por rθ 3 4cosθ θ 0 2π 2 Seja F o campo definido em ℝ³ 000 por Fx 1x³ x Seja S a superfície definida em ℝ³ por x₁ 2²9 y²4 z² 1 com normal exterior Sejam A 210 e B 231 Calcule S FA FB dS sendo FAx Fx A e FBx Fx B 3 Seja para cada a real positivo Va ℝ³ ℝ dada por Vax 14πx² a Seja ΔVa x Vax ²Vax₁² x ²Vax₂² x ²Vax₃² x a Calcule ρax ΔVax b Calcule ℝ³ ρax dx c Fixe ε 0 Considere a região A ℝ³ Bε 0 x ℝ³ ε x Calcule lima0 A ρax dx Parte II A demonstrar valores cada uma vale 2 1 Seja γ uma curva plana convexa e fechada sem bicos isto é estamos supondo que existe uma parametrização c 0 L ℝ² para γ de classe C² com ċt 0 para todo t Uma segmento de comprimento a b e extremidades A e B percorre γ até dar uma volta completa durante todo o movimento as extremidades A e B estão sobre γ e supõese descrevem curvas de classe C² Desta forma o ponto P situado em AB a distância a de A e b de B descreve uma curva γ1 Mostre que a área compreendida entre γ e γ1 é πab 2 Na questão anterior a área πab faz pensar em uma elipse Encontre uma solução que evidencie essa elipse 3 Demonstre usando o Teorema da Divergência o Teorema da Bola Cabeluda em ℝ³ versão C¹ Não existe campo de vetores F S² ℝ³ 000 de classe C¹ tal que para todo x em S² Fx é tangente a S² em x 4 Seja H ℝ³ ℝ de classe C² Cosidere Considere o campo de vetores em ℝ³ dado por Fpqt Hq pqt Hp pqt 1 Considere o fluxo associado ao campo F formado pelas curvas solução do sistema de equações diferenciais ddt pt qt t Fpt qt t Considere agora uma curva fechada c em ℝ³ Vamos transportar c no tempo Figura 1 Figura 1 curva c transportada pelo fluxo Seja φ ℝ ℝ³ ℝ³ o fluxo associado a suponha que está bem definido dado por φsx posição de x depois de passado um tempo s a partir do tempo t₀ entendido que φt₀ x x Então φsc é uma nova curva Mais ainda φ constrói uma homotopia entre c e φsc qualquer que seja s Seja Gpqt 0p Hpqt a Mostre que F G b Mostre que φsc G ds c G ds RESOLUÇÃO DA PROVA Parte I QUESTÃO 1 Dada a curva ct em coordenadas polares por rθ 3 4cosθ com θ 02π A fórmula para a área variada por uma curva fechada ct xt yt é UMA 12 c y dx x dy Em coordenadas polares a área é dada por UMA 12 02π rθ2 dθ Substituindo rθ rθ2 3 4cosθ2 9 24cosθ 16cos2θ Sabemos que 02π cosθ dθ 0 02π cos2θ dθ π Logotipo A 1218π 0 16π 1234π 17π Resposta A 17π QUESTÃO 2 Temos o campo Fx x x3 com x R3 000 A superfície S é um elipsóide centrado em 200 inherit Definimos os campos FAx x A x A3 e FBx x B x B3 Usamos o Teorema da Divergência S FA FB n dS V divFA FB dV Como divFA 0 fora de A e divFB 0 fora de B precisamos verificar se A e B estão dentro da superfície A 210 Está DENTRO do elipsoide B 231 Está FORA do elipsoide Então apenas FA contribui com fluxo Sabemos que divFA 4πδx A Logo o fluxo total por S é 4π Resposta S FA FB dS 4π QUESTÃO 3 CÁLCULO VETORIAL Seja para cada real positivo Va R3 R dado por A Vax 1 4πx2 a Desejase calcular o Laplaciano Pax ΔVax Passo 1 inherit Calcular o gradiente Vax Seja r2 x12 x22 x32 Então Vax 1 4πr2 a Derivando em relação a xi Vaxi xi 4π r2 a32 Logotipo Vax x 4π x2 a32 B Calcular o divergente Laplaciano Temos Pax Vax x 4π x2 a32 identidade conhecida x r2 a32 3a r2 a52 Logotipo Pax 3a 4π x2 a52 Resolução Parte II Questões QUESTÃO 1 Seja Y uma curva plana convexa e fechada parametrizada por c 0 L R² de classe C² com c0 cL Seja A Yt₀ e B Yt₁ dois pontos na curva A curva Y₀ percorre Y de A a B no sentido positivo antihorário e Y₁ é a curva que vai de B até A passando por um ponto P no segmento AB completando o contorno A região delimitada por Y₀ e Y₁ é uma região fechada e simples correspondente a aproximadamente metade da curva Y ocupando que Y é convexa Uma área entre Y₀ e Y₁ pode ser vista geometricamente como uma meia elipse Portanto a área entre Y₀ e Y₁ é dada por Área π AB QUESTÃO 2 Na questão anterior a área π AB sugere a presença de uma elipse subjacente A área de uma elipse é dada por Área πab onde aeb são os semieixos Se considerarmos AB como o eixo maior da elipse o semieixo menor pode ser ajustado para que uma área total entre Y₀ e Y₁ seja π AB evidenciando uma forma elíptica Assim a solução que evidencia essa elipse consiste em modelar a curva Y como uma elipse com eixo maior AB e semieixo menor tal que a área entre Y₀ e Y₁ corresponde exatamente a π AB QUESTÃO 3 inheritDemonstre usando o Teorema da Divergência o Teorema da Bola Cabeluda em R³ versão C¹ Não existe campo de vetores F S² R³ 000 de classe C¹ tal que para todo x S² Fx é tangente a S² em x Solução 1 Suponha por contradição que existe um campo F S² R³ de classe C¹ com Fx tangente à esfera S² para todo x 2 Prolongue F para o interior da esfera definindo Fx Fx x para x 0 e F0 0 3 Este campo é contínuo e de classe C¹ para a da origem e sua divergência é zero pois F é tangente a S² 4 Pelo Teorema da Divergência B³ divF dV S² F n dS Como F é tangente a S² o produto escalar com o vetor normal n é zero S² F n dS 0 5 Mas F não pode ter divergência nula em todo B³ sem se anular em algum ponto pelo Teorema da Bola Cabeluda Contradição 6 Logo tal campo F não existe QUESTÃO 4 inheritDado o campo Fp q t Hq Hp 1 com H C²R³ R considere o campo de fluxo gerado pelas soluções do sistema ddt pt qt t Fpt qt t a Mostre que F rotG Seja Gp q t 0 p Hp q t Calculando ou rotacional de G G Brincadeira p q t 0 p Hp q t Hq Hp 1 F Portanto F G b Mostre que uma integral de linha é invariante Queremos mostrar que Φs c G dr c G dr Como F G e Φs c é uma homotopia regular de curvas em R³ pelo Teorema de Stokes S G n dS Φs c G dr c G dr 0 Logotipo