Trabalho de Cálculo B

Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias DISCIPLINA DE CÁLCULO B TRABALHO EM GRUPO OU INDIVIDUAL Turmas M3 e T3 2 semestre de 2024 Data de entrega até 1 de março de 2025 Prof Marco Rodrigues INSTRUÇÕES E RECOMENDAÇÕES A utilização de qualquer ferramenta eg sites softwares matemáticos e gráficos inteligências artificiais aplicativos modelos experimentais etc é permitida e recomendada A apresentação de tabelas gráficos desenhos e outras figuras é importante O TRABALHO DE CADA GRUPO DEVE SER ENTREGUE EM UM ÚNICO ARQUIVO NO FORMATO PDF SOMENTE PELO EAULA PONTUAÇÃO DE CADA QUESTÃO Este trabalho vale 3 PONTOS na nota final da disciplina Cada questão vale 110 da nota do trabalho Clareza apresentação e organização fazem parte dos critérios de correção do trabalho PARTE 1 QUESTÕES SOBRE SÉRIES Sorteie ou escolha aleatoriamente 4 números de 2 até 9 Esses serão os valores respectivamente das constantes a b c e d utilizados nos próximos 4 exercícios Caso queira sorteálos use algum site como por exemplo httpssorteadorcombr O valor da constante a será igual ao primeiro número sorteado O valor da constante b será igual ao segundo número sorteado O valor da constante c será igual ao terceiro número sorteado O valor da constante d será igual ao quarto número sorteado Escreva quais números você sorteou Exemplo Se o resultado do seu sorteio for 7 2 9 e 5 então o valor de a nos próximos exercícios será igual à 7 o valor de b será 2 o de c será 9 e o de d será 5 QUESTÃO 1 Escolha 2 4 se for dupla 6 se for trio funções entre aquelas apresentadas abaixo Defina se essas séries são convergentes ou divergentes a 𝐛𝐤𝐚 𝐤𝐚 𝐤𝟎 b 𝐛𝐤 𝐤𝐚 𝐤𝟎 c 𝐚𝐤𝐜𝐛𝐤𝐝𝐜𝐤 𝐛𝐤𝐚𝐚𝐤𝐛𝐝𝐤𝒄 𝐤𝟎 d 𝐜𝐨𝐬𝟐𝐛𝐤𝐝𝐤 𝐞𝐤𝟏 𝐤𝟎 e 𝐤𝐚𝐛𝐤 𝐤𝐝𝟏 𝐤𝟎 f 𝟏𝐝𝐤𝐤𝐝 𝐤𝐝 𝐤𝟎 QUESTÃO 2 Escolha 2 4 se for dupla 6 se for trio funções entre aquelas apresentadas abaixo se existirem estabeleça os valores da variável x que fazem com que essas funções sejam convergentes Em outras palavras defina o intervalo de convergência das séries escolhidas a 𝒙𝐤𝐚 𝐤 𝐤𝟎 b 𝒙 𝐚 𝐛𝐤 𝐤𝟎 c 𝐬𝐞𝐧𝒙𝐜 𝐤 𝐤𝟎 d 𝟏𝐤 𝒙𝐤𝐝 𝐞𝐤 𝐤𝟎 e 𝒙𝐤 𝐥𝐧𝐤𝐝 𝐤𝟎 f 𝐜 𝒙 𝐤 𝐤𝟎 𝐛𝐤 QUESTÃO 3 Determine a série de Taylor em torno de 𝒙 𝒂 com 𝐛 termos de 2 4 se for dupla 6 se for trio funções quaisquer a sua escolha Apresente os cálculos QUESTÃO 4 Represente graficamente as funções e as séries da questão 3 recomenda se usar softwares ou sites Escreva uma análise dos resultados com foco nos erros de cada aproximação PARTE 2 QUESTÕES SOBRE VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA Realize o sorteio novamente Sorteie ou escolha aleatoriamente 4 novos números de 2 até 9 Esses serão os novos valores respectivamente das constantes a b c e d utilizados nos próximos 6 exercícios Escreva os novos valores de a b c e d QUESTÃO 5 Verifique se as retas s 𝒙𝐚 𝐝 𝐛𝒚 𝒛𝐚 𝐜 e a reta t que possui vetor direcional 𝒗 𝐝 𝐚 𝐛 e passa no ponto 𝐀𝐜 𝐝 𝐚 são reversas paralelas ortogonais ou perpendiculares Caso elas se interseccionem determine sua intersecção QUESTÃO 6 a Determine um plano que contenha os vetores 𝒗 𝐚 𝐛 𝐜 e 𝒖 𝐜 𝐚 𝐛 e passe no ponto 𝐀𝐜 𝐛 𝐚 Apresente o gráfico deste plano e determine sua intersecção com os planos coordenados plano 𝐱𝐎𝐲 plano 𝐱𝐎𝐳 e plano 𝐲𝐎𝐳 QUESTÃO 7 Apresente o gráfico no espaço cartesiano bidimensional de 2 4 se for dupla 6 se for trio das curvas dadas pelas equações a seguir faça em 2D ou se preferir considere que estão contidas no plano 𝒛 𝟎 a 𝑦 d2 b𝑥 c b a𝑥2 b𝑦 c𝑥 7d 0 c 𝑥c2 d2 𝑦b2 c2 1 d c𝑥2 d𝑦2 9d a𝑥 b𝑦 e 𝑥2 c2 𝑦b2 a 1 f 𝑥2 d𝑦2 b𝑦 c𝑥 8a 0 QUESTÃO 8 Ainda no espaço cartesiano bidimensional quanto as curvas que você desenhou na questão 7 a determine se elas se intersectam entre si b determine sua intersecção com os eixos x e y se existirem e c determine sua intersecção com uma reta com vetor direcional 𝒗 𝐚 𝐛 que passa na origem QUESTÃO 9 No espaço cartesiano tridimensional 3D faça a translação paralelamente ao eixo z de 1 2 se for dupla 3 se for trio das curvas da questão 7 Esse processo que é chamado extrusão formará uma superfície cilíndrica parabólica hiperbólica ou elíptica a apresente seu gráfico b determine se existir a intersecção dessa superfície com o plano 𝐚𝒙 𝐛𝒚 𝐜𝒛 𝐝 𝟎 QUESTÃO 10 Escolha 2 4 se for dupla 6 se for trio superfícies quádricas abaixo a apresente seu gráfico b determine se existir a interseção entre duas dessas quádricas independentemente do número de integrantes do grupo escolha somente duas para verificar a intersecção a 𝒙𝐚𝟐 𝐛𝟐 𝒚𝐝𝟐 𝐜𝟐 𝒛 𝐚 b 𝒙𝐚𝟐 𝐛𝟐 𝒚𝐛𝟐 𝐚𝟐 𝒛𝐜𝟐 𝐝𝟐 𝟏 c 𝒙𝐝𝟐 𝐜𝟐 𝒚𝐚𝟐 𝐝𝟐 𝒛𝐛𝟐 𝐚𝟐 𝟏 d 𝒙𝐛𝟐 𝐝𝟐 𝒚𝐚𝟐 𝐛𝟐 𝒛𝐜𝟐 𝐚𝟐 𝟏 e 𝒙𝐜𝟐 𝐚𝟐 𝒚𝐛𝟐 𝐜𝟐 𝒛 𝐝 f 𝒙𝐝𝟐 𝐚𝟐 𝒚𝐛𝟐 𝐛𝟐 𝒛 𝐛𝟐 BOM ESTUDO E UM EXCELENTE TRABALHO Pg 2 Intersecao entre os eixos da elipse Do eixo x z 12 x2 21 62 116 Do eixo y x 12 y2 4 22 422 6 Igualdade 12 y2 61 16 4 11 16 7 6 x 5 14 4 116 1 4 116 20 0 Nada se sobrepõe mais pois a nova da quadrada i 60 cados eves viegendados 4 Vf é Função 1 2u1 é é g x 3 Função 2 g x w x Função 3 g x eco x Função 4 g x 1x 3 O dM é Recuperado a série para K n é lωk B 2π 6n K 2π n x 116 Akve 2o67 dererel Áccua 1 x for x 116 Active diferer E ÜnJ É d e x é d r t à a 1x U Função 4 y é éree move r P Munni a IEI z É é e2 b Solução Σ0 1 k Σ0 1 k2 an Σ0 an q convergente para todo x ε R Σ0 an convergira igual o el que também converge Σ0 an que seja absoultamente converg que seja maior b1 a2 uma sequência q a igual converge ou não o série geométrica com razão r é convergente ou não também o série Σ an 6 n Σ0 convergir θ convergira 14 θ 12 Para x 2 não H 12 Para x 2 não H 12 Converge para todo x intervala entre el igual da aproveitamento lim sup sqrtn an xn x 2 x 2 convergente ja x 2 2x x 1 yea k 1 série converge de k2 x sendo que k é para x 2 k 1 k x a consequência para todos ε 0 1 k 1 para x 2 1 1 Então converge para isso Como um ponto converg e outra diverge A série original diverge b an bn d e for todo n maior que n an 1 kn convergente pois 1 k 1 sxx0 an epegado com sxx0 1 kn maior que convergente sxx0 an também convege k 1 como klaus é positivo os dois séries se converg iguais convergente P2 o medo o termo geral Panalizado Foquedo a taxa da ração an1 an k kn k kn x x0 x x0 k para k alguma é definida convergente como o limite é 0 1 a série converge absolutamente 3 Solução Necessário o α β k P1k α β ki k1 ixi Σ0 xi 1 1x abs x 1 1 1x2 Σ0 1 1x2 Σ0 1 1x2 1 1x2 P xi viu que é Σ0 Σ0 α1i β ki we que converge Séries Geométrica é 12 e 12 e1 c 2 1 convergente x t z o primeiro convergente Elipse x225 y236 1 C50 F 610 G0 60 Hipérbole x236y225 1 C60 F610 G0 50 Hipérbole a2 36 b2 25 c2 61 50 e 60 lo mnol RO 1 NÃO há interseção 610 e150 real vem nol RO NÃO há interseção Elipse x225 y236 1 50 e 60 Hipérbole x236 y225 1 610 e 150 IRreal vão mol RO não há interseção b Para o círculo realístico x2 y2 36 y 6 x Hipérbole 1 2 2 x4 y 2 8 x2 y2 9 Para o círculo hipotético x2 y2 36 y 6 x z 6 x4 4 Elipsex225 y2 36 1 C50 G0 6 Hipérbole x236 y225 1 C60 F 61 0 G0 5 Hipérbole x262 y252 1 x 5 ou x 5 x 5 50 x2 y252 1 50 e 150 vem nol RO não há interseção Elipse x225 y236 1 50 e 60 Hipérbole x236 y225 1 61 0 e 150 IRreal vão nol RO não há interseção Substituindo x 6 e y 2 36 44 36 16 8 não é 9 Elipse x225 y236 1 x 0 y 6 c Para o círculo hipotético b Para o círculo real vem nol RO não há interseção Substituindo 0 2 y2 1 x 2 5 x 8 680 y0 y 6x 23 e x 22 não basta 0 Elipse 25 2 y2 136 x2 Círculo 2 1 2 y2 4x 36 e x 8 y 6x 23 x 3 0y e 62 8 menos 1 3 4 6x y 22 y 0 4 6x00 6x y 4 0 y 8 vem nol RO não há interseção x 0 0 y 4 y 133 x 047 b 0 y e 0 091 certo x y 047 091 Parabola x2 2 6 sqrt 35 a x2 2 6 sqrt 35 b c Parabola x2 4 2 y 1 x y 2 1 c y 1 2 x2 4y 8 x2 4el 2 1 sqrt 6 2 1 sqrt 6 y x2 4 1 ab 42 8 soma raiz 8 soma raiz ab Raiz 48 soma raiz ab 8 a c Para o círculo c Parabola sem solução Substituindo 2 y2 y 1 2 1 a reivreto Substituindo a 1 raiz 2 y 1 2 1 8 y Substituindo 2 y2 y 1 2 1 Elipse x225 y236 1 arco seu cíclico arco seu cíclica em 1 substituido y 2 y 1² 75 36 y 2 15 Substituindo y2 4 y 8 0 x 12 9 0 2 2 y2 4 y 8 0 x 12 9 0 2 0 y 2 2 35 b Parabolo non raso ele 0 1 y sqrt 6 3 y1 0 4 hyperbole sem solução b x 6 y x 2 e 2x y 12 não basta para o elipse c1 x2 y2 5x 9 y x 12 6 2 Substituindo y 2x 12 y 2x 12 não basta para o elipse Círculo y2 5x 9 integral part x2 y2 37 a y x² y² 9 o ro x2 y2 9 x2 y2 9 y2 5x 9 integral part x2 y2 37 a y x2 y2 9 o ro x2 y2 9 Substiruir x 6 y 1 Luizando x 0 y 5 lo 5 0 5 lo 5 0 5 lo 5 0 5 lo 5 0 5 lo 5 Vide parte 2 V x1 y z 1 1 x 4 6 3 y3 z1 3 3 3 Supondo por t 2 O plano passa por P 232 Usando o vetor gradiente maturação N x I y j z k i 4 j hy 2 z k 1 2 y 2 t 2 0 7x 4 y 13 z 32 Plano V t 23 72 43 133 32 Campo de poise 7x 4 y 13 z 32 2 0 Campo de poise 2 t 0 0 72 t 0 0 Campo de poise 724 132 63 28 56 39 Campo de pote 7 4 13 32 8 Seletor do interior de a 74 7 5 143136 Ret a 0 de poiseger 40 9 3 Os vetores de u y 7 a Z Poros percist e e que c 3 34 153 123 x 93 Não são corpos não são proibidos Ateregas todos os equais f políto a x y z bodados s os não são corpos ao polidos mesmo f2 e 6 4 12 o 7 cujo y E9 k 2 Rodo polido 45 30 9 21 08 0 5 7 62 changed 11 0 5 1 8 os não são copoies portanto As não são corpos portanto O produto scala entre a G e B cu 4 315 6 5 3 Arigade não outro caiu 175 5 3 3 8 7 3 16 grupo abcultor Rotao x G 1 00 1 P 1 P X 4 6 8 solv RotaO y CZ 05 1 65 a 05 Sobruto e C 0 1 Locu 1 02101 2 666 2 solut pertence Grupo a Pond a modu q que s popa h A Soção do reflita o aprieto a period a dado sucess o Incurado inuhilidade e texturas euro Qebçjo Rotao resolude 1 1x 5 s 8 0 P s cx 5 Imicubio s 0 X 6 4 Cx 1 1050 0021 0004 05 s 005 Splet a 6 2 1050 021 0 45 Abirdre comando axio m dic s 3 A prolugacão com contratanc 10 6 Arestada r1 ou a eixo de SC S 3 6 5 2 7 9 9 0 0 Ux zo y z Tân 09 710 Funcion 1 ytu t⁴ x producto Cxt t⁴ et²x x 3 Eu ₀ y de t 0 x1 Eu ₀ y et² t de t 0 Ojetive de x 1 Eu 3621 je1 j 1 0 Objetive de x0 Eu 399 021 e1 394 352 1953 x 2 totalizapo de x 1 y 1 u vectore de yuletado quadio a cuatro e 3u tm du vy2 vy³24 u t1vy vu cosphata e025 Prubase Eu 10946 03931 0017 Resulta e 3 x 3 x 2 0375 Ojetive de x 2 31604 9 was Ki describe dividen lasder cual 1 2 19310x 15 x 126 2 u 50 Ojetive de x 1 310x 15x26 50 50 x conreglas divide o no e al repara decir ojos de x on quatro 50 12x 1 co x x cuadtseta 10 2 50 Concurso 50 x x12 50 12 21 11 11 2 50 24 50 24 Funcion 2 yu ln x y px ln1 x² x 1³ 2x y curva log dominio Funcion 3 yu x cosx Funcion 4 yx 1 x 5 0 x x 5 4 pendiente pendiente 3 2 1 u 1 0 0 1 2 3 4 5 y u 6 7 8 9 10 11 12 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 453 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 6 5 4 3 2 1 0 let 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 1 1 4 7 2 2 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7