Lista de Calculo 3

Cálculo 3 Turma B T1 Lista de Exercícios 3 16122024 Prof Luís Antônio Campos Vetoriais Caminhos Regulares 1 Se φxyz x²yz³ e F xzi y²j 2x²yk Determine a φ b div F c rot F d divφF e rotφF e f rotφ 2 Verifique se o campo F é conservativo Nos casos afirmativos determine um potencial do qual ele deriva a F xi yj b F 3x²yi x³j c F 2xeʸ yi x²eʸ x 2yj d F xi yj zk e F y² 3xi 2xy cos yj f F 1x i x expxyj g F sinxyi cosxyj h F expxyi expxyj i F 3x⁴y³i x³yj j F 5x⁴yi x cosxyj k F 2xi 3yj 4zk l F yzi xzj xyk m F 2xyzi x²zj x²yk n F y sin xi x sin xj xy cos zk 3 Sejam α e β constantes reais u e v campos escalares e F e G campos vetoriais diferenciais Usando regras de derivação deduza as seguintes relações do cálculo diferencial a αu βv αu βv b uv vu uv c uv 1v² vu uv d divrotF 0 e divvu vΔu u v f divF G G rotF F rotG 4 Se F xi zj 2yk mostre que não existe um campo vetorial G tal que rotG F 5 Seja F um campo solenoidal isto é div F 0 em um domínio simplesmente conexo Ω ℝ³ e seja G₀ um campo potencial de F isto é rotG₀ F Mostre que qualquer solução G da equação rotG F é da forma G G₀ φ sendo φ um escalar Embora não seja óbvio um tal campo G pode ser definido pela expressão GP ₀¹ tFtx ty tz OP dt 6 Verifique que div F 0 e determine todos os campos de vetores G tais que rot G F a F 2xi yj 3zk b F 2yi zj 2xk c F i j k d F 2yi 2zj e F eˣ eʸk f F 6y²i 6zj 6xk g F 3y²i 3x²j y² 2xk h F yi xj x² y² xy 00 7 Esboce o gráfico de cada curva dada abaixo indicando a orientação positiva 1 rt ti 1 tj 0 t 1 2 rt 2ti t²j 1 t 0 3 rt 1ti tj 1 t 4 rt ti 1 t²j 0 t 1 5 rt ti log tj 1 t e 6 rt cos ti sen tj tk 0 t 2π 8 Mostre que a curva γ definida por rt ti t² sin1tj se 0 t 1 e r0 0 não é regular 9 Considere a curva γ₁ definida por r₁t ti t²j 1 t 2 e seja γ₂ a curva definida por r₂t r₁3 t 1 t 2 Esboce os gráficos de γ₁ e γ₂ e determine a relação entre essas duas curvas 10 Determine a reta tangente e o plano normal a cada curva no ponto indicado 1 rt ti 2tj t²k no ponto P121 2 rt cos4ti sen4tj tk no ponto em que t π8 3 rt exp3ti exp3tj 18tk no ponto em que t 1 4 rt ti t³j t⁴k no ponto P111 5 rt t cos ti 3 2sen tj 1 3 cos tk no ponto em que t π2 11 Considere a curva γ definida por rt 2t 1 t² 1 t² 1 t² 1 t ℝ Mostre que o ângulo entre os vetores rt e rt é constante 12 Em cada caso determine as curvas integrais do campo F a F xi yj b F xi yj zk c F ai bj ck com a b e c constantes reais d F x²i y²j z²k que passa no ponto P12121 e F z yi x zj y xk Cálculo 3 Turma B T1 Lista de Exercícios 3 05122024 Prof Luís Antônio Integral Tripla Coordenadas Cilíndricas e Esféricas 1 Expresse a integral tripla sub D fxyz dV como uma integral iterada e em seguida calcule o seu valor no caso em que fxyz xyz e a região D é descrita por a D 1 x 2 0 y 1 1 z 2 b D y x y 0 y 4 0 z 4 y c D 0 x 1 x² y 1 0 z x y d D 0 x z² x z y x z 1 z 2 2 Escreva cada uma das integrais abaixo na ordem dzdydx a ₀¹ ₁³ ₄⁵ fxyz dxdydz b ₀¹ ₀ʸ x²1 fxyz dzdxdy c ₀¹ ₀¹z z1²y² fxyz dxdydz d ₀¹ ₀¹z ¹zy fxyz dxdydz 3 Descreva o sólido Ω do ℝ³ cujo volume é a ₀¹ 4z 1z ₂³ dxdydz b ₀¹ z³ z ₀⁴ˣ dydxdz c ₀² x² ²ˣ ₀ˣʸ dzdydx d ₀¹ ₀³ˣ ₀¹ dzdydx e ₁² z z zx² zx² dydxdz 4 f ₁⁴ zᶻ z²y² z²y² dxdydz 4 Em cada caso identifique o sólido Ω e calcule seu volume por integração tripla a Ω é delimitado pelo cilindro y x² e pelos planos y z 4 e z 0 b Ω é delimitado pelo cilindro z 1 y² e pelos planos x z x 0 e y 0 c Ω é delimitado pelos cilindros z 3x² e z 4 x² e pelos planos y z 6 e y 0 d Ω é a interseção dos paraboloides z 1 x² y² e z x² y² 1 e Ω é delimitado pelos cilindros x y² e y² 2 x e pelos planos z 5 x y e z 0 f Ω é a interseção da bola x² y² z² 6 com o paraboloide z x² y² g Ω é delimitado pelo plano xy e pelas superfícies x² y² 2x e z x² y² 5 Em cada caso calcule o volume do sólido descrito pelas desigualdades a 0 x z 1 y² b x² 4y² 4 e x y z x y 1 c x² y² z 1 x² d x² y² z 2x e x² y² z 6 x² y² f 0 z x² y² 6 Use coordenadas cilíndricas e calcule as seguintes integrais a ₀¹ ₀1y² ₀4x²y² z dzdxdy b ₁2 ₀2x² ₀¹ x dzdydx c sub D xydV D x² y² 1 0 z 1 d ₀² 2xx² 2xx² ₀ˣ²ʸ x² y² dzdydx 7 Use coordenadas esféricas e calcule as seguintes integrais a 2² 4x² 4x² x²y² 8x²y² x² y² z² dzdydx b ₀2 y4y² ₀R²x²y² x² y² z² dzdxdy 8 Fazse um orifício circular em uma esfera o eixo do orifício coincidindo com o eixo da esfera O volume do sólido Ω resultante vem dado por volΩ 2 ₀²π ₀3 ₁4z² r drdzdθ Por observação da integral determine o raio r do orifício e o raio R da esfera Calcule volΩ 9 Calcule a massa de uma bola de raio R se a densidade de massa no ponto P da bola é proporcional à distância r do ponto P ao centro da bola 10 Determine o centro de massa do hemisfério x² y² z² R² z 0 se a densidade em um ponto xyz do hemisfério é σxyz z 11 Determine o centróide do hemisfério 0 z R² x² y² 12 Calcule o momento de inércia em relação ao seu eixo de um cilindro circular reto de altura h e raio R se a densidade em um ponto xyz do cilindro é σxyz x² y² Integral Tripla Coordenadas Cilíndricas e Esféricas Lista Integrais 1a 12 01 11 xyz dx dy dz D fxyzdV yz 11 x dx yz x22 11 yz2 12 12 3yz2 3 D fxyz dV 12 01 3yz2 dy dz 3z2 01 y dy 3z2 y22 01 3z4 12 02 1 D fxyz dV 12 3z4 dz 34 12 z dz 34 z22 12 38 22 12 38 3 98 1b D fxyzdV 04 04y yy xyz dx dz dy yz yy x dx yz x22 yy yz2 y2 y2 yz2 y y 0 D fxyz dV 0 1c D fxyzdV 01 x21 0xy xyz dz dy dx xy 0xy z dz xy z22 0xy xy2xy2 02 xyxy2 2 xyx2 2xy y2 2 x3 y 2 x2 y2 x y3 2 D fxyzdV 01 01 x3 y 2 x2 y2 x y3 2 dy dx 12 01 x3 x21 y dy 2 x2 x21 y2 dy x x21 y3 dy dx 12 01 x3 y22 x21 2 x2 y33 x21 x y44 x21 dx 12 01 x32 12 x22 2 x2 3 13 x23 x4 14 x24 dx 12 01 2 x3 3 2 x8 3 dx 01 x3 2 x7 2 dx 01 x 4 x9 4 dx 12 23 01 x3 dx 23 01 x8 dx 12 01 x3 dx 12 01 x7 dx 14 01 x dx 14 01 x9 dx 12 23 x4 4 01 23 x9 9 01 12 x4 4 01 12 x8 8 01 14 x2 2 01 14 x10 10 01 12 29 227 18 116 18 140 6714320 1d D fxyzdV 12 0z2 xzxz xyz dy dx dz xz xzxz y dy xz y22 xzxz xz2 xz2 xz2 x2 2 x z z2 x2 2 x z z2 4 x z D fxyz dV 12 0z2 xz2 4 x z dx dz 12 0z2 2 x2 z2 dx dz 12 2 z2 0z2 x2 dx dz 12 2 z2 x3 3 0z2 dz 12 2 z2 z6 3 dz 12 2 z8 3 dz 23 12 z8 dz 23 z9 9 12 227 29 19 D fxyzdV 102227 2a 4 x 5 1 y 3 0 z 1 01 13 45 fxyz dx dy dz 45 13 01 fxyz dz dy dx 2b x2 y2 z 1 0 x y 0 y 1 01 01 x2y21 fxyz dz dx dy 01 01 x2y21 fxyz dz dy dx ② 0 x z 1² y² 0 y 1 z 0 z 1 0¹01z0z1²y² fx y z dx dy dz 0¹z 1² y² 01z0 fx y z dz dy dx ② 0 x 1 z y 0 y 1 z 0 z 1 0¹01z01zy fxyz dx dy dz 0¹01z01zy fxyz dz dy dx ③ 0 z 1 0 y 4 x z³ x z z³ x z x13 função cúbica z x z x² parábola y 4 x reta x z³ z 0 x 1 ③ 0²x²²ˣ0 xy dz dy dx 0 z x y x² y 2x 0 x 2 y x² parábola y 2x reta y x² 2x x 0 ou x 2 z x y plano x 0 y 0 z 0 x 2 y 4 z 6 0 z 6 3d 0 x 1 0 y 3x 0 z 1 y 3x reta plano 3e 1 z 2 z x z z x² y z x² x z x² z y z x² y² z x² x² y² z x² y² z x² y² 0 y 0 não temos um volume Temos uma área 1 z 2 x² z 3f 1 z 4 z y z z² y² x z² y² x z² y² x² z² y² x² y² z² cone y z y² z² planos 4a y x² y z 4 z 0 0 z 4 y z 4 y 4 x² x² y 4 2 x 2 V 22 x²4 04y dz dy dx 22 x²4 4 y dy dx V 22 44 x² 12 4² x²² dx V 22 16 4x² 8 x⁴2 dx 12 22 x⁴ dx 8 22 dx 4 22 x² dx V 12 x⁵5 22 8x 22 4x³3 22 110 32 32 82 2 438 8 V 6910 32 643 V 25615 9b z 1 y² x z x 0 y 0 z 1 y² x x y² 1 x 0 y² 1 y 1 y 1 y 1 y 0 x 1 x z 1 y² 0 x 1 0 y 1 V 01 01 x1y² dz dx dy 01 01 1 y² x dx dy V 01 01 dx y² 01 dx 01 x dx dy 01 1 y² 12 dy 12 01 dy 01 y² dy 12 y y³3 01 V 12 13 36 26 16 4 c z 3x2 z 4 x2 y 6 z y z 6 y 0 z 3x2 4 x2 4x2 4 x2 1 x 1 3x2 z 4 x2 0 y 6 z 1 x 1 V 11 3x24x2 06z dy dz dx 11 3x24x2 6 z dz dx y06z 6 z V 11 6z z223x24x2 dx V 11 64 x2 3x2 12 4 x22 3x22 dx V 11 4x4 20x2 16 dx V 4x55 20x33 16x11 45 1 1 203 1 1 16 1 1 V 85 403 32 30415 4 d z 1 x2 y2 z x2 y2 1 z 1 y2 y2 x2 y2 1 z 2x2 2y2 x2 y2 1 1 x 1 1 y 1 V 11 11 x2y211x2y2 dz dy dx V 11 11 zx2y211x2y2 dy dx V 11 11 1 x2 y2 x2 y2 1 dy dx V 11 11 2 2x2 2y2 dy dx V 11 2y 2x2 y 2y3311 dx V 11 21 1 2x2 1 1 23 1 1 dx V 11 4 4x2 43 dx 4x 4x33 4x3 11 V 4 1 1 43 1 1 43 1 1 V 24 8 83 83 4 e x y2 y2 2 x z 5 x y z 0 x 2 y2 2x 2 x 1 y2 2 x 2y2 2 y 1 y2 x 2 y2 1 y 1 0 z 5 x y V 11 y22y2 05xy dz dx dy z05xy 5 x y V 11 y22y2 5 x y dx dy 11 2y3 12y2 2y 12 dy V 2y44 11 12y33 11 2y22 11 12y 11 V y42 11 4y3 11 y2 11 12y 11 V 0 8 0 24 16 V 16 4 f x2 y2 z2 6 z x2 y2 Somos usar coordenadas cilindricas z2 6 x2 y2 6 r2 z 6 r2 z x2 y2 r2 z r2 6 r2 r4 6 r2 R2 6 R R2 R 6 0 R 1 25 2 1 5 2 R1 2 R2 3 r1 R1 0 r 2 0 θ 2π r2 z 6 r2 V 02π 02 r2 6 r2 r dz dr dθ 02π dθ 02 r 6r2r2 dz dr V 2π 02 r 6r2 r2 dr Vs 2π 02 r 6r2 02 r3 dr 2π 13 6r232 r44 02 V 2π 113 26 223 π 46 π 4 g x2 y2 2x r2 2 r cosθ Coordenadas cilindricas r 2 cosθ r z 0 r 2 cosθ π2 θ π2 z x2 y2 z r2 r x2 y2 2x z2 x 0 z 0 x 2 z 4 0 z 4 V π2π2 02cosθ 04 r dz dr dθ 4 π2π2 02cosθ r z404 4 dr dθ V 42 π2π2 2cosθ2 dθ 162 π2π2 cos2 θ dθ V 8 12 θ sin2θ π2π2 4 π2 π2 0 V 42π2 4π V 4π 5 0 x z 1 y2 x z 1 y2 x z 0 x 1 z 1 y2 y 1 1 y 1 V 11 01 x1y2 dz dx dy zx1y2 1 y2 x V 11 01 1 y2 x dx dy x y2 x x2 2 01 1 y2 12 12 y2 V 11 12 y2 dy 12 y y3311 12 11 13 11 V 1 23 13 x2 4y2 4 y2 4 4y2 41 y2 x y z x y 1 x 21 y2 or y2 4 x24 y 4 x22 V from 2 to 2 from 4 x22 to 4 x22 from xy to xy1 dz dy dx z from xy to xy1 1 V from 2 to 2 from 4 x22 to 4 x22 dy dx y from 4 x22 to 4 x22 4 x22 4 x22 4 x2 V from 2 to 2 4 x2 dx from u1 to u2 2 cosu 2 cosu du sinu x2 x 2 sinu 4 x2 4 4 sin2u 4 cos2u dx 2 cosu du V from u1 to u2 4 cos2u du 42 from u1 to u2 1 cos2u du 2 from u1 to u2 du 2 from u1 to u2 cos2u du u1 arcsin22 π2 u2 arcsin22 π2 V 2u from π2 to π2 2sin2u2 from π2 to π2 0 2π V 2π x2 y2 z 1 x2 r2 z 1 r2 cos2θ 0 θ 2π z x2 y2 1 x2 2x2 y2 1 x2122 y212 1 ellipse 2r2 cos2θ r2 sin2θ 1 r2 2 cos2θ sin2θ 1 r2 2 cos2θ 1 cos2θ 1 r2 11 cos2θ paraboloidscylindrical V from 0 to 2π from 0 to 11 cos2θ from r2 to 1 r2 cos2θ dz r dr dθ V from 0 to 2π from 0 to 11 cos2θ r 1 r2 cos2θ r2 dr dθ V from 0 to 2π from 0 to 11 cos2θ r 1 r2 cos2θ r2 dr dθ V from 0 to 2π r22 cos2θ r44 r44 from 0 to 11 cos2θ dθ V from 0 to 2π 14 cos2θ 4 dθ 14 from 0 to 2π 1cos2θ 1 dθ u tanθ du dθ cos2θ cos2θ 1u2 1 v u2 u 2 v du 2 dv 14 22v2 2 dv 142 dvv2 1 arctanv42 14 from 0 to 2π 1cos2θ 1 dθ 142 arctantanθ2 from 0 to 2π V π22 5 e x² y² z 6 x² y² r² z 6 r² r z 6 r² z x² y² r 6 r² r² r 6 0 r 1 1 416 2 1 5 2 r 2 0 r 2 V ₀²π ₀² r ᵣ⁶ r² dz dr dθ V ₀²π dθ ₀² r z r 6 r² dr 2π 6r²2 r⁴4 r³3 ₀ 2π ₀² 6r r³ r² dr V 2π 3 8 16 4 8 3 2π 20 8 3 2π 52 3 V 104π 3 26 6 0 z 4 x² y² z z dx dy dz r dr dθ dz 0 z 4 r² 0 x 1 y² x² y² 1 r² 0 r 1 Ⅰ ₀²π ₀¹ ₀4 r² z dz dr dθ Ⅱ ₀²π ₀¹ r z² 2 0 4 r² dr dθ Ⅲ ₀²π ₀¹ r 2 4 r² dr dθ 12 2π ₀¹ 4r r³ dr Ⅳ π 4r² 2 r⁴ 4 0 ¹ π 2 14 7π 4 Ⅴ 7π 4 24 5 d x² y² z 2x r² z 2r cosθ r² 2r cosθ r 2 cosθ 0 r 2 cosθ π2 θ π2 V π2 π2 ₀² cosθ r²² r cosθ dz r dr dθ V π2 π2 ₀² cosθ z r 2 cosθ r dr dθ V π2 π2 ₀² cosθ 2 r² cosθ r³ dr dθ V π2 π2 2 r³3 cosθ r⁴4 ₀₂ cosθ dθ 43 π2 π2 cos⁴θ dθ 163 cos⁴θ cos⁴θ4 16 V 43 sin4θ32 sin2θ4 3θ8 π2 π2 π2 6 6 0 y 2 x² y² x² 2 r² 0 r 2 0 z 1 0 θ π 1 x 2 1 r 2 x r cosθ ₀π ₀¹ ₁2 r cosθ r dr dθ dz ₀¹ dz ₁2 r² dr ₀π cosθ dθ I z₀¹ r³3 2₁ sinθπ₀ I 1 232 13 sinπ sin0 0 I 0 6 c xy r² sinθ cosθ x² y² r² 1 0 r 1 0 z 1 0 θ 2π D xy dV ₀²π ₀¹ ₀¹ r² sinθ cosθ r dr dz dθ ₀²π sinθ cosθ dθ ₀¹ dz ₀¹ r³ dr sin²θ2₂π₀ 0 D xy dV 0 6 d 0 z x² y² 0 z r² 2x x² y 2x x² y² 2x x² x² y² 2x r² 2r cosθ r 2 cosθ π2π2 ₀² cosθ r ₀r² r² dz dr dθ π2π2 ₀² cosθ r³ r² 0 dr dθ π2π2 r⁶6 ₀² cosθ dθ 323 π2π2 cos6θ dθ sin4θ2 2 sin32θ9 8 sin2θ3 10θ3 π2π2 10 π3 7 b Y x 4 y2 x ρ sinφ cosθ y ρ sinφ sinθ cosθ sinθ θ π4 0 z R2 x2 y2 0 φ π2 z 0 x2 y2 z2 R2 ρ2 0 ρ R 0π4 dθ 0π2 sinφ dφ 0R ρ2 ρ2 dρ 0R ρ3 dρ π4 cosφ0π2 0 1 ρ440R π4 R44 πR416 8 VΩ 2 02π 03 14 z2 r dr dz dθ r2214 z2 4 z2 12 VΩ 2 02π 03 3 z22 dz dθ 2 12 02π dθ 03 3 z2 dz 2π 3z z3303 2π23 4π3 O raio do orifício é r 1 limite inferior da integral em r O raio da esfera é 1 r 4 z2 z 0 R rz0 4 02 4 2 R 2 7 a 2 x 2 4 x2 y 4 x2 x2 y2 z 8 x2 y2 x2 y2 z2 8 x2 y2 z2 ρ2 8 z2 8 x2 y2 4 0 ρ 8 2 4 22 0 ρ 22 0 θ 2π ρ cosφ z x2 y2 4 2 ρ cosφ 2 cosφ 2ρ 222 12 0 φ π4 I 0π4 02π 042 ρ2 ρ2 sinφ dρ dθ dφ I 02π dθ 0π4 sinφ dφ 022 ρ5 dρ 2π cosφ0π4 ρ55022 I 2π 12 1 2255 0 I 256π5 2 1 σ M V dM σ dV constante de proporção σ kρ distância M kρ dV k ₀²π ₀π ₀R ρ ρ² sinφ dρ dφ dθ M k ₀²π dθ ₀π sinφ dφ ₀R ρ³ dρ M k 2π cosφ ρ⁴ 4 ₀R 2π2 ρ⁴ 4 ₀R k M 4πk R⁴ 4 πR⁴ k M πR⁴ k x x σxyz dV σxyz dV x r sinφ cosθ y r sinφ sinθ z r cosφ 0 θ 2π 0 r R 0 φ π2 x xz r² sinφ dr dφ dθ z r² sinφ dr dφ dθ 2 x ₀²π ₀π2 ₀R r² sinφ cosθ cosφ sinφ dr dφ dθ ₀²π ₀π2 ₀R r² cosφ sinφ dr dφ dθ ₀²π cosθ dθ ₀π2 sin²φ cosφ dφ ₀R r⁴ dr M 0 ₀²π cosθ dθ sinθ ₀²π 0 0 0 y xz dV M ₀²π sinθ dθ ₀π2 sin²φ cosφ dφ ₀R r⁴ dr M ₀²π sinθ dθ cosθ ₀²π 1 1 0 y 0 z z² dV z dV ₀²π ₀π2 ₀R r² cos²φ r² sinφ dr dφ dθ ₀²π ₀π2 ₀R r cosφ r² sinφ dr dφ dθ z ₀²π dθ ₀π2 cos²φ sinφ dφ ₀R r⁴ dr ₀²π dθ ₀π2 cosφ sinφ dφ ₀R r³ dr z 2π cos³θ3 ₀π2 r⁵ 5 ₀R 2π sin²θ2 ₀π2 r⁴ 4 ₀R 13R⁵5 12R⁴4 z 8R 15 CM Rcm x y z 0 0 8R 15 11 x x dV dV 02π 0π2 0R r sinφ cosθ r² sinφ dr dφ dθ 02π 0π2 0R r² sinφ dr dφ dθ x o numerador tem 02π cosθ dθ 0 x 0 y y dV dV 02π 0π2 0R r sinφ sinθ r² sinφ dr dφ dθ 02π 0π2 0R r² sinφ dr dφ dθ o numerador tem 02π sinθ dθ 0 y 0 z z dV dV 02π 0π2 0R r cosφ r² sinφ dr dφ dθ 02π 0π2 0R r² sinφ dr dφ dθ z 2π 0R r³ dr 0π2 sinφ cosφ dφ 2π 0R r² dr 0π2 sinφ dφ z R⁴ 4 12 R³ 3 1 3R 8 12 I σ r² dV r³ dV σ x² y² r² r dV r dr dθ dz I 02π 0R 0h r³ r dr dz dθ I 02π dθ 0h dz 0R r⁴ dr I 2πh r⁵ 50R 2πh R⁵ 5 Campos Vetoriais Caminhos Regulares 1 φxyz x² y z³ F x z y² 2x² y Fx Fy Fz a φ φx φy φz 2 x y z³ x² z³ 3 x² y z² b F Fxx Fyy Fzz z 2 y 0 z 2 y c F î ĵ k x y z Fx Fy Fz î Fyz Fzy ĵ Fxz Fzx k Fyx Fxy F î 2 x² 0 ĵ x 4 x y k 0 0 F 2 x² x 4 x y 0 d φ F x² y z³ x z y² 2 x² y x³ y z⁴ x² y² z³ 2 x⁴ y² z³ φ F x x³ y z⁴ y x² y² z³ z 2 x⁴ y² z³ φ F 3 x² y z⁴ 3 x² y z³ 6 x⁴ y² z² e φ𝐅 𝒙 𝒚 𝒛 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥³ 𝑦⁴ 𝑧³ 𝑥² 𝑦³ 𝑧³ 2𝑥⁴ 𝑦² 𝑧³ 𝒙4𝑥⁴ 𝑦² 𝑧³ 3𝑥² 𝑦³ 𝑧² 𝒚4𝑥³ 𝑦² 𝑧² 8𝑥³ 𝑦² 𝑧³ 𝒛2𝑥 𝑦³ 𝑧² 𝑥³ 𝑧⁴ φ𝐅 4𝑥⁴ 𝑦² 𝑧² 3𝑥² 𝑦³ 𝑧² 4𝑥³ 𝑦² 𝑧² 8𝑥³ 𝑦² 𝑧³ 2𝑥 𝑦³ 𝑧² 𝑥³ 𝑧⁴ f φ 2𝑥𝑦 𝑧³ 𝑥² 𝑧³ 3𝑥² 𝑦 𝑧² φ 𝒙 𝒚 𝒛 𝑥 𝑦 𝑧 2𝑥𝑦 𝑧³ 𝑥² 𝑧³ 3𝑥² 𝑦 𝑧² 𝒙3𝑥² 𝑧² 3𝑥² 𝑧² 𝒚6𝑥𝑦 𝑧² 6𝑥𝑦 𝑧² 𝒛2𝑥 𝑧³ 2𝑥 𝑧³ φ 𝒙0 𝒚0 𝒛0 φ 0 0 0 2 a 𝐅 𝑥 𝑦 𝐅 𝒙 𝒚 𝒛 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 0 𝒙00 𝒚00 𝒛00 𝐅 000 𝐅 é conservativo 𝐅 φ 𝐹𝑥 𝐹𝑦 φ𝑥 φ𝑦 𝐹𝑥 φ𝑥 φ 𝐹𝑥 d𝑥 𝑥 d𝑥 𝑥²2 𝐶𝑦 φ𝑦 0 𝐶𝑦𝑦 𝐹𝑦 𝑦 𝐶𝑦 𝑦 d𝑦 𝑦²2 𝐶 φ𝑥𝑦 𝑥²2 𝑦²2 𝐶 2 b 𝐅 3𝑥² 𝑦 𝑥³ 𝐅 𝒙00 𝒚00 𝒛3𝑥² 3𝑥² 𝐅 000 𝐅 é conservativo φ 𝐹𝑥 d𝑥 3𝑥² 𝑦 d𝑥 𝑥³ 𝑦 𝐶𝑦 φ𝑦 𝑥³ 𝐶𝑦𝑦 𝐹𝑦 𝑥³ 𝐶𝑦𝑦 0 𝐶𝑦 𝐶 φ𝑥𝑦 𝑥³𝑦 𝐶 c 𝐅 2𝑥 eʸ 𝑦 𝑥² eʸ 𝑥 2𝑦 𝐅 𝒙00 𝒚00 𝒛2𝑥 eʸ 1 2𝑥 eʸ 1 𝐅 000 𝐅 é conservativo φ 𝐹𝑥 d𝑥 2𝑥 eʸ 𝑦 d𝑥 𝑥² eʸ 𝑦𝑥 𝐶𝑦 φ𝑦 𝑥² eʸ 𝑥 𝐶𝑦𝑦 𝐹𝑦 𝑥² eʸ 𝑥 2𝑦 𝐶𝑦𝑦 2𝑦 𝐶𝑦 2𝑦 d𝑦 𝑦² 𝐶 φ𝑥𝑦 𝑥² eʸ 𝑥𝑦 𝑦² 𝐶 d 𝐅 𝑥 𝑦 𝑧 𝐅 𝒙00 𝒚00 𝒛00 𝐅 000 𝐅 é conservativo φ 𝐹𝑥 d𝑥 𝑥 d𝑥 𝑥²2 𝐶𝑦𝑧 φ𝑦 0 𝐶𝑦𝑧𝑦 𝐹𝑦 𝑦 𝐶𝑦𝑧 𝑦 d𝑦 𝑦²2 𝐶𝑧 φ𝑧 0 𝐶𝑧𝑧 𝐹𝑧 𝑧 𝐶𝑧 𝑧 d𝑧 𝑧²2 𝐶 φ𝑥𝑦𝑧 𝑥²2 𝑦²2 𝑧²2 𝐶 F y2 3x 2xy cosy x F i j k x y z y2 3x 2xy cosy 0 x F i 0 0 j 0 0 k 2y 2y x F 000 F é conservativo φ Fx dx y2 3x dx y2 x 3x22 Cy φy 2 y x Cyy Fy 2xy cosy Cyy cosy Cy cosy dy siny C φxy x y2 3x22 siny C F 1x x exy x F i 0 0 j 0 0 k exy x exy y 0 000 F não é conservativo F sinxy cosxy x F i 0 0 j 0 0 k y sinxy x cosxy x F 000 F não é conservativo F exy exy x F i 0 0 j 0 0 k exy x exy x F 000 F não é conservativo F 3x4 y3 x3 y x F i 0 0 j 0 0 k 3x2 y 9x4 y2 x F 000 F não é conservativo F 5 x4 y x cosxy x F i 0 0 j 0 0 k cosxy xy sinxy 5x4 y x F 000 F não é conservativo F 2x 3y 4z x F i 0 0 j 0 0 k 0 0 000 F é conservativo φ Fx dx 2x dx x2 Cy φy 0 Cyy Fy 3y Cy 3y dy 3y22 Cz φz 0 Czz Fz 4z Cz 4z dz 2 z2 C φxyz x2 3y22 2 z2 C F y z x z x y x F i 0 0 j 0 0 k 0 0 000 F é conservativo φ Fx dx y z dx y x z x Cy φy x 0 Cyy Fy x z Cyy z Cy z dy z y Cz φ y x z x z y Cz φz x y Czz Fz x y Czz 0 Cz C φxyz x y x z y z C m F 2xyz x2z x2y x F x2 x2 î 2xy 2xy ĵ 2xz 2xz k x F 000 F é conservativo φx Fx 2xyz φ 2yz x dx 2yz x22 Cy φ yz x2 Cy φy z x2 Cyy Fy x2 z Cyy 0 Cy C φxyz x2yz C m F y sinx x sinx xy cosz x F î x cosz 0 ĵ 0 y cosz k sinx x cosx sinx x cosz y cosz x cosx 000 F não é conservativo 3 a α u β v α u β v α u β v α u β v α u β v 3 b uv u v u v v u u v 3 c uv u v u v v2 v u u v v2 3 d F Fx Fy Fz rotF x F î y Fz z Fy ĵ z Fx x Fz k x Fy y Fx Div rotF x y z Fzy Fyz Fxz Fzx Fyx Fxy x Fzy x Fyz y Fxz y Fzx z Fyx z Fxy 0 0 0 0 0 0 DivrotF 0 3 e div v u v Δ u u v v Δ u u e v são escalares div v u v u v u v u v Δ u u v 3 f F Fx Fy Fz G Gx Gy Gz F x G î ĵ k Fx Fy Fz Gx Gy Gz î Fy Gz Fz Gy ĵ Fz Gx Fx Gz k Fx Gy Fy Gx div F x G F x G F x G x Fy Gz Fz Gy y Fz Gx Fx Gz z Fx Gy Fy Gx G x F Gx Gy Gz Fzy Fyz Fxz Fzx Fyx Fxy y Gx Fz z Gy Fx z Gz Fy x Gy Fz x Gz Fx y Gx Fy F x G y Fx Gz z Fx Gy x Fz Gy y Fz Gx z Fy Gx x Fy Gz G x F F x G x Fy Gz Fz Gy y Fz Gx Fx Gz z Fx Gy Fy Gx F x G 4 F x₁ z₁ 2y Fₓ₁ Fᵧ₁ Fz rotG G Gzy Gᵧz Gₓz Gzx Gᵧx Gₓy Gzy Gᵧz x Gₓz Gzx z Gᵧx Gₓy 2y Pelo exercício 3 d G 0 G F 0 xx yz z2y 0 1 0 0 0 1 Não existe G tal que G F 5 Podemos escrever G G₀ φ G G₀ φ G G₀ G G₀ F F 0 O campo G G₀ é irrotacional Campos rotacionais podem ser escritos como o gradiente de uma função escalar potencial φ Então G G₀ φ Logo G G₀ φ 6 a F 2x₁ y₁ 3z Fₓ₁ Fᵧ₁ Fz F x2x yy z3z 2 1 3 0 F 0 divF F G Fₓ Gzy Gᵧz 2x Fᵧ Gₓz Gzx y Fz Gᵧx Gₓy 3z Gₓ y Gzx dz yz Gzx dz Gₓy Gᵧx 3z z y Gzx dz Gᵧx 2z Gᵧ 2xz Gz 2x Gᵧz 2x 2x 0 Gzy 0 Gz c constante G Gₓ Gᵧ Gz yz 2xz c 6 g F 3y2 3x2 y2 2x F x 3y2 y3x2 zy2 2x 0 0 0 F 0 Fx Gzy Gyz 3y2 Fy Gxz Gzx 3x2 Fz Gyx Gxy y2 2x Gz 3y2 dy y3 Gzx 0 Gxz 3x2 Gx 3x2 dz 3x2 z Gyy 0 Gyx y2 2x Gy y2 2x dx Gy y2 x x2 G 3x2 z x y2 x2 y3 6 h F yx2 y2 xx2 y2 F x yx2 y2 y xx2 y2 F y2xx2 y2 x2yx2 y2 2xy 2xyx2 y2 F 0 Fx Gzy Gyz yx2 y2 Gy yx2 y2 dz yzx2 y2 Fy Gxz Gzx xx2 y2 Fz Gyx Gxy 0 Gyx y z 2xx2 y22 2xy zx2 y22 Gxy 2xy zx2 y22 dy μ x2 y2 du 2y dy 2y dy du x2 duu2 xz xzx2 y2 Gx Gxz xx2 y2 xx2 y2 Gzx Gz C G Gx Gy Gz x z x2 y2 y z x2 y2 C 7 a rt t 1 t 0 t 1 t rt 0 0 1 14 14 34 12 12 12 34 34 14 1 1 0 7 b rt 2t t2 1 t 0 t rt 1 2 1 32 32 916 12 1 14 14 12 116 0 0 0 7 c r 1t t 1 t t rt 1 1 1 2 12 2 3 13 3 4 14 4 5 15 5 7 d rt t 1 t2 0 t 1 t rt 0 01 14 14 154 12 12 34 34 34 74 1 1 0 7 e rt t logt 1 t e t rt 1 10 2 2 log2 e e 1 7 f rt cost sint t t rt 0 100 π2 01 π2 π 10 π 3π2 01 3π2 2π 10 2π 0 t 2π 8 rt t t2 sin1t 0 t 1 r0 0 drtdt rt 1 2t sin1t t2 cos1t1t2 rt 1 2t sin1t cos1t rt 1 2t sin1t cos1t2 Tt rtrt t1 2t sin1t cos1t2 2t sin1t cos1t1 2t sin1t cos1t2 A função não é regular porque a componente 2t sin1t cos1trt não é contínua em t 0 lim t0 2t sin1t cos1trt não existe 9 r₁ t t2 1 t 2 r₂ r₁3 t 3 tt 3 tt2 t r₁t r₂t 1 11 2 2 54 54 2516 3516 17564 32 32 94 94 278 74 74 4916 3516 24564 2 2 4 2 4 As curvas se interceptam no ponto 24