Lista de Exercicios Resolvidos - Equacoes Diferenciais Exatas e Aplicacoes

Questão 3 Ainda não respondida Vale 334 pontos Marcar questão Considere a equação exata Mxydx e4xcos y 8x 1ydy 0 Encontre a alternativa que associa corretamente Mxy e a solução da EDO Escolha uma opção a Mxy 4e4x sen y 8y A solução da EDO é dada por e4xsen y 8xy ln y y2 C C R b Mxy 4e4x sen y 8y x A solução da EDO é dada por e4xsen y 8xy ln y x2 C C R c Mxy 4e4x sen y 8y e2x A solução da EDO é dada por e4x sen y 8xy ln y e2x C C R d Mxy 4e4x sen y 8y 1 A solução da EDO é dada por e4x sen y 8xy ln y x C C R e Mxy 4e4x sen y 8y y2 A solução da EDO é dada por e4x sen y 8xy ln y xy2 C C R Questão 2 Ainda não respondida Vale 333 pontos Marcar questão Numa fábrica há um tanque que inicialmente contém uma solução de 40 Kg da essência de uma tinta dissolvidos em 400 L de solvente É lançada no tanque a uma vazão de 10 Lmin uma outra solução em que cada 5 L contém 2 Kg de essência da tinta Suponha que a mistura resultante mantida homogênea durante todo o processo sai do tanque a uma vazão de 5 Lmin Nessas condições determine aproximadamente qual a quantidade em Kg da essência de tinta existente no tanque ao final de 60 minutos Escolha uma opção a 208 b 1505 c 2015 d 1051 e 2115 Questão 1 Ainda não respondida Vale 333 pontos Marcar questão Indique dentre as alternativas abaixo qual delas contém a solução da equação diferencial ty 2y et2 Escolha uma opção a yt t2 2 et2 K t2 K ℝ b yt t2 2 et2 K t2 K ℝ c yt t2 2 et2 K t2 K ℝ d yt t2 2 et2 K t2 K ℝ e yt t2 2 et2 K t2 K ℝ Questão 1 Temos a EDO t y 2 ye t 2 Manipulando temos y 2 t ye t 2 t Note que esta equação está no seguinte formato linear y p t yq t Logo a sua solução é y qe Pdt dt C e Pdt Calculando temos y e t2 t e 2 t dt dtC e 2 t dt y e t 2 t e 2lnt dtC e 2ln t y e t 2 t e lnt 2 dtC e ln t 2 y e t 2 t t 2dt C t 2 y e t 2 t 3 dtC t 2 yt 2 1 t 3 e t2dtCt 2 yt 2 t 3e t 2 dtCt 2 y 1 2 t 2 2t 3e t2dtC t 2 y 1 2 t 2 t 2 e t2dtCt 2 y 1 2 t 2 e t2 dt Ct 2 y1 2 t 2e t2Ct 2 Questão 2 Fazendo um balanço de massa em volume temos dV dt Q entraQ sai1055 l min Integrando temos VV 05t V4005t Fazendo um balanço de massa em peso de essência temos d m dt mentramsai d ρV dt ρentraQentraρQ sai ρ dV dt dρ dt Vρentra10ρ5 ρ5 dρ dt 4005t 2 510ρ5 dρ dt 4005t410 ρ Separando variáveis e integrando entre t0 e t60 temos dρ 410 ρ dt 4005t ρ0 ρ dρ 410 ρ 0 60 dt 4005t 1 10 ln410 ρρ0 ρ 1 5 ln4005t0 60 1 10 ln410 ρ 1 10 ln 410 ρ01 5 ln 400560 1 5 ln 400 1 10 ln 410 ρ0 410 ρ 1 5 ln1 560 400 ln 410 ρ0 410 ρ 2ln1560 400 ln 410 ρ0 410 ρ ln1 360 400 2 ln 410 ρ0 410 ρ ln1 36 40 2 410 ρ0 410 ρ 1 18 20 2 410 ρ 410 ρ0 1 9 10 2 10 ρ4 410 ρ0 1 9 10 2 ρ 4 10 4 10ρ0 1 9 10 2 ρ 4 10 4 10 40 400 1 9 10 2 ρ03168975 Logo a massa final é dada por mVρ m40056003168975 m211 8 kg Questão 3 Se a equação é exata temos M y e 4 xcos y8 x 1 y x M y 4e 4 xcos y8 Integrando em Y temos M4e 4 xsin y8 yK Como a equação é exata a solução é uC Onde u xM4e 4 xsin y8 y K u y e 4x cos y8x 1 y Integrando ambas equações obtemos ue 4x sin y8 x yKxg y ue 4x sin y8 x yln yh x Por comparação temos h x Kx e g y ln y logo ue 4x sin y8 xyln y E a solução é e 4 xsin y8xyKxln yC Tomando K1 a solução fica M4e 4 xsin y8 y1 e 4 xsin y8xyxln yC Questão 1 Temos a EDO 𝑡𝑦 2𝑦 𝑒𝑡2 Manipulando temos 𝑦 2 𝑡 𝑦 𝑒𝑡2 𝑡 Note que esta equação está no seguinte formato linear 𝑦 𝑝𝑡𝑦 𝑞𝑡 Logo a sua solução é 𝑦 𝑞𝑒 𝑃𝑑𝑡𝑑𝑡 𝐶 𝑒 𝑃𝑑𝑡 Calculando temos 𝑦 𝑒𝑡2 𝑡 𝑒 2 𝑡𝑑𝑡𝑑𝑡 𝐶 𝑒 2 𝑡𝑑𝑡 𝑦 𝑒𝑡2 𝑡 𝑒2 ln 𝑡𝑑𝑡 𝐶 𝑒2 ln 𝑡 𝑦 𝑒𝑡2 𝑡 𝑒ln 𝑡2𝑑𝑡 𝐶 𝑒ln 𝑡2 𝑦 𝑒𝑡2 𝑡 𝑡2𝑑𝑡 𝐶 𝑡2 𝑦 𝑒𝑡2 𝑡3 𝑑𝑡 𝐶 𝑡2 𝑦 𝑡2 1 𝑡3 𝑒𝑡2𝑑𝑡 𝐶𝑡2 𝑦 𝑡2 𝑡3𝑒𝑡2𝑑𝑡 𝐶𝑡2 𝑦 1 2 𝑡2 2𝑡3𝑒𝑡2𝑑𝑡 𝐶𝑡2 𝑦 1 2 𝑡2 𝑡2𝑒𝑡2𝑑𝑡 𝐶𝑡2 𝑦 1 2 𝑡2 𝑒𝑡2 𝑑𝑡 𝐶𝑡2 𝑦 1 2 𝑡2𝑒𝑡2 𝐶𝑡2 Questão 2 Fazendo um balanço de massa em volume temos 𝑑𝑉 𝑑𝑡 𝑄𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑄𝑠𝑎𝑖 10 5 5 𝑙 𝑚𝑖𝑛 Integrando temos 𝑉 𝑉0 5𝑡 𝑉 400 5𝑡 Fazendo um balanço de massa em peso de essência temos 𝑑𝑚 𝑑𝑡 𝑚𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑚𝑠𝑎𝑖 𝑑𝜌𝑉 𝑑𝑡 𝜌𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑄𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝜌𝑄𝑠𝑎𝑖 𝜌 𝑑𝑉 𝑑𝑡 𝑑𝜌 𝑑𝑡 𝑉 𝜌𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎10 𝜌5 𝜌5 𝑑𝜌 𝑑𝑡 400 5𝑡 2 5 10 𝜌5 𝑑𝜌 𝑑𝑡 400 5𝑡 4 10𝜌 Separando variáveis e integrando entre 𝑡 0 e 𝑡 60 temos 𝑑𝜌 4 10𝜌 𝑑𝑡 400 5𝑡 𝑑𝜌 4 10𝜌 𝜌 𝜌0 𝑑𝑡 400 5𝑡 60 0 1 10 ln4 10𝜌 𝜌0 𝜌 1 5 ln400 5𝑡 0 60 1 10 ln4 10𝜌 1 10 ln4 10𝜌0 1 5 ln400 5 60 1 5 ln400 1 10 ln 4 10𝜌0 4 10𝜌 1 5 ln 1 5 60 400 ln 4 10𝜌0 4 10𝜌 2 ln 1 5 60 400 ln 4 10𝜌0 4 10𝜌 ln 1 360 400 2 ln 4 10𝜌0 4 10𝜌 ln 1 36 40 2 4 10𝜌0 4 10𝜌 1 18 20 2 4 10𝜌 4 10𝜌0 1 9 10 2 10𝜌 4 4 10𝜌0 1 9 10 2 𝜌 4 10 4 10 𝜌0 1 9 10 2 𝜌 4 10 4 10 40 400 1 9 10 2 𝜌 03168975 Logo a massa final é dada por 𝑚 𝑉𝜌 𝑚 400 5 6003168975 𝑚 2118 𝑘𝑔 Questão 3 Se a equação é exata temos 𝑀 𝑦 𝑒4𝑥 cos 𝑦 8𝑥 1 𝑦 𝑥 𝑀 𝑦 4𝑒4𝑥 cos 𝑦 8 Integrando em Y temos 𝑀 4𝑒4𝑥 sin 𝑦 8𝑦 𝐾 Como a equação é exata a solução é 𝑢 𝐶 Onde 𝑢 𝑥 𝑀 4𝑒4𝑥 sin 𝑦 8𝑦 𝐾 𝑢 𝑦 𝑒4𝑥 cos 𝑦 8𝑥 1 𝑦 Integrando ambas equações obtemos 𝑢 𝑒4𝑥 sin𝑦 8𝑥𝑦 𝐾𝑥 𝑔𝑦 𝑢 𝑒4𝑥 sin 𝑦 8𝑥𝑦 ln 𝑦 ℎ𝑥 Por comparação temos ℎ𝑥 𝐾𝑥 e 𝑔𝑦 ln 𝑦 logo 𝑢 𝑒4𝑥 sin 𝑦 8𝑥𝑦 ln 𝑦 E a solução é 𝑒4𝑥 sin 𝑦 8𝑥𝑦 𝐾𝑥 ln 𝑦 𝐶 Tomando K1 a solução fica 𝑀 4𝑒4𝑥 sin 𝑦 8𝑦 1 𝑒4𝑥 sin 𝑦 8𝑥𝑦 𝑥 ln 𝑦 𝐶