Listas de Exercícios Resolvidos - Cálculo III - Integrais de Linha e Comprimento de Arco

SMA0355 Cálculo III Quarta Lista 1 Calcule 1 γ x² y² ds onde γt tt 1 t 1 2 γ 2xy y² ds onde γt t 1t 1 0 t 1 3 γ xyz ds onde γt cos t sen t t 0 t 2π 4 γ x y z ds onde γt t 2t 3t 0 t 1 2 Calcule a área da superfície vertical que é delimitada inferiormente pelo segmento dado por Γ₁ t t 2 t 0 0 t 1 e superiormente pelo arco dado por Γ₂ t t 2 t t² 0 t 1 3 Calcule o comprimento da cicloide γt at sen t a1 cos t 0 t 2π a 0 4 Se uma curva γ é dada em coordenadas polares pela equação r fθ α θ β f de classe C¹ mostre que seu comprimento é γ ds βα fθ² fθ² dθ 5 Calcule o comprimento da cardioide r a1 cos θ a 0 6 Calcule γ 1xy1 ds em que γ é o quadrado de vértices 00 10 11 e 01 Respostas 1 1 423 2 2 3 2π2 4 314 2 23 3 8a 4 Use a parametrização γθ fθ cos θ fθ sen θ 5 8a 6 2 ln 3 SMA0355 Cálculo III Quinta Lista 1 Calcule γ F T ds onde T é o vetor unitário tangente à curva γ nos seguintes casos 1 F x y i y j k γ é o segmento de reta de 0 0 0 a 1 1 1 2 F x i y j z k γ é dada por x cos θ y sen θ z θπ 0 θ 2π 2 Calcule γ F dr sendo dados 1 F x y z x i y j zk e γt cos t sen t t 0 t 2π 2 F x y x² j e γt t² 3 1 t 1 3 F x y x² i x y j e γt t sen t 0 t π 4 F x y z x² i y² j z² k e γt 2 cos t 3 sen t t 0 t 2π 3 Uma partícula deslocase em um campo de forças dado por F x y z y i x j z k Calcule o trabalho realizado por F no deslocamento da partícula de γa até γb sendo dados 1 γt cos t sen t t a 0 e b 2π 2 γt 2t 1 t 1 t a 1 e b 2 3 γt cos t 0 sen t a 0 e b 2π 4 Calcule γ x dx y dy sendo γ dada por x t² e y sen t 0 t π2 5 Calcule γ x dx y dy sendo γ o segmento de extremidades 1 1 e 2 3 percorrido no sentido de 1 1 para 2 3 6 Calcule γ x dx y dy z dz sendo γ o segmento de retas de extremidades 0 0 0 e 1 2 1 percorrido no sentido de 0 0 0 para 1 2 1 7 Calcule γ x dx dy 2 dz sendo γ a interseção do paraboloide z x² y² com o plano z 2x 2y 1 o sentido de percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de γt no plano xy caminhe no sentido antihorário 8 Calcule γ 2x dx dy onde γ tem por imagem x² y² 4 x 0 e y 0 o sentido de percurso é de 2 0 para 0 2 9 Calcule γ y4x² y² dx x4x² y² dy onde γ tem por imagem 4x² y² 9 10 Calcule γ ³x dx dy1y² onde γ é o quadrado centrado na origem e lado 2 11 Calcule γ F dr onde F x y x y² j e γ é a curva do exercício anterior SMA0355 Cálculo III Quinta Lista 12 Calcule γ x y dx exy dy onde γ é a fronteira do triângulo de vértices 0 0 0 1 e 1 2 Respostas 1 1 56 2 2 2 1 2π² 2 0 3 π³3 2 4 8π³3 3 1 2ππ 1 2 92 3 0 4 π⁴32 12 5 112 6 3 7 0 8 6 9 π 10 0 11 4 12 e³6 e2 56 J1 1 γ x2 y2 ds γt t t 1 t 1 1 γt γt 1 1 2 γt γt 12 12 2 3 11 t2 t2 2 dt 2 11 t2 dt 2 2t3311 2 43 423 2 γ 2xy y2 ds 1 γt γt 1 1 2 γt γt 12 12 2 3 01 2t 1t1t 1t2 2 dt 01 2t2 2 t2 2t 1 2 dt 01 3t2 2t 1 2 dt 2 t3 t2 t 01 2 SMA0355 Calculo III Sexta Lista 5 fx y z exyz yz z2 C 6 Nao e conservativo 7 fx y z Ax By Cz onde A B e C sao primitivas de a b e c respec tivamente 4 Calcule o gradiente de f Voce vai precisar derivar sob o sinal de integracao SMA0355 Cálculo III Sétima Lista 1 Calcule γ 2xy x2 dx x y2 dy sendo γ a curva fechada do domínio limitado entre y x2 e y2 x percorrida no sentido antihorário 2 Calcule γ F dr onde γ é a curva cujo traço é a fronteira de D 1 Fx y xy i 2x y j D é o retângulo 1 x 2 0 y 3 2 Fx y ex sen y i ex cos y j D é 0 x 1 0 y π2 3 Fx y 23 xy3 x2 y i x2 y2 j D é o triângulo de vértices 0 0 1 0 1 1 3 Usando o Teorema de Green calcule γ 2x2 y3 dx 3xy dy onde γ é o círculo x2 y2 1 4 Usando integral de linha calcule a área da região delimitada pelas curvas y x 2 e y x2 5 Usando integral de linha calcule a área da região no primeiro quadrante delimitada pelas curvas 4y x y 4x e xy 4 6 Calcule γ x dx y dyx2 y2 onde γ é o arco de parábola y x2 1 1 x 2 seguido pelo segmento de 2 3 a 1 0 7 Calcule o fluxo de F através de γ na direção de n a Fx y xi yj γ é a circunferência centrada na origem de raio 1 n e a normal unitário exterior b Fx y yj γ é a lateral do quadrado de vértices 0 0 1 0 1 1 e 0 1 n é normal unitário exterior c Fx y x2 i γ é a elipse x2 4 y2 1 n é normal unitário exterior d Fx y xi yj γt t t2 0 t 1 n é normal unitário apontando para baixo 8 Sejam f Ω R2 R uma função suave tal que 2 fx2 2 fy2 0 em Ω um aberto simplesmente conexo Mostre que o fluxo do campo gradiente de f através de uma curva fechada simples contida em Ω na direção de sua normal exterior é zero Respostas 1 130 2 1 272 2 0 3 14 3 π4 4 92 5 8 ln 2 6 0 mas não é pelo Teorema de Green Na verdade é possível usar o Teorema de Green para resolver este exercício mas é preciso usar uma região apropriada que não contenha a origem 7 a 2π b 1 c 0 d 13 8 Utilize o teorema da divergência no plano 2 γ 1 2xy y2 ds 1 γt γt 1 1 2 γt γt 12 12 2 3 01 2t 1t1 t t 12 2 dt 01 2t2 2 t2 2t 1 2 dt 01 3t2 2t 1 2 dt 2 t3 t2 t 01 2 11 3 γ xyz ds 1 γt γt s e n t cos t 1 2 γt γt sen² t cos² t 1 γt 2 3 ₀²π 2 sent cost t dt 2 1212 t cos2 t 14 sen2 t₀²Π 2 12 12 2 π 2 π2 4 γ x y z ds 1 γt γt 123 2 γt γt 1 4 9 γt 14 3 ₀¹ 1 2 t 3 t14 dt ₀¹ 6 14 dt 614 t²2₀¹ 614 12 3 14 2 1 Área A drdu drdv dudv 2 Parametrização i Superior u t v t² ii Inferior u t r 0 drdu 1 1 2 t drdv 0 0 t 3 drdu drdv i j k 1 1 2 t 0 0 t t t 0 4 drdu drdv t² t² 2t 5 A ₀¹ ₀ʷ 2 t dudr A ₀¹ 2 t² dv A 2 t³3₀¹ A 23 3 γt at sin t a 1 cos t 0 t 2π 1 comprimento L dxdt² dydt² dt i dxdt a 1 cos t ii dydt a sent L ₀²π a² 1 cos² t a² sen² t dt L a ₀²π 2 2 cos t dt L a 8 L 8a 41 1 γθ γθ Fθ cos θ Fθ sen θ γθ fθ cos θ Fθ sen θ fθ sen θ fθ cos θ 2 comprimento L ₐᵦ γθ dθ L ₐᵦ fθ cos θ Fθ sen θ² fθ sen θ fθ cos θ² dθ L ₐᵦ fθ² Fθ² dθ 51 1 comprimento de curva L integral from a to b of square root of r2 drdTheta2 d theta 2 d rd theta drd theta asen theta 3 L integral from 0 to 2 pi of square root of a21cos theta2 a2 sen2 theta d theta L a integral from 0 to 2 pi of square root of 22cos theta d theta L a 4 costheta202pi L 8a 61 1 integral from y of 1xt1 ds i 100 10 xt and y0 0t1 integral from 0 to 1 of 1t1 dt lnt1 evaluated from 0 to 1 ln2 ii 1011 x1 and yt 0t1 integral from 0 to 1 of 11t1 dt ln1t2 evaluated from 0 to 1 ln3 ln2 iii 1101 x1t and y1 0t1 integral from 0 to 1 of 12t dt ln2t evaluated from 0 to 1 ln2 iv 0100 x0 and y1t 0t1 integral from 0 to 1 of 12t dt ln2t evaluated from 0 to 1 ln2 2 integral 1xt1 ds ln3 41 1 1000 111 xt yt zt 0t1 1 T dxdt dydt dzdt T 111 2 integral x y y 1111 dt integral from 0 to 1 of t2 t 1 dt t33 t22 t evaluated from 0 to 1 13 12 1 56 2 1 dxd theta sen theta dyd theta cos theta dzd theta 1pi 2 integral from 0 to 2 pi of cos theta sen theta thetapisen theta cos theta 1pi d theta integral from 0 to 2 pi of cos theta sen theta sen theta cos theta thetapi d theta integral from 0 to 2 pi of 2 cos theta sen theta thetapi d theta 2 21 1 dr dr sen t cos t 1 2 integral from 0 to 2 pi of cos t sen t tsen t cos t 1 d t integral from 0 to 2 pi of cos t sen t sen t cos t t d t integral from 0 to 2 pi of t d t t22 evaluated from 0 to 2 pi 2 pi2 2 1 dr dr z t 0 2 integral from 1 to 1 of 0 t4z t 0 d t integral from 1 to 1 of 0 d t 0 21 3 1 dr dr1tcos t 2 0π t2 tsen t 1cos t d t 0π t2 t cos t sen t cos t d t t33 t sen t cos t sen2 t2 0π π33 1 1 π33 2 4 1 dr dr 2 sen t 3cos t 1 2 02π 4cos3 t 8 sen2 t t2 12 sen t 3 cos t 1 d t 02π 8 sen t cos3 t 27 sen3 t cos t t2 d t 83 cos3 t 8 sen3 t t33 02π 83 8π33 83 8π33 14 31 1 1 trabajo w F d r 2 dr dr sen t cos t 1 3 w 02π sen t cos t t sen t cos t 1 d t w 02π sen2 t cos2 t t d t w 02π 1 t d t w t t22 02π w 2π 2π2 w 2π 1 π 2 1 dr dr z 1 1 2 w 12 t t 2t 1 t 2 1 1 d τ w 12 2 t 2 2 t 1 t d τ w 12 t 3 d τ w t22 3 t 12 w 2 6 12 3 w 5 12 w 92 15 3 1 dr dr sen t 0 cos t 2 w 02π 0 cos t sen t sen t 0 cos t d t w 02π sen t cos t d t w sen2 t2 02π w 0 161 γ xdx ydy zdz ① ₀¹ x dx ₀² y dy ₀¹ z dz x²2 ₀¹ y²2 ₀² z²2 ₀¹ 12 2 12 3 171 ① Interseção z x² y² z 2x 2y 1 x² y² 2x 2y 1 x² 2x 1 y² 2y 1 1 x1² y1² 1 ② teorema de stokes ₛ rot ds 𝒸 F dr rot rot𝐅 i j k 2x 2y 2z x 1 z rot𝐅 0 ₛ 0 ds 0 181 γ 2x dx dy ① ₂⁰ 2x dx ₀⁰ dy x² ₀² y ₀⁰² 4 2 6 191 y 4x² y² dx x 4x² y² dy ① Élipse 4x² y² 9 x 32² y 3² 1 ② teorema de Green F₂x F₁y dA x x3 y y3 dA 13 13 dA 23 dA 23 A ③ Área A πab π323 π 92 ④ Resposta y4x²y² dx x4x²y² dy 23 π 92 π 101 r ³x 11y² dy ① teorema de Green 2F₂2x 2F₁2y dA 22x 11y² 22y³x dA 0 dA 0 121 ① 00 01 dx 0 y t₁ 0 t 1 exy dy ₀¹ et dt e1 ② 01 12 dy dx xy t t1 ₀¹ tt1 ett1 dt ₀¹ 1 e2t1 dt t e2t12 0¹ 1 e³2 e2 ③ 12 00 xy t1 2t2 dx dt dy 2 dt t 2 1 ₁² t1 2t 2 2et12t2 dt ₁² t 1 2 e3t3 dt 12 2 e³3 23 ④ Somando as 3 partes e 1 1 e³2 e2 12 2 e³3 23 e³6 e2 56 〇 sinal está trocado por causa do sentido adotado 111 ① rotF rotF i j k x y z F₁ F₂ F₃ rotF F₃y F₂z F₁z F₃x F₂x F₁y rotF 2y 2z 6x²z² 6x z² 66 rotF 000 ② potencial i f 2x z³ 6 y dx f x² z³ 6 xy Ayz ii f 6x 2 y z dz f 6xy y² z B xz iii f 3 x² z² 7 z² dz f x² z³ y² z C xy iv f x² z³ 6 xy y² z C ③ γ F dr f211 f111 41 621 1 1 6 3 4 12 1 1 6 1 17 31 Para ter função potencial rotF 0 I 1 rotF rotF F2x F1y rotF 3 x2 3 x2 0 II 2 Potencial i f 3 x2 y z dx f x3 y 2 x Ay ii f x3 4 y3 dy f x3 y y4 Bx iii f x3 y y4 2 x C 2 1 rotF rotF 2 x cos y 2 x cos y rotF 0 2 Potencial i f 2 x sen y 4 ex dx f x2 sen y 4 ex A y ii f x2 cos y z dy f x2 sen y 2 y Bx iii f x2 sen y 4 ex 2 y C 31 3 1 rot F rotF 6y2 senx 16 y2 senx rotF 0 2 potencial i f 2 y3 senx dx f 2 y3 cosx Ay ii f 6 y2 cosx 5 dy f 2 y3 cosx 5 y Bx iii f 2 y3 cosx 5 y C 4 1 rot F rotF 2 3 1 rotF 0 não é conservativo 3 5 1 rot F rotF F3 x F1 z F1 y F2 x F2 z F3 y rotF 0 0 0 2 Potencial i f y z ex y z dx f ex y z Axy ii f x z ex y z z dy f ex y z y z Bxz iii f x y ex y z y 2 z dz f ex y z y z z2 Cxy iv f ex y z y z z2 C 6 1 rot F rotF 1 1 0 0 0 1 rotF 0 0 1 rotF 0 não é conservativo 7 1 rot rotF 0 0 0 0 0 0 rotF 0 0 0 2 Potencial f Ax By Cz 4 F P i Q j R k f ₀ˣ Pxt0 dt ₀ʸ Qxyt0 dt ₀ᶻ Rxyzt dt 1 gradiente f fx fy fz i x ₀ˣ Pt00 dt Px00 teorema fundamental do cálculo ii y ₀ʸ Qxyt0 dt Qxy0 iii z ₀ᶻ Rxyt dt Rxyz f P Q R F fxyz Portanto fxyz é um Potencial de F 1 1 parametrização x t t 0 1 y t² dx dt dy 2t dt 2 Integral ₀¹ 2t t² t² dt t t⁴² dt 76 3 parametrização x t² t 0 1 y t dx 2t dt dy dt 4 Integral ₀¹ 2 t² t t⁴ 2 t dt t² t² dt 1715 5 subtraindo 76 1715 130 2 1 teorema de Green F₂x F₁y dA 2y x dx dy ₀³ ₀¹ 2y x dx dy ₀³ 2yx x²2 ₀¹ dy ₀³ 32 2 y dy 32 y y² ₀³ 272 2 1 teorema de green F₂x F₁y dA eˣ cos y eˣ cos y dA 0 dA 0 31 ① teorema de green F₂x F₁y dA 2xy² 2xy² x² dA x² dA ₀¹ ₀ˣ x² dy dx ₀¹ x³ dx x⁴4 ₀¹ 14 31 γ 2x²y³ dx 3xy dy ① teorema de green F₂x F₁y dx dy 3y 6x²y³ dx dy ₀²π ₀¹ 3 senθ 6 cos²θ senθ r dr dθ ₀²π 3 senθ 6 sen²θ cos²θ r²2 ₀¹ dθ 12 ₀²π 3 senθ 6 sen²θ cos²θ dθ π4 41 ① Interseção y k z y x² k² x z x² y 2 0 x 1 x 2 ② Integrando A γ y₂ y₁ dx A ₁² x 2 x² dx A x²2 2x x³3 ₁² A 2 4 83 12 2 13 A 92 51 ① Interseção 4y x y 4x xy 4 4y x 44x x x 0 xy 4 x4x 4 x 0 xy 4 xx4 4 x 4 x 4 ② Integral γ y₂ y₁ y₃ dx ₀¹ 4x dx ₁⁴ 1x dx ₀⁴ x4 dx 2 x² ₀¹ 4 lnx ₁⁴ x²8₀⁴ 2 4 ln 4 2 4 ln4 4 ln 2² 8 ln 2 61 ① teorema de green γ x dx y dy x² y² F₂x F₁y dA y1 2xy² x²² x1 2yy² x²² dA 0 dA 0 numa região que não contenha a origem 7 a 1 parametrização x cos t 0 t 2π y sen t 2 n n yt xt n cos t sen t 3 02π cos t sen t cos t sen t dt 02π cos²t sen²t dt 02π dt t 02π 2π b 1 parametrização x t y 0 x 1 y t 0 t 1 x 1 t y 1 x 0 y 1 t 2 n 0 1 3 01 01 dt 01 t1 dt 01 11 dt 01 1t1 dt 0 12 1 12 1 7 c 1 parametrização x 2cost y sent 2 n n yt xt n cos t 2sen t 3 02π 4cos²t0llcos t 2 sent dt 02π 4cos³t dt 4 sent sen³t 3 2π0 0 d 1 Parametrização x t y t² 2 n n 0 1 3 01 t t²0 1 dt 01 t² dt t³ 3 10 13 8 1 teorema da divergência F dA Fn ds 2 campo vetorial F fx fy F ²fx² ²fy² 0 em Ω 3 substituindo F dA Fn ds 0 dA Fn ds Fn ds 0