Trabalho de Cálculo B

Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias DISCIPLINA DE CÁLCULO B TRABALHO EM GRUPO OU INDIVIDUAL Turmas M3 e T3 2 semestre de 2024 Data de entrega até 1 de março de 2025 Prof Marco Rodrigues INSTRUÇÕES E RECOMENDAÇÕES A utilização de qualquer ferramenta eg sites softwares matemáticos e gráficos inteligências artificiais aplicativos modelos experimentais etc é permitida e recomendada A apresentação de tabelas gráficos desenhos e outras figuras é importante O TRABALHO DE CADA GRUPO DEVE SER ENTREGUE EM UM ÚNICO ARQUIVO NO FORMATO PDF SOMENTE PELO EAULA PONTUAÇÃO DE CADA QUESTÃO Este trabalho vale 3 PONTOS na nota final da disciplina Cada questão vale 110 da nota do trabalho Clareza apresentação e organização fazem parte dos critérios de correção do trabalho PARTE 1 QUESTÕES SOBRE SÉRIES Sorteie ou escolha aleatoriamente 4 números de 2 até 9 Esses serão os valores respectivamente das constantes a b c e d utilizados nos próximos 4 exercícios Caso queira sorteálos use algum site como por exemplo httpssorteadorcombr O valor da constante a será igual ao primeiro número sorteado O valor da constante b será igual ao segundo número sorteado O valor da constante c será igual ao terceiro número sorteado O valor da constante d será igual ao quarto número sorteado Escreva quais números você sorteou Exemplo Se o resultado do seu sorteio for 7 2 9 e 5 então o valor de a nos próximos exercícios será igual à 7 o valor de b será 2 o de c será 9 e o de d será 5 QUESTÃO 1 Escolha 2 4 se for dupla 6 se for trio funções entre aquelas apresentadas abaixo Defina se essas séries são convergentes ou divergentes a 𝐛𝐤𝐚 𝐤𝐚 𝐤𝟎 b 𝐛𝐤 𝐤𝐚 𝐤𝟎 c 𝐚𝐤𝐜𝐛𝐤𝐝𝐜𝐤 𝐛𝐤𝐚𝐚𝐤𝐛𝐝𝐤𝒄 𝐤𝟎 d 𝐜𝐨𝐬𝟐𝐛𝐤𝐝𝐤 𝐞𝐤𝟏 𝐤𝟎 e 𝐤𝐚𝐛𝐤 𝐤𝐝𝟏 𝐤𝟎 f 𝟏𝐝𝐤𝐤𝐝 𝐤𝐝 𝐤𝟎 QUESTÃO 2 Escolha 2 4 se for dupla 6 se for trio funções entre aquelas apresentadas abaixo se existirem estabeleça os valores da variável x que fazem com que essas funções sejam convergentes Em outras palavras defina o intervalo de convergência das séries escolhidas a 𝒙𝐤𝐚 𝐤 𝐤𝟎 b 𝒙 𝐚 𝐛𝐤 𝐤𝟎 c 𝐬𝐞𝐧𝒙𝐜 𝐤 𝐤𝟎 d 𝟏𝐤 𝒙𝐤𝐝 𝐞𝐤 𝐤𝟎 e 𝒙𝐤 𝐥𝐧𝐤𝐝 𝐤𝟎 f 𝐜 𝒙 𝐤 𝐤𝟎 𝐛𝐤 QUESTÃO 3 Determine a série de Taylor em torno de 𝒙 𝒂 com 𝐛 termos de 2 4 se for dupla 6 se for trio funções quaisquer a sua escolha Apresente os cálculos QUESTÃO 4 Represente graficamente as funções e as séries da questão 3 recomenda se usar softwares ou sites Escreva uma análise dos resultados com foco nos erros de cada aproximação PARTE 2 QUESTÕES SOBRE VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA Realize o sorteio novamente Sorteie ou escolha aleatoriamente 4 novos números de 2 até 9 Esses serão os novos valores respectivamente das constantes a b c e d utilizados nos próximos 6 exercícios Escreva os novos valores de a b c e d QUESTÃO 5 Verifique se as retas s 𝒙𝐚 𝐝 𝐛𝒚 𝒛𝐚 𝐜 e a reta t que possui vetor direcional 𝒗 𝐝 𝐚 𝐛 e passa no ponto 𝐀𝐜 𝐝 𝐚 são reversas paralelas ortogonais ou perpendiculares Caso elas se interseccionem determine sua intersecção QUESTÃO 6 a Determine um plano que contenha os vetores 𝒗 𝐚 𝐛 𝐜 e 𝒖 𝐜 𝐚 𝐛 e passe no ponto 𝐀𝐜 𝐛 𝐚 Apresente o gráfico deste plano e determine sua intersecção com os planos coordenados plano 𝐱𝐎𝐲 plano 𝐱𝐎𝐳 e plano 𝐲𝐎𝐳 QUESTÃO 7 Apresente o gráfico no espaço cartesiano bidimensional de 2 4 se for dupla 6 se for trio das curvas dadas pelas equações a seguir faça em 2D ou se preferir considere que estão contidas no plano 𝒛 𝟎 a 𝑦 d2 b𝑥 c b a𝑥2 b𝑦 c𝑥 7d 0 c 𝑥c2 d2 𝑦b2 c2 1 d c𝑥2 d𝑦2 9d a𝑥 b𝑦 e 𝑥2 c2 𝑦b2 a 1 f 𝑥2 d𝑦2 b𝑦 c𝑥 8a 0 QUESTÃO 8 Ainda no espaço cartesiano bidimensional quanto as curvas que você desenhou na questão 7 a determine se elas se intersectam entre si b determine sua intersecção com os eixos x e y se existirem e c determine sua intersecção com uma reta com vetor direcional 𝒗 𝐚 𝐛 que passa na origem QUESTÃO 9 No espaço cartesiano tridimensional 3D faça a translação paralelamente ao eixo z de 1 2 se for dupla 3 se for trio das curvas da questão 7 Esse processo que é chamado extrusão formará uma superfície cilíndrica parabólica hiperbólica ou elíptica a apresente seu gráfico b determine se existir a intersecção dessa superfície com o plano 𝐚𝒙 𝐛𝒚 𝐜𝒛 𝐝 𝟎 QUESTÃO 10 Escolha 2 4 se for dupla 6 se for trio superfícies quádricas abaixo a apresente seu gráfico b determine se existir a interseção entre duas dessas quádricas independentemente do número de integrantes do grupo escolha somente duas para verificar a intersecção a 𝒙𝐚𝟐 𝐛𝟐 𝒚𝐝𝟐 𝐜𝟐 𝒛 𝐚 b 𝒙𝐚𝟐 𝐛𝟐 𝒚𝐛𝟐 𝐚𝟐 𝒛𝐜𝟐 𝐝𝟐 𝟏 c 𝒙𝐝𝟐 𝐜𝟐 𝒚𝐚𝟐 𝐝𝟐 𝒛𝐛𝟐 𝐚𝟐 𝟏 d 𝒙𝐛𝟐 𝐝𝟐 𝒚𝐚𝟐 𝐛𝟐 𝒛𝐜𝟐 𝐚𝟐 𝟏 e 𝒙𝐜𝟐 𝐚𝟐 𝒚𝐛𝟐 𝐜𝟐 𝒛 𝐝 f 𝒙𝐝𝟐 𝐚𝟐 𝒚𝐛𝟐 𝐛𝟐 𝒛 𝐛𝟐 BOM ESTUDO E UM EXCELENTE TRABALHO Dados Iniciais Valores fornecidos a 2 b 3 c 5 d 9 1 a Reindexando a série para m k 2 sum from m2 to infinity of 3m m Essa série é uma cauda da série exponencial e3 sum from m0 to infinity of 3m m que converge absolutamente para todo m Portanto a série dada converge Convergente f Observamos que O termo 19k k9 alterna o sinal pois 9k k9 é inteiro O denominador k9 cresce mais rapidamente que qualquer crescimento do numerador Comparando com a série sum from k0 to infinity of 1 k9 que converge pois é a cauda da série de e1 e aplicando o Teste de Leibniz para séries alternadas concluímos que a série converge Convergente 2 a Reescrevendo a série sum from k0 to infinity of xk k x2 1 x2 sum from k0 to infinity of xk k A série sum from k0 to infinity of xk k converge para todo x R série exponencial Portanto a série original converge para x 0 Convergente para x R 0 b Esta é uma série geométrica com razão r x23 A série converge se r 1 x3 8 1 x3 8 x 2 Convergente para x 2 3 Função 1 fx ex em x a 2 com b 3 termos A série de Taylor para ex em torno de x 2 é ex sum from n0 to infinity of e2 n x 2n Com 3 termos ex e2 x 20 0 x 21 1 x 22 2 e2 1 x 2 x 22 2 ex e2 1 x 2 x 22 2 Função 2 fx sinx em x a 2 com b 3 termos As derivadas de sinx em x 2 são f2 sin2 f2 cos2 f2 sin2 A série com 3 termos sinx sin2 cos2x 2 sin22 x 22 sinx sin2 cos2x 2 sin22 x 22 4 Observação Utilize o software mesmos para gerar os gráficos abaixo comparando as funções originais com suas aproximações por Taylor Grafico 1 ex vs Aproximacao de Taylor Analise A aproximacao e precisa perto de x 2 mas o erro aumenta rapidamente para x 2 1 Erro dominado pelo termo e2 6 x 23 termo seguinte nao incluıdo Grafico 2 sinx vs Aproximacao de Taylor 3 Analise Aproximacao captura bem a curvatura perto de x 2 mas falha para x distantes devido a natureza oscilatoria de sinx Erro proporcional a cos2 6 x 23 4