Lista de Exercícios - Matemática II - Vetores e Combinação Linear

Universidade Federal Fluminense UFF Instituto de Ciências da Sociedade e Desenvolvimento Regional Departamento de Ciências Econômicas de Campos Disciplina Matemática II Período 2º Turma PI Economia Prof Regente Marcus Vinicius da Silva Sales 6ª Lista de exercícios 1 Represente os seguintes vetores no plano R² a u 25 b t 10 c w 7 3 2 Represente os seguintes vetores no espaço R³ a u 2 0 5 b v 3 3 1 c w 7 5 0 3 Dados os vetores u 0 3 10 v 3 5 10 e w 13 8 12 resolva as operações vetoriais a seguir a u v b 3ui v c 2u 3v 2w d 2w ui 3v 4 Considere em R² o conjunto G 1 1 2 2 a Mostre que o vetor 5 5 é combinação linear dos vetores de G b É também o vetor 1 0 combinação linear dos vetores de G 5 Considere em R³ o conjunto G 1 1 1 0 1 1 1 2 2 a Mostre que o vetor 2 3 3 é combinação linear dos vetores de G b Mostre que o vetor 0 0 1 não é combinação linear dos vetores de G 6 Em cada um dos seguintes casos mostre que os vetores indicados são linearmente dependentes a Em R³ v1 1 1 2 v2 2 2 4 b Em R³ v1 1 1 1 v2 3 3 3 v3 0 1 1 c Em R4 v1 0 1 0 1 v2 1 0 1 0 v3 2 3 2 3 7 Em cada um dos seguintes casos analise se vetores indicados são linearmente independentes a Em R4 v1 1 1 0 0 v2 1 0 1 0 v3 0 0 1 1 v4 0 1 0 1 b Em R³ v1 1 1 2 v2 1 2 1 v3 3 1 1 1 u 25 t 10 w 73 2 u 205 v 3 3 1 w 7 5 0 3 a 0 3 10 3 5 10 03 35 1010 3 2 0 b 30 3 10 3 5 10 30 33 310 3 5 10 0 9 30 3 5 10 3 14 40 c 20 3 10 33 5 10 213 8 12 20 23 210 33 35 310 213 28 212 0 6 20 9 15 30 26 16 24 17 7 14 d 213 8 12 0 3 10 33 5 10 213 28 212 0 3 10 33 35 310 26 16 24 0 3 10 9 15 30 2609 16315 241030 35 28 44 4 a Para mostrar que o vetor 5 5 é combinação linear dos vetores 1 1 e 2 2 precisamos encontrar escalares X e Y tais que X1 1 Y2 2 5 5 Podemos escrever isso como um sistema de equações X 2Y 5 X 2Y 5 Podemos notar que as duas equações são na verdade a mesma equação o que significa que temos uma equação redundante e que podemos resolver o sistema com apenas uma equação Vamos usar a primeira equação X 2Y 5 Podemos isolar X X 5 2Y Agora podemos substituir esse valor de c1 na equação original X1 1 Y2 2 5 5 5 2Y1 1 Y2 2 5 5 5 2Y 5 2Y 2Y 2Y 5 5 5 5 5 5 Como a igualdade acima é verdadeira concluímos que o vetor 5 5 é de fato uma combinação linear dos vetores 1 1 e 2 2 b O vetor 1 0 é uma combinação linear dos vetores 1 1 e 2 2 pois podemos encontrar escalares X e Y tais que X1 1 Y2 2 1 0 Podemos escrever isso como um sistema de equações X 2Y 1 X 2Y 0 Subtraindo a segunda equação da primeira obtemos X 1 Substituindo esse valor na segunda equação temos 1 2Y 0 Y 12 Portanto podemos escrever 1 0 X1 1 Y2 2 1 1 122 2 Isso significa que o vetor 1 0 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores 1 1 e 2 2 5a Para determinar se o vetor 2 3 3 é uma combinação linear dos vetores 1 1 1 0 1 1 e 1 2 2 podemos escrever X1 1 1 Y0 1 1 Z1 2 2 2 3 3 Isso pode ser escrito como um sistema de equações X Z 2 X 2Y2Z 3 X 2Y 2Z 3 Podemos resolver esse sistema de equações usando a técnica de eliminação de Gauss Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos Y Z 1 Subtraindo a primeira equação da terceira obtemos 2Y Z 1 Subtraindo duas vezes a segunda equação da terceira obtemos Z 1 Substituindo esse valor em Y Z 1 obtenemos Y 0 Substituindo os valores encontrados em X Y Z 2 obtenemos X 1 Portanto podemos escrever 2 3 3 X1 1 1 Y0 1 1 Z1 2 2 1 1 1 1 2 2 Isso significa que o vetor 2 3 3 é uma combinação linear dos vetores 1 1 1 0 1 1 e 1 2 2 b Para mostrar que 0 0 1 não é combinação linear dos vetores 1 1 1 0 1 1 e 1 2 2 podemos tentar encontrar constantes XY e Z tais que X1 1 1 Y0 1 1 Z1 2 2 0 0 1 Isso equivale ao sistema de equações X Z 0 X Y 2Z 0 X Y 2Z 1 Seguindo a técnica de eliminação de Gauss podemos obter a seguinte forma escalonada 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 2 1 Subtraindo a segunda equação da terceira obtemos 0 0 3 1 A última equação indica que não existe solução para o sistema de equações já que não há uma combinação de constantes X Ye Z que satisfaça a equação 3Z 1 Portanto o vetor 0 0 1 não pode ser expresso como combinação linear dos vetores 1 1 1 0 1 1 e 1 2 2 6 a Os vetores 112 e 224 são linearmente dependentes LD pois o segundo vetor é um múltiplo escalar do primeiro vetor De fato podemos verificar isso ao observar que o segundo vetor é o dobro do primeiro vetor ou seja 224 2112 b Podemos verificar se os vetores 111 333 e 011 são linearmente dependentes LD ao tentar escrever um deles como combinação linear dos outros dois Começando com o terceiro vetor podemos escrevêlo como uma combinação linear dos dois primeiros vetores da seguinte forma 011 12111 12333 Isso significa que o terceiro vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos dois primeiros vetores Portanto os três vetores são linearmente dependentes LD Podemos verificar essa afirmação calculando a combinação linear 12111 12333 011 000 Como essa combinação linear não trivial resulta em um vetor nulo isso confirma que os três vetores são LD c Podemos verificar se os vetores 0101 1010 e 2323 são linearmente dependentes LD ao tentar escrever um deles como combinação linear dos outros dois Começando com o primeiro vetor podemos escrevêlo como uma combinação linear dos outros dois vetores da seguinte forma 0101 11010 2323 Isso significa que o primeiro vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros dois vetores Portanto os três vetores são linearmente dependentes LD Podemos verificar essa afirmação calculando a combinação linear 11010 2323 0101 0000 Como essa combinação linear não trivial resulta em um vetor nulo isso confirma que os três vetores são LD 7 a Podemos verificar se os vetores 1100 1010 0011 e 0101 são linearmente independentes LI ao tentar escrever um deles como combinação linear dos outros três Podemos começar com o quarto vetor e escrevêlo como uma combinação linear dos outros três vetores da seguinte forma 0101 121100 121010 120011 Isso significa que o quarto vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros três vetores Portanto os quatro vetores são linearmente dependentes LD Para confirmar que os quatro vetores são LD podemos calcular a combinação linear 121100 121010 120011 0101 0000 Como essa combinação linear não trivial resulta em um vetor nulo isso confirma que os quatro vetores são LD Portanto os quatro vetores não são LI b Para verificar se os vetores 112 121 e 311 são linearmente independentes LI precisamos verificar se existe alguma combinação linear não trivial desses vetores que resulte em um vetor nulo Podemos escrever essa combinação linear na forma a112 b121 c311 000 Ou de forma equivalente como um sistema de equações lineares a b 3c 0 a 2b c 0 2a b c 0 Podemos resolver esse sistema de equações utilizando a eliminação de Gauss ou outro método equivalente Uma forma de resolvêlo é subtrair a primeira equação da segunda e da terceira equações obtendo a b 3c 0 b 2c 0 a 2c 0 A partir da terceira equação podemos obter a 2c Substituindo esse valor na segunda equação encontramos b 4c Portanto as soluções para o sistema são da forma a 2c b 4c c c Isso significa que a combinação linear a112 b121 c311 000 tem apenas a solução trivial abc 000 Portanto os vetores são linearmente independentes LI Em outras palavras nenhum dos vetores pode ser expresso como uma combinação linear dos outros dois 1 u 25 t 10 w 73 2 u 205 v 3 3 1 w 7 5 0 3 a 0 3 10 3 5 10 03 35 1010 3 2 0 b 30 3 10 3 5 10 30 33 310 3 5 10 0 9 30 3 5 10 3 14 40 c 20 3 10 33 5 10 213 8 12 20 23 210 33 35 310 213 28 212 0 6 20 9 15 30 26 16 24 17 7 14 d 213 8 12 0 3 10 33 5 10 213 28 212 0 3 10 33 35 310 26 16 24 0 3 10 9 15 30 2609 16315 24 1030 35 28 44 4 a Para mostrar que o vetor 5 5 é combinação linear dos vetores 1 1 e 2 2 precisamos encontrar escalares X e Y tais que X1 1 Y2 2 5 5 Podemos escrever isso como um sistema de equações X 2Y 5 X 2Y 5 Podemos notar que as duas equações são na verdade a mesma equação o que significa que temos uma equação redundante e que podemos resolver o sistema com apenas uma equação Vamos usar a primeira equação X 2Y 5 Podemos isolar X X 5 2Y Agora podemos substituir esse valor de c1 na equação original X1 1 Y2 2 5 5 5 2Y1 1 Y2 2 5 5 5 2Y 5 2Y 2Y 2Y 5 5 5 5 5 5 Como a igualdade acima é verdadeira concluímos que o vetor 5 5 é de fato uma combinação linear dos vetores 1 1 e 2 2 b O vetor 1 0 é uma combinação linear dos vetores 1 1 e 2 2 pois podemos encontrar escalares X e Y tais que X1 1 Y2 2 1 0 Podemos escrever isso como um sistema de equações X 2Y 1 X 2Y 0 Subtraindo a segunda equação da primeira obtemos X 1 Substituindo esse valor na segunda equação temos 1 2Y 0 Y 12 Portanto podemos escrever 1 0 X1 1 Y2 2 1 1 122 2 Isso significa que o vetor 1 0 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores 1 1 e 2 2 5a Para determinar se o vetor 2 3 3 é uma combinação linear dos vetores 1 1 1 0 1 1 e 1 2 2 podemos escrever X1 1 1 Y0 1 1 Z1 2 2 2 3 3 Isso pode ser escrito como um sistema de equações X Z 2 X 2Y2Z 3 X 2Y 2Z 3 Podemos resolver esse sistema de equações usando a técnica de eliminação de Gauss Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos Y Z 1 Subtraindo a primeira equação da terceira obtemos 2Y Z 1 Subtraindo duas vezes a segunda equação da terceira obtemos Z 1 Substituindo esse valor em Y Z 1 obtenemos Y 0 Substituindo os valores encontrados em X Y Z 2 obtenemos X 1 Portanto podemos escrever 2 3 3 X1 1 1 Y0 1 1 Z1 2 2 1 1 1 1 2 2 Isso significa que o vetor 2 3 3 é uma combinação linear dos vetores 1 1 1 0 1 1 e 1 2 2 b Para mostrar que 0 0 1 não é combinação linear dos vetores 1 1 1 0 1 1 e 1 2 2 podemos tentar encontrar constantes XY e Z tais que X1 1 1 Y0 1 1 Z1 2 2 0 0 1 Isso equivale ao sistema de equações X Z 0 X Y 2Z 0 X Y 2Z 1 Seguindo a técnica de eliminação de Gauss podemos obter a seguinte forma escalonada 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 2 1 Subtraindo a segunda equação da terceira obtemos 0 0 3 1 A última equação indica que não existe solução para o sistema de equações já que não há uma combinação de constantes X Ye Z que satisfaça a equação 3Z 1 Portanto o vetor 0 0 1 não pode ser expresso como combinação linear dos vetores 1 1 1 0 1 1 e 1 2 2 6 a Os vetores 112 e 224 são linearmente dependentes LD pois o segundo vetor é um múltiplo escalar do primeiro vetor De fato podemos verificar isso ao observar que o segundo vetor é o dobro do primeiro vetor ou seja 224 2112 b Podemos verificar se os vetores 111 333 e 011 são linearmente dependentes LD ao tentar escrever um deles como combinação linear dos outros dois Começando com o terceiro vetor podemos escrevêlo como uma combinação linear dos dois primeiros vetores da seguinte forma 011 12111 12333 Isso significa que o terceiro vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos dois primeiros vetores Portanto os três vetores são linearmente dependentes LD Podemos verificar essa afirmação calculando a combinação linear 12111 12333 011 000 Como essa combinação linear não trivial resulta em um vetor nulo isso confirma que os três vetores são LD c Podemos verificar se os vetores 0101 1010 e 2323 são linearmente dependentes LD ao tentar escrever um deles como combinação linear dos outros dois Começando com o primeiro vetor podemos escrevêlo como uma combinação linear dos outros dois vetores da seguinte forma 0101 11010 2323 Isso significa que o primeiro vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros dois vetores Portanto os três vetores são linearmente dependentes LD Podemos verificar essa afirmação calculando a combinação linear 11010 2323 0101 0000 Como essa combinação linear não trivial resulta em um vetor nulo isso confirma que os três vetores são LD 7 a Podemos verificar se os vetores 1100 1010 0011 e 0101 são linearmente independentes LI ao tentar escrever um deles como combinação linear dos outros três Podemos começar com o quarto vetor e escrevêlo como uma combinação linear dos outros três vetores da seguinte forma 0101 121100 121010 120011 Isso significa que o quarto vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros três vetores Portanto os quatro vetores são linearmente dependentes LD Para confirmar que os quatro vetores são LD podemos calcular a combinação linear 121100 121010 120011 0101 0000 Como essa combinação linear não trivial resulta em um vetor nulo isso confirma que os quatro vetores são LD Portanto os quatro vetores não são LI b Para verificar se os vetores 112 121 e 311 são linearmente independentes LI precisamos verificar se existe alguma combinação linear não trivial desses vetores que resulte em um vetor nulo Podemos escrever essa combinação linear na forma a112 b121 c311 000 Ou de forma equivalente como um sistema de equações lineares a b 3c 0 a 2b c 0 2a b c 0 Podemos resolver esse sistema de equações utilizando a eliminação de Gauss ou outro método equivalente Uma forma de resolvêlo é subtrair a primeira equação da segunda e da terceira equações obtendo a b 3c 0 b 2c 0 a 2c 0 A partir da terceira equação podemos obter a 2c Substituindo esse valor na segunda equação encontramos b 4c Portanto as soluções para o sistema são da forma a 2c b 4c c c Isso significa que a combinação linear a112 b121 c311 000 tem apenas a solução trivial abc 000 Portanto os vetores são linearmente independentes LI Em outras palavras nenhum dos vetores pode ser expresso como uma combinação linear dos outros dois