Trabalho de Calculo Aplicado Resolucao de Integrais de Linha

ENGENHARIAS 1º TRABALHO DE CÁLCULO APLICADO 20222 A relação de exercícios foi postada em word para que o aluno faça a formatação de tal forma que se tenha cada enunciado seguido de sua respectiva resolução O trabalho poderá ser feito em grupo de no máximo três componentes e deverá ser entregue impreterivelmente na data estipulada Caso contrário o trabalho será considerado não realizado A resolução deverá conter enunciados digitados e as questões serão resolvidas à mão O trabalho é uma produção científica e como tal deverá ter uma formatação em conformidade com as normas Nos exercícios 1 a 5 calcule a integral de linha em que C é a curva dada 1 2 a b 3 4 5 Nos exercícios 6 a 11 calcule a integral de linha em que C é dada pela função vetorial 6 7 ENGENHARIAS 1º TRABALHO DE CÁLCULO APLICADO 20222 A relação de exercícios foi postada em word para que o aluno faça a formatação de tal forma que se tenha cada enunciado seguido de sua respectiva resolução O trabalho poderá ser feito em grupo de no máximo três componentes e deverá ser entregue impreterivelmente na data estipulada Caso contrário o trabalho será considerado não realizado A resolução deverá conter enunciados digitados e as questões serão resolvidas à mão O trabalho é uma produção científica e como tal deverá ter uma formatação em conformidade com as normas 8 9 10 Calcule o trabalho realizado pelo campo de força sobre o arco da parábola de 11 Uma das aplicações da integral de linha de um campo vetorial é o cálculo do escoamento de um fluido ao longo de uma curva Assim sendo se o campo de velocidade de um fluido é Calcule o escoamento deste fluido ao longo da hélice de equação Lista de integral de linha 1ºQ c x²y ds c é o quarto da circ x² y² 9 contido no 3º quadrante 1º passo parametrizar C x² y² 9 x 3cos t y 3sen t t π 3π2 2º passo substituir em F F x² y 9cos²t 3sent 3º passo ds 9cos² t 9sen² t dt ds 3 dt Daí c x² y ds π3π2 3 9cos²t sent 3 dt c x² y ds 81 π3π2 cost sent dt t μ π 1 3π2 0 μ cost dμ sent dt c x² y ds 81 1⁰ μ² dμ c x² y ds 81 μ³3 ₁⁰ c x² y ds 27 0 1 c x² y ds 27 2ºQ c x² y y dx onde c é a x y² de 12 a 42 1º passo parametrizar x t² y t 2º passo substituir x² y y t⁴ t t t⁵ t 3º passo dx 2t dt Daí c 1² t⁵ t 2t dt c x² y y dx 3256 b segmento de reta de 12 a 42 1º passo parametrizar p 12 t 31 x 1 3t y 1 t t 01 2 passo substituir x2y y 1 3t2 1 t 1 t 3 passo dx 3 dt Daí c 01 1 3t2 1 t 1 t 3 dt c 01 1 7t 15t2 9t3 1 t 3 dt Usando integral de polinômio e sabendo que 1 t dt 23 1 t32 c c 316 3 Q c x 2y dx x2 dy em que C consiste no segmento de reta de 00 a 21 seguindo do segmento de reta de 21 a 33 1 passo parametrações y 3 1 1 C1 C2 c 2 3 x C1 P 00 t21 x 2t t 01 y t C2 P 21 t 12 x 2 t t 01 y 1 2t 2 passo F x 2y x2 C1 F 2t 2t 4t2 4t 4t2 C2 F 2t t 2t 4t 2 t2 4 5t 2 t2 3 passo dr 21 dt C2 dr 12 dt Daí c c1 c2 c 01 4t 4t2 21 dt 01 4 5t 2 t2 12 dt c 01 8t 4t2 dt 01 4 5t 2 2 t2 dt c 8t22 4t33 01 01 4 5t 24 4t t2 dt c 4t2 43 t3 01 01 4 5t 8 8t 2t2 dt c 4 43 01 12 13t 2t2 dt c 163 12t 13t22 2t3301 c 163 12 132 23 c 245 F Q c x2 y2 z2 ds C xt ycos2t zsen2t 0 t 2 1 passo Fxyz Fσt Fσt t2 cos22t sen22t Fσt t2 1 2 passo ds σt dt σt 1 2sen2t 2cos2t σt 1 4sen22t 4cos22t dt 1 4 dt σt 5 dt Daí c 02 t2 1 5 dt c 5 02 t2 1 dt c 5 t33 t02 5 83 2 c 14 5 3 c xy eyz dy c xt yt2 zt3 0 t 1 1º passo Fxyz Fσt Fσt t3 et5 2º passo dy 2 t dt Daí c xy eyz dy 01 t3 et5 2 t dt c 01 2 t4 et5 dt 2 01 t4 et5 dt t4 et5 dt μ t5 dμ5 t4 dt dμ5 Note que é melhor usarmos substituição t5 μ 5 t4 dt dμ t4 dt dμ5 c 2 01 dμ5 eμ 25 01 eμ dμ c 25 eμ 01 25 e1 e0 c 25 e 1 c F d r onde F xyz xy î yz ĵ z2 k e c r t t2 î t3 ĵ t4 k 0 t 1 1º passo F xyz F σt F σt t2 t3 î t3 t2 ĵ t4 k F σt t2 t3 t3 t2 t4 2º passo d r σt dt σt 2t 3t2 2t dt Daí c F d r 01 t2 t3 t3 t2 t4 2t 3t2 2t dt c F d r 01 2t3 2t4 3t5 3t4 2t5 dt 01 2t3 t4 5t5 dt c 2 t44 t55 5 t66 01 12 15 56 c 1715 7Q c F d r onde F sen x î cos y ĵ x z k C r t t³ î t² ĵ t k 0 t 1 1 passo F xyz F σt F σt sen t³ cos t² t⁴ 2 passo σt dt d r σt 3t² 2t 1 Daí c F d r 01 3t² sent³ 2t cos t² t⁴ dt 01 3t² sent³ dt t³ μ dμ 3t² dt 01 3t² sent³ dt 01 senμ dμ cos μ01 cos 1 1 01 3t² sen t³ dt 1 cos1 01 2t cos t² dt t² μ 2t dt dμ 01 2t cos t² dt 01 cos μ dμ sen μ01 sen1 01 t⁴ dt t⁵5 01 02 c F d r 1 cos1 sen1 02 c F d r 12 cos1 sen1 radianos c F d r 018 β Q F xyz xy xy C r t cos t sen t t 0 t π Calcular c F d r F xyz F σt cos t sen t cos t sen t d r σt dt sen t cos t 1 dt c F d r 0π cos t sen t cos t sen t sen t cos t 1 dt c F d r 0π cos t sen t sen t cos t cos t sen t dt c F d r 0π cos t sen t dt 12 0π sen2t dt c F d r 12 12 cos2t 0π 14 cos2π cos 0 c F d r 14 0 0 c F d r 0 gQ c F d r F xyz x² y C x y² de 42 a 11 1 passo Parametrizar C x t² y t 1 t 2 observe que o t na verdade varia de 2 até 1 portanto devemos colocar um sinal de na integral 2 passo substituir F σt t⁴ t 3 passo d r σt dt 2t 1 dt Daí c F d r 12 t⁴ t 2t 1 dt c F d r 12 2tt⁵ t dt t⁶3 t²2 12 1 2 c F d r 643 2 13 12 c F d r 195 10Q Trabalho de Fxy xyî yxĵ sobre a parábola x 4 y² de 3 3 até 31 c F d r Trabalho 1º passo Parametrizar c x4 t² yt com 3 t 1 2º passo F xy F σt 4t t³ t4 t² 3º passo d r σtdt 2t 1dt c F d r 3¹ 4t t³ t 4 t²2t 1 dt c F d r 3¹ 8t² 2t⁴ t 4 t² dt c F d r 3¹ 2t⁴ 7t² t 4 dt c F d r 3¹ 2t⁵5 7t³3 t²2 4t ¹₃ c F d r 25 73 12 4 4865 1893 92 12 c F d r 16330 27710 1227 11Q c V d r V xyz xzy c r t cos t sen t t 0 t π2 1º passo F xyz V xyz V σt V σt cos t t sen t 2º passo d r σt dt d r sen t cos t 1 dt Daí c V d r cos t t sen tsen t cos t 1 dt c V d r ₀π2 sen t cos t t cos t sen t dt ₀π2 sen t cos t dt 12 ₀π2 sen 2t dt 12 12 cos 2t₀π2 12 ₀π2 t cos t dt μt dμ dt dv cos t dt v sen t ₀π2 t cos t dt t sen t ₀π2 ₀π2 sen t dt cos t ₀π2 1 Daí ₀π2 t cos t dt π2 1 ₀π2 sen t dt cos t ₀π2 cos t π2₀ 1 0 1 Logo c V d r 12 π2 1 1 c V d r π2 12