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QUESTÃO Calcule o volume de uma peça mecânica na qual a base está inscrita na Faixa Horizontal localizada no plano xy delimitada por y x12 y x e x 4 e o topo está no plano z fxy x² y² Utilize Faixa Horizontal VALOR 20 A região de integração é definida pelas curvas y x y x e x 4 A função que define o topo da peça é z fxy x² y² Para calcular o volume precisamos configurar e resolver uma integral dupla Primeiro vamos encontrar os pontos de interseção das curvas para determinar os limites de integração 1 Interseção de y x e y x x x x x² x² x 0 xx 1 0 x 0 ou x 1 Como y x os pontos de interseção são 00 e 1 1 2 Interseção de x 4 com y x e y x Para x 4 y 4 não é real então não há interseção Para x 4 y 4 4 Portanto o ponto de interseção é 44 Agora vamos configurar a integral dupla para calcular o volume Como estamos usando faixas horizontais vamos integrar em relação a x primeiro e depois em relação a y Os limites de integração para x são dados por x y² de y x e x y de y x Os limites de integração para y são de 0 a 4 O volume V é dado por V ₀⁴ yy² x² y² dx dy Primeiro integramos em relação a x yy² x² y² dx x³3 y²xyy² y²³3 y²y² y³3 y²y y⁶3 y⁴ y³3 y³ y⁶3 y⁴ 4y³3 Agora integramos em relação a y V ₀⁴ y⁶3 y⁴ 4y³3 dy y⁷21 y⁵5 y⁴30⁴ 4⁷21 4⁵5 4⁴3 1638421 10245 2563 Para somar essas frações precisamos de um denominador comum que é 21 5 105 V 16384 5 105 1024 21 105 256 35 105 81920 105 21504 105 8960 105 V 81920 21504 8960 105 112384 105 Portanto o volume da peça mecânica é 112384 105 Resposta final V 112384 105