Resolva da Primeira Questão Até a Décima Primeira

12 QUESTAO 12 Esta questao envolve uma integracao sobre uma superfıcie utilizando o conceito de fluxo de um campo vetorial atraves de uma superfıcie Dados da questao Calcule a integral de superfıcie do campo vetorial F 2x 3y z atraves da superfıcie S onde S e a parte do plano x y z 1 no primeiro octante A integral de superfıcie que queremos calcular e SF n dS Onde n e o vetor normal a superfıcie Passo 1 Parametrizacao da superfıcie A equacao do plano e x y z 1 Para parametrizar a superfıcie pode mos expressar z como z 1 x y A superfıcie esta restrita ao primeiro octante o que significa que x 0 y 0 e z 0 Logo x e y variam de 0 a 1 e a regiao de integracao sera o triˆangulo no plano xy com vertices em 0 0 1 0 e 0 1 Passo 2 Vetor normal a superfıcie Para calcular o vetor normal n podemos usar o gradiente da equacao do plano x y z 1 O gradiente e x y z 1 1 1 1 Entao o vetor normal unitario n e dado por n 111 121212 111 3 Passo 3 Produto escalar F n Agora fazemos o produto escalar entre o campo F 2x 3y z e o vetor normal n 111 3 F n 1 32x 3y z Sabemos que z 1 x y entao substituımos z na equacao F n 1 3 2x 3y 1 x y 1 3x 2y 1 16