Calculo de Varias Variaveis - UFPB - CCEN - Departamento de Matematica

Antônio de Andrade e Silva Marivaldo Pereira Matos Cálculo de Várias Variáveis UFPB CCEN Departamento de Matemática Cálculo de Várias Variáveis Antônio de A e Silva Marivaldo P Matos Prefácio Este texto é produto da experiência dos autores quando ministraram por diversas vezes disciplinas envolvendo cálculo diferencial e integral para os cursos de Ciências Exatas e Engenharias da UFPB e de Licenciatura em Matemática a Distância da UFPBVirtual O principal objetivo deste texto é fazer com que os alunos compreendam com clareza os conceitos envolvendo funções de várias variáveis de um ponto de vista geométrico e algébrico e desenvolvam a capacidade de modelar problemas matemáticos e provas envolvendo conceitos topológicos bem como as noções intuitivas de limites continuidade derivadas parciais diferenciabilidade comportamento de funções integrais de linha e de superfície O público a que o livro se destina são os estudantes com conhecimento prévio de cálculo diferencial e integral equivalente a um período letivo familiarizados com as ideias de derivada e integral em seus aspectos fundamentais e com uma noção razoável sobre simbologia e lógica matemática de modo a compreender etapas que vão da formulação à demonstração de resultados matemáticos pouco sosticados Conhecimentos básicos sobre cálculo vetorial retas planos cônicas e quádricas são recomendados mas não indispensáveis É nossa expectativa que este texto assuma o carater de espinha dorsal de uma experiência perma nentemente renovável sendo portanto bem vindas as críticas eou sugestões apresentadas por todos professores ou alunos que dele zerem uso Os termos ou expressões que consideramos pouco comuns foram grafados em itálico e indicam que estão sendo denidos naquele ponto do texto ou que serão formalizados nas seções ou capítulos posteriores Como parte do processo de treinamento e para desenvolver a capacidade do estudante de pensar por si mesmo em termos das novas denições incluímos no nal de cada seção uma extensa lista de exercícios O livro é composto de uma parte sobre cálculo diferencial e outra sobre cálculo integral onde apresentamos os conceitos e métodos fundamentais com vistas às aplicações Por se tratar de um texto de cálculo julgamos conveniente omitir a demonstração de alguns resultados principalmente na parte de cálculo integral mas levando em consideração dois aspectos primeiro a formulação matemática adequada e depois a exemplicação de como utilizálos No capítulo 1 apresentaremos algumas denições e resultados sobre conceitos topológicos funções reais de duas ou mais variáveis reais limites e continuidade que serão necessárias para o entendimento dos próximas capítulos No capítulo 2 apresentaremos as denições de derivadas parciais diferenciabilidade Regra da Cadeia derivada direcional e gradiente que serão necessárias para as aplicações No capítulo 3 apresentaremos os problemas de maximazação e minimização o Método dos Multi plicadores de Lagrange derivação implícita e transformações No capítulo 4 apresentaremos algumas denições e resultados sobre integrais múltiplas e mudança de coordenadas No capítulo 5 apresentaremos algumas denições e resultados sobre campos de vetores funções vetoriais integrais de linha e independência do caminho Finalmente no capítulo 6 apresentaremos os conceitos de superfícies parametrizadas e integrais de superfície além dos teoremas clássicos do cálculo integral Teorema de Green Teorema da Divergência de Gauss e o Teorema de Stokes Agradecimentos Os autores reconhecem e agradecem a gentileza dos colegas Ailton Ribeiro de Assis Inaldo Bar bosa de Albuquerque João Bosco Batista Lacerda João Bosco Nogueira Jorge Costa Duarte Filho José Gomes de Assis e Shirley Santos e Souza todos do Departamento de Matemática do CCEN UFPB pelas sugestões incorporadas ao texto e sobretudo pelo encorajamento para realizar esta obra Agradecemos especialmente a Luizalba Santos e Souza pela leitura cuidadosa e revisão linguística da primeira versão Aos nossos inúmeros exalunos que de alguma forma contribuíram para o sucesso deste trabalho registramos nossos sinceros agradecimentos Antônio de A e Silva Marivaldo P Matos Sumário 1 Campos Escalares 1 11 Conceitos Topológicos 1 111 Posição Relativa Ponto Conjunto 2 Exercícios e Complementos 7 12 Funções Reais de Várias Variáveis 8 Curvas e Superfícies de Nível 10 Exercícios e Complementos 12 13 Limite e Continuidade 13 131 Motivação 13 132 Conceito e Regras 14 133 Continuidade 21 Exercícios e Complementos 24 Respostas Sugestões 27 Seção 11 conceitos topológicos 27 Seção 12 funções de várias variáveis 28 Seção 13 limite e continuidade 30 2 Diferenciabilidade 33 21 Derivadas Parciais 33 211 Derivadas Parciais de Ordem Superior 35 212 Exemplos Clássicos I 38 Exercícios e Complementos 39 22 Campos Diferenciáveis 40 221 A Diferencial 46 222 A Derivada como Aplicação Linear 48 223 Exemplos Clássicos II 49 Exercícios e Complementos 50 23 Regra da Cadeia 51 Exercícios e Complementos 54 24 Derivada Direcional e Gradiente 56 241 Variação Estimada 60 242 Reta Tangente e Reta Normal 61 Exercícios e Complementos 64 Respostas Sugestões 67 Seção 21 derivadas parciais 67 Seção 22 campos diferenciáveis 69 vi SUMÁRIO Seção 23 regra da cadeia 71 Seção 24 derivada direcional e gradiente 73 3 Derivadas aplicações 79 31 Máximos e Mínimos 78 311 Classicação dos Pontos Críticos 83 312 Funções Contínuas em Compactos 88 Exercícios e Complementos 91 32 Multiplicadores de Lagrange 92 321 Considerações Finais 98 Exercícios e Complementos 101 33 Derivação Implícita 102 331 Uma Equação e duas Variáveis 103 332 Uma Equação e três Variáveis 106 333 Duas Equações e quatro Variáveis 107 Exercícios e Complementos 109 34 Transformações 110 341 Coordenadas Polares Cilíndricas e Esféricas 114 Exercícios e Complementos 116 Respostas Sugestões 119 Seção 31 máximos e mínimos 119 Seção 32 multiplicadores de lagrange 120 Seção 33 derivação implícita 123 Seção 34 transformações 125 4 Integrais Múltiplas 129 41 Integral Dupla 128 411 Integral Dupla sobre Retângulos 129 412 Integral Dupla sobre Regiões não Retangulares 133 413 Invertendo a Ordem de Integração 138 414 Considerações Físicas 141 415 Integral Dupla Imprópria 144 Exercícios e Complementos 145 416 Mudança de Variável em Integral Dupla 147 Exercícios e Complementos 155 42 Integral Tripla 157 421 Mudança de Variável em Integral Tripla 160 422 Considerações Físicas 163 Exercícios e Complementos 165 Respostas Sugestões 166 Seção 41 integral dupla 166 Seção 416 mudança de variável 167 Seção 42 integral tripla 168 CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS SUMÁRIO vii 5 Integral de Linha 171 51 Campos Vetoriais 172 511 Operadores Diferenciais 176 Exercícios e Complementos 179 52 Caminhos Regulares 181 521 Curvas Orientadas 183 Exercícios e Complementos 189 53 Calculando Integral de Linha 190 531 Integrando um Campo Vetorial 190 532 Integrando um Campo Escalar 194 533 Considerações Físicas 197 Exercícios e Complementos 199 54 Independência do Caminho 201 541 O Potencial como Integral de Linha 208 Exercícios e Complementos 210 55 O Teorema de Green no Plano 211 551 Regiões Multiplamente Conexas 215 552 Aplicações do Teorema de Green 216 Exercícios e Complementos 220 Respostas Sugestões 221 Seção 52 221 Seção 53 223 Seção 54 224 Seção 55 225 Seção 56 226 6 Integral de Superfície 229 61 Superfícies Regulares 227 611 Superfícies Orientadas 234 Exercícios e Complementos 237 62 Área de uma Superfície 238 621 Forma Parametrizada 243 Exercícios e Complementos 246 63 Integral de Superfície 247 631 Massa Centro de Massa e Momento de Inércia 251 632 Integrando Formas Diferenciais 253 Exercícios e Complementos 255 64 Fluxo e o Teorema de Gauss 256 641 Considerações Físicas 262 Exercícios e Complementos 265 65 Circulação e o Teorema de Stokes 267 651 Interpretação do Rotacional 275 Exercícios e Complementos 276 viii SUMÁRIO Respostas Sugestões 277 Seção 61 277 Seção 62 278 Seção 63 279 Seção 64 280 Seção 65 281 Referências Bibliográcas 285 Índice Remissivo 287 4 Já vimos que a distância da origem a um ponto P xyz dessa curva é dada por dO P x² y² z² Portanto devemos maximizar a função fxyz x² y² z² ou seja gt fttt 1 sen t2² Como gt 2 sen t2 cos t2 sen t 0 temos que t kπ k Z são os pontos críticos de g Logo gt cos t 0 em t π 2mπ m Z Portanto P 101 e Q 101 são os pontos desejados 5 Vamos fazer um esboço da solução por isso tente completar a Note que se z fxy expx²y² então fx 2x expx²y² e fx 2 y expx²y² Logo f 00 se e somente se x 0 e y 0 Assim 00 é o único ponto crítico de f e f00 1 Agora se fixarmos y 0 e x 0 então gx fx0 expx² com limx gx e limx gx 0 isto é g é estritamente crescente Neste caso g não tem máximo e nem mínimo absoluto Se fixarmos x 0 e y 0 então hx f0y expy² com limy hy 0 e limy hy isto é h é estritamente decrescente Neste caso não tem máximo e nem mínimo absoluto Portanto f não tem máximo e nem mínimo absoluto b Não tem mínimo absoluto A origem é um ponto de máximo com valor máximo c Não tem máximo absoluto Os pontos Pk 2 kπ π4 e Qk 2 kπ 5π4 k Z são pontos de mínimo absoluto com o valor mínimo igual a 2 6 Como fx 2x1 y³ e fy 3x²1 y² 2y temos que fxy 00 se e somente se 2x1 y³ 0 e 3x²1 y² 2y 0 Logo x 0 ou y 1 Se x 0 então y 0 Se y 1 então 2 0 o que é impossível Assim 00 é o único ponto crítico de f e f00 0 Note que fxxxy 21 y³ fxyxy 6x1 y² e fyyxy 6x²1 y 2 Daí se P00 então B² AC 0² 2 2 4 0 e A 2 0 Assim P00 é um ponto de mínimo local de f Agora veja o item a do Exercício 5 7 14C e 32C são os valores de menor e maior temperatura na placa nos pontos 012 e 32 12 respectivamente Seção 32 multiplicadores de Lagrange Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange obtemos pontos de máximo pontos de mínimo a 34 45 34 45 b π8 π8 5π8 3π8 c não há 4 4 d 33 33 33 pontos da curva e 10 e 0 1 12 12 f 23 23 23 Px y z tal que x 0 ou y 0 ou z 0 g 13 13 13 13 13 13 h 611 12611 13611 pontos do plano x y z 0 i não há 619 119 j 1 2 não há d 1 u c P 14 14 e Q 14 14 d 24 u c P 0 168 468 e Q 0 168 468 d 025 u c x y z k3 P 1 2 5 P 85 25 d 105 1 u c f π3 π3 338 Máximo no ponto M 1 0 e mínimo no ponto m 14 12 O maior valor da expressão xy z é 1 e ocorre quando x 22 y 22 e z 2 ou x 22 y 22 e z 2 P 16 13 35536 P1 1 1 1 P2 1 1 1 P3 1 1 1 e P4 1 1 1 Já vimos que a distância da origem a um ponto P x y dessa hipérbole é dada por dO P x² y² Portanto devemos minimizar a função fx y x² y² sujeita à restrição gx y x² 8xy 7y² 225 É fácil verificar que fx y 2x 2y e gx y 2x 8y 8x 14y Logo gx y 0 0 se e somente se x y 0 Como g0 0 0 temos que existe um λ R tal que fx y λgx y 0 0 com x y satisfazendo gx y 0 Agora vamos resolver o sistema para obtermos os pontos críticos de f 2x λ2x 8y 0 2y λ8x 14y 0 x² 8xy 7y² 225 0 As duas primeiras equações desse sistema são equivalentes a 1 λx 4λy 0 4λx 1 7λy 0 e se λ 0 ou λ 1 então x y 0 é uma solução do sistema o que é impossível pois g0 0 0 Logo λ 0 e λ 1 Assim x 4λ1 λ y 16λ1 λ 1 7λ y 0 λ 17 ou λ 1 pois y 0 Se λ 17 então y 2x Logo a equação x² 16x² 28x² 225 0 tem soluções x 151313 Portanto 151313 301313 e 151313 301313 são os pontos mais próximos da origem pois se λ 1 então x 2y Logo a equação 4y² 16y² 7y² 225 0 não tem solução Portanto dO P 156513 u c Como fxx y y² 2 0 em todos os pontos do interior de D temos pelo Teorema de Weierstrass que os pontos de máximos e mínimos de f ocorrem na fronteira de D Sejam 1 θ as coordenadas polares do ponto x y X Então x cos θ e y sen θ para todo θ 0 2π Assim P cos θ sen θ percorre toda a fronteira de X Como gθ fcos θ sen θ cos θ sen² θ 2 cos θ sen⁴ θ 1 temos que gθ sen³ θ 2 sen θ cos² θ 2 sen θ 4 cos θ sen³ θ sen³ θ 4 cos θ 3 0 se e somente se θ 0 θ π cos θ 34 e sen θ 176 Assim P 1 0 Q 1 0 R 34 74 e S 34 74 É fácil verificar que fP 1 fQ 3 e fR fS 823256 3 ou seja P é ponto de mínimo e R S pontos de máximos Outra maneira de resolver o problema é via Multiplicadores de Lagrange Seja gx y x² y² 1 Então é fácil verificar que fx y y² 2 2xy 4y³ e gx y 2x 2y Logo gx y 0 0 se e somente se x y 0 Como g0 0 0 temos que o ponto 0 0 não está na curva Assim existe um λ R tal que fx y λgx y 0 0 com x y satisfazendo gx y 0 Logo devemos resolver o sistema para obtermos os pontos críticos de f y² 2 2λx 0 2xy 4y³ 2λy 0 x² y² 1 0 Note que a segunda equação xy 2y³ λy 0 yx 2y² λ 0 Logo temos duas possibilidades se y 0 obtemos x 1 Se y 0 então x 2y² λ 0 λ x 2y² Substituindo na primeira equação e usando a terceira obtemos y² 2 2x² 4xy² 0 1 x² 2 2x² 4x1 x² 0 4x³ 3x² 4x 3 0 Assim x 34 pois x 1 y 0 Portanto os pontos críticos são P 1 0 Q 1 0 R 34 74 e S 34 74 É fácil verificar que fP 1 fQ 3 e fR fS 823256 3 ou seja P é ponto de mínimo e R S pontos de máximos d 1427168 u c Máximos 3 3 e mínimos 1 1 A temperatura máxima é 16009C e ocorre nos pontos 23 223 23 a temperatura mínima é 0C e ocorre nos pontos dos círculos γ1 x 0 y² z² 4 γ2 y 0 x² z² 4 γ3 z 0 x² y² 4 x 4 m y 4 m e z 2 m Para um cilindro de raio r e altura h devemos maximizar a área lateral f 2πrh sujeita ao vínculo g r² h2² a² 0 Encontramos r a2 e h a2 Semelhante ao Exemplo 317 V 3 4 12 Base quadrada de lado ³4 m e altura 2³4 m O retângulo de lados x 2a²a² b² e y 2b²a² b² Seção 33 derivação implícita 1 a y 3 e y 62 b y 23 e y 2327 c y 1 e y 3 d y 1 e y 2 2 a x dxdy 0 b x dxdy 0 Seção 34 transformações 1 a J 9 b J r c J 5 expx 1 d J r e J 3 f J 2 x2 2y cos y 2 2x2 y sen y g J 5 h J ρ2 sen φ i J abc 2 a JT 15 expxy2 J e J T1 115 expxy2 nos pontos com y 0 b Em x 0 e y 1 obtemos J 15 Portanto xu 1J vy 615 e yv 1J ux 115 3 Confira a prova do Teorema 332 4 Note que u f ρ σ ρ gx t e σ hx t Assim pela Regra da Cadeia obtemos ux uρ ρx uσ σx e ut uρ ρt uσ σt e como ρx 1 ρt c σx 1 e σt c resulta ux uρ uσ e ut c uρ uσ Logo uxx x uρ x uσ uρρ ρx uρσ σx uσρ ρx uσσ σx uρρ 2uρσ uσσ e utt c t uρ t uσ c uρρ ρt uρσ σt uσρ ρt uσσ σt c2 uρρ uσσ Portanto utt c2 uxx c2 uρρ uσσ c2 uρρ 2uρσ uσσ 2 c2 uρσ uρσ 0 5 Note que o vetor z1 1 0 no plano xy é transformado no vetor w1 a c no plano uv e o vetor z2 0 1 no plano xy é transformado no vetor w2 b d no plano uv Já vimos que a área do paralelogramo determinada pelos vetores w1 e w2 é dada por ad bc w1 w2 w1 w2 sen θ w1 w2 sen θ b h com θ o ângulo entre os vetores w1 e w2 Por outro lado u vx y ux uy vx vy a b c d ad bc Portanto u vx y ad bc w1 w2 6 Como x au e y bv temos que x2a2 y2b2 au2a2 bv2b2 u2 v2 u2 v2 1 7 A mudança de coordenadas é u xa v yb e w zc 3 a zx xz e zy yz b zx y 2xy y2 2z e zy x 2xy x2 2z c zx z2sen z 3y 2xz e zy 3z2xz 3y sen z 4 u 2 sen xy x2 y2 e v 3 sen xy x2 y2 5 Derivando implicitamente a equação PV kT 0 em que P é uma função de V obtemos PV V P 0 PV PV De modo inteiramente análogo obtemos VT kP e TP Vk Portanto PV VT TP PV kP Vk 1 6 Semelhante ao Exercício anterior com a equação F x y z 0 em que x é uma função de y obtemos Fx xy Fy 0 xy FyFx 7 Se x f u v e y gu v com u hz w e v kz w então usando a Regra da Cadeia obtemos x yz w xz xw yz yw xuu z xvv z xuu w xvv w y uuz yvv z xuu w xvv w xu xv yu yv uz uw vz vw x yu v u vz w Em particular pondo x z e y w obtemos x yu v u vx y x yx y 1 0 0 1 1 8 Sejam F x y u v u3 2u v 3 e Gx y u v x2 y2 u 4 Então use as relações vx 1J F Gv y e vy 1J F Gx v para determinar que vx 4 e vy 2 9 Semelhante ao Exercício anterior 10 Sejam F x y s t x2 xt y2 t2 2s 2 e Gx y s t y2 2yt xt2 ys s2 6 Então J F Gx y 9 Agora usando as fórmulas de derivação encontramos xs 23 xt 23 ys 49 e yt 149 8 Note que se u 4x e v y então a imagem é a elipse u2 16v2 16a2 9 Note que se u expx cos y e v expx sen y então a imagem da reta x c é o círculo u2 v2 exp2c 10 A imagem da região é o quadrado de vértices 12 12 12 1 1 12 e 1 1 11 A imagem da região R é o quadrado 1 1 1 1 no plano uv Como x 12 u v e y 12 u v temos que xy 1 12 u v 12 u v 1 u24 v24 1 e a imagem da hipérbole H é a hipérbole 14 u2 14 v2 1 do plano uv 12 Note que x f u e y v uf u Logo JT x yu v xu xv yu yv f u 0 f u ufu 1 f u 0 pois f u 0 para todo u Como f é contínua e f u 0 temos pelo Teorema da Função Inversa que existe uma função u gx g f 1 tal que fgx x Portanto u f 1x e v y xf 1x ou seja T 1 x y f 1 x y xf 1 x 13 Vamos fazer apenas o item a Como u 3x e v 5y temos que x k3 e y k5 são retas no plano xy paralelas aos eixos dos y e dos x respectivamente Faça um esboço Neste caso T 1 u v u3 v5 14 A imagem em cada caso é a O retângulo de vértices 0 0 6 0 6 5 e 0 5 b A elipse 25x2 9y2 225 c O triângulo de vértices 0 0 3 1 e 2 3 d A reta 4u 9v 1 e A reta u 3v 5 0 f O paralelogramo de vértices 0 0 1 5 10 4 e 9 1 g A elipse 13u2 41v2 4uv 529 15 a Representa um círculo se a 0 e b2 c2 4ad 0 representa uma reta se a 0 e b 0 ou c 0 b Se u xx2 y2 e v yx2 y2 então a imagem de γ por esta transformação é a curva do plano uv desrita por d u2 v2 bu cv a 0 que representa um círculo se d 0 ou uma reta se d 0 4 Integrais Múltiplas Os problemas de medida relacionados com os conceitos de comprimento área e volume remontam aos tempos dos egípcios há mais de 4000 anos às margens do rio Nilo quando problemas como o cálculo de áreas de campos e volumes de grãos começaram a ter importância Com os conhecimentos das integrais simples obtemos áreas de regiões planas limitadas por gráficos de funções volumes de sólidos de revolução usando os métodos das fatias e dos discos circulares de aplicações na geometria na física etc Neste Capítulo esses problemas relacionados ao conceito de integrais simples serão estendidos para integrais múltiplas No Capítulo 3 calculamos derivadas parciais de funções reais de duas variáveis reais considerando uma das variáveis independentes como sendo constante e diferenciando em relação à outra De modo inteiramente análogo é possível considerar uma integral indefinida como uma função em relação a uma dessas variáveis Por exemplo x³y² dx y² x³ dx y² x⁴4 C No cálculo da integral mantivemos a variável y temporariamente com um valor constante no entanto valores fixados e distintos assumidos por y poderiam requerer diferentes valores da constante de integração C Assim devemos considerar a constante de integração como uma função de y e escreveremos x³ y² dx y² x³ dx y² x⁴4 Cy Da mesma forma que as integrais simples as integrais duplas ou triplas podem ser utilizadas como eficientes ferramentas de modelagem em diversas situaçõesproblema sobretudo aquelas que envolvem o cálculo de área ou volume de uma determinada região Como exemplo mostraremos que o volume do elipsoide x²a² y²b² z²c² 1 sendo a 0 b 0 e c 0 é igual a 43 πabc Mais geralmente calcularemos o volume do sólido Ω descrito por Ω xyz ℝ³ xy ℛ e 0 z fxy sendo fxy uma função contínua na região compacta ℛ do plano xy e 41 Integral Dupla Sabemos do cálculo de uma variável que a integral simples ab fx dx onde f I ℝ é uma função contínua e não negativa o gráfico de f se situa acima do eixo x no intervalo Iab é definida como a área delimitada pelo eixo x pelas retas xa e xb e 16 A tabela completa é Cartesianas xyz Cilíndricas rθz Esféricas ρθϕ 221 2π41 3π45π6 363262 62π662 12π63π4 112 2π42 2π43π4 17 a o círculo x²y²16 b o par de planos xyxy0 c a folha superior do cone z²4x²y² d o elipsoide 9x²9y²3z²27 e a esfera x²y²z²1 f o cilindro circular reto x2²y²4 18 a a esfera de centro 300 e raio 3 b o cilindro circular reto de raio 5 c os planos x3y0 d o plano z4 e o cone x²y²z² f a esfera x²y²z²9 juntamente com a origem g o plano x1 h a esfera x²y²z1²9 i um par de palnos j a esfera de centro na origem e raio a k a região entre as esferas de raios 1 e 2 centradas na origem l o paraboloide zx²y² 19 As identificaçöes são a r²z²4 e ρ2 d r²z²1 e ρ²cos2ϕ1 b r2 e ρ²sen²ϕ4 e 4zr3cosθsenθ e 3cosθsenθ tgϕ1 c r²4z²0 e tgϕ2 f 4zr² e ρ4 cotg ϕ cosec ϕ 20 Sejam Fxyuvx²y²uv0 Gxyuvxy²u0 e JFGxy a Agora usando as fórmulas de derivação implícita obtemos xu1J FGuy e yv1J FGxv b Resolvendo o sistema encontramos por exemplo x12 u4v3u² e y12 u 4v3u² 130 CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS A A e SILVA M P MATOS acima pelo gráfico da função yfx Esse conceito de integral simples pode ser estendido a uma função real de duas variáveis reais fDℝ²ℝ contínua na região compacta D por exemplo no retângulo Dxyxyℝ² a x b e c y d 411 Integral Dupla sobre Retângulos Consideremos uma função zfxy contínua no retângulo compacto Dxyabcd xyℝ² a x b e c y d 41 e para melhor clareza suponhamos que f seja não negativa isto é o gráfico de f é uma superfície situada acima do plano xy Para melhor compreensão do conceito definiremos a integral dupla de função contínua f sobre o retângulo compacto D passo a passo e faremos referência a uma partição do intervalo ab como um particionamento de ab Etapa 1 Particionando o retângulo Dxy Particionemos os intervalos ab e cd respectivamente por ax₀ x₁ xm1 xmb e cy₀ y₁ yn1 ynd e com essas partições formemos mn retângulos Rijxixi1yjyj1 de lados iguais a Δxxi1xibam e Δyyi1yidcn de modo que xixi1 Δx i1m e yjyj1 Δy j1n Quando m e n tornamse arbitrariamente grandes m e n então os lados dos retângulos se aproximam de zero isto é Δx0 e Δy0 Etapa 2 Avaliando f em um ponto uivj do retângulo Rij Em cada retângulo Rij escolhemos um ponto uivj i01m1 e j01n1 e nesse ponto avaliamos a função f isto é calculamos o valor zijfuivj Etapa 3 Construindo as Somas de Riemann Cada parcela fuivjΔxΔy que figura na soma Smn Σi0n Σj0m zij Δx Δy 42 é uma aproximação do volume da caixa retangular de base Rij e altura zijfuivj e cada soma Smn nos dá uma aproximação por falta ou por excesso do volume do sólido cuja base é o retângulo D e o topo é o gráfico da função f As somas Smn são denominadas somas de Riemann de f Com esses ingredientes definiremos a integral de Riemann integral dupla de f sobre o retângulo D Quando a função f é contínua no retângulo D demonstrase que o limite limmn Σi0n Σj0m zij Δx Δy existe e esse limite é por definição a integral dupla de f sobre o retângulo D e anotase D fxy dA limΔxΔy00 i0n j0m zij Δx Δy O elemento dA é a área infinitesimal ou área elementar usualmente indicada por dxdy No cálculo de integrais quando for necessário enfatizar as variáveis de integração a notação D fxy dxdy é mais adequada A Figura 41 ilustra a construção da integral dupla sobre o retângulo D Figura 41 Área elementar dA dxdy As propriedades básicas da integral dupla são similares àquelas para integral simples e o seguinte resultado admitido sem demonstração é na verdade consequência das propriedades do limite Proposição 41 Se f g D ℝ² ℝ são funções contínuas no retângulo compacto D e λ é uma constante real então 1 Linearidade D fxy λgxy dA D fxydA λ D gxydA 2 Aditividade D fxydA D1 fxydA D2 fxydA sendo D D1 D2 e D1 e D2 têm apenas pontos de fronteira em comum 3 Valor Médio Existe ao menos um ponto Pab no retângulo D tal que D fxydA fabAD onde AD é a área da região D Exemplo 42 Vamos ilustrar neste exemplo como usar a definição para calcular a integral dupla da função fxy xy² sobre o retângulo D xy ℝ² 0 x 1 e 0 y 1 Solução Usando o Método de Indução Finita demonstrase que 1 2 n k1n k nn12 e 1² 2² n² k1n k² nn12n16 e consideramos a partição do retângulo D determinada pelos pontos 0 x₀ x₁ x₂ xn1 xn 1 e 0 y₀ y₁ y₂ yn1 yn 1 onde xk kΔx e yk kΔy k12n sendo Δx Δy 1n As somas de Riemann 42 com ui xi e vj yj são Snn i0n j0n fuivj Δx Δy j0n i0n iΔx² j²Δy³ n12n j0n j²Δy³ n1²2n112 n³ e consequentemente xy² dxdy limn Snn limn n1²2n112 n³ 16 O Exemplo 42 é uma demonstração clara de que o cálculo de integrais duplas pela definição pode não ser uma tarefa fácil exceto em casos elementares O cálculo de integral dupla sobre retângulos e também sobre regiões compactas simples não retangulares será feito como uma integral repetida ou integral iterada com auxílio do Teorema de Fubini¹² Teorema 43 Teorema de Fubini Seja f D ℝ² ℝ uma função contínua no retângulo D xy ℝ² a x b e c y d Então D fxy dxdy cd ab fxy dx dy ab cd fxy dy dx 43 As integrais cd ab fxy dx dy e ab cd fxy dy dx que figuram em 43 são as integrais iteradas ou integrais repetidas de f xy sobre o retângulo D e nelas estão especificadas a ordem de integração Por exemplo na integral iterada cd ab fxy dx dy primeiro calculamos a integral parcial ab fxy dx mantendo y temporariamente constante e o resultado integramos com respeito à variável y no intervalo cd ¹² Guido Fubini 18791943 matemático italiano Corolário 44 Se gx e hy são contínuas em ab e cd respectivamente então abcd gx hy dxdy ab gx dx cd hy dy Exemplo 45 Reconsiderar o Exemplo 42 e calcular via Teorema de Fubini a integral dupla 0101 xy² dA Solução No retângulo D 01 01 o Teorema de Fubini nos dá D xy² dA 01 01 xy² dx dy 01 y² 01 x dx dy 01 y² 12 x² x0x1 dy 12 01 y² dy 12 13 y³ y0y1 12 13 16 Exemplo 46 o volume como integral dupla Calcular o volume do sólido Ω acima da região D 01 01 do plano xy e abaixo do plano x y z 2 Figura 42 Volume abaixo do plano x y z 2 Solução Quando integramos uma função contínua e não negativa z fxy sobre uma região D o resultado é o volume do sólido Ω acima da região D e abaixo do gráfico de f O sólido Ω é limitado superiormente pelo gráfico da função z 2 x y e está ilustrado na Figura 42 O volume calculado por integral dupla é dado por volΩ D 2xy dA 01 01 2xy dx dy 01 2x 12 x² xy x0x1 dy 01 32 y dy 32 y 12 y² 01 1 Exemplo 47 Calcular o volume do sólido Ω acima do retângulo D 1 1 0 1 e abaixo do cilindro z 1 x² Solução A base do sólido Ω é o retângulo D e superiormente ele é limitado pelo gráfico da função z 1 x² como está ilustrado na Figura 43 O volume calculado por integral dupla é dado por volΩ D 1 x² dA 11 01 1 x² dy dx 11 1 x² 01 dy dx 11 1 x² dx x 13 x³ 11 43 Volume abaixo do cilindro z1x² Exemplo 48 O volume de um sólido Ω é dado por volΩ ₀²¹¹ x² y²dydx Por observação da integral vemos que a base do sólido é o retângulo D 0211 e superiormente o sólido é delimitado pelo paraboloide zx² y² 412 Integral Dupla sobre Regiões não Retangulares Do ponto de vista teórico a integral de uma função contínua z fxy sobre uma região compacta D do plano xy se reduz ao caso em que a região de integração é retangular Volume elementar dV fxydA De fato seja Rxy abcd um retângulo contendo a região D e consideremos a extensão f de f ao retângulo Rxy nula fora de D isto é f Rxy R é definida por fxy fxy se xy D 0 se xy D Embora a extensão f não seja em geral contínua na região Rxy sua integral dupla pode ser definida de forma similar ao caso de uma função contínua em retângulo Então a integral dupla de f sobre D é por definição a integral dupla da extensão f sobre o retângulo Rxy isto é D fxydA Rxy fxydA A Figura 44 ilustra a situação geométrica que mostra o volume elementar dV fxydA e sugere que a integral dupla D fxydA no caso em que a função f é não negativa representa o volume do sólido com base D e limitada superiormente pelo gráfico de zfxy O cálculo da integral dupla sobre regiões compactas D não retangulares é feito também por meio de integrais iteradas como estabelece o Teorema de Fubini em sua versão um pouco mais geral desde que a região D tenha um formato simples como descreveremos a seguir Região Vertical Simples Uma região do tipo Rx xy R² a x b e g₁x y g₂x onde g₁g₂ ab R R são funções contínuas é denominada região vertical simples A Figura 45 exibe uma região vertical simples onde observamos que as retas verticais paralelas ao eixo y xk akb intercepta a fronteira da região em exatamente dois pontos A integral dupla de f sobre a região Rx é calculada pelo Teorema de Fubini para regiões não retangulares Rx fxydxdy ab g₁xg₂x fxy dy dx Região Horizontal Simples Denominase região horizontal simples qualquer região do tipo Ry xy R² h₁y x h₂y e c y d onde h₁h₂ cd R R são funções contínuas A integral dupla de f sobre a região Ry é via Teorema de Fubini dada por Ry fxy dxdy cd h₁yh₂y fxy dx dy A Figura 46 mostra uma região horizontal simples em que as retas horizontais paralelas ao eixo x yk ckd intercepta a fronteira da região em exatamente dois pontos Exemplo 49 Exemplos de regiões que são ao mesmo tempo vertical e horizontal simples citamos as regiões retangulares Rabcd e os discos x² y² a² Suponhamos que D seja uma região limitada com a seguinte propriedade qualquer reta vertical paralela ao eixo y ou horizontal paralela ao eixo x intercepta a fronteira de D em no máximo dois pontos Uma tal região pode ser composta em regiões simples do tipo vertical Rx ou horizontal Ry e a integral dupla sobre D é calculada usando a propriedade aditiva da integral Veja na Figura 47 uma decomposição em regiões simples D₁ e D₂ do tipo 1 ou 2 e a integral sobre D é a soma das integrais sobre D₁ e sobre D₂ isto é D fxydA D₁ fxydA D₂ fxydA Exemplo 410 Calcular a integral de fxy xy² sobre o quarto de círculo do primeiro quadrante D xy R² x 0 y 0 e x² y² 1 Solução A região D pode ser descrita por D Rx xy R² 0 x 1 e 0 y 1x² e do Teorema de Fubini resulta D xy² dxdy ₀¹ ₀1x² xy² dy dx ₀¹ x 13 y³ y01x² dx 13 ₀¹ x1x²32 dx Assim fazendo a substituição u1x² obtemos 13 ₀¹ x1x²32 dx 16 ₁⁰ u32 du 16 ₀¹ u32 du 115 u52 ₀¹ 115 e portanto D xy² dxdy 115 CAPÍTULO 4 INTEGRAL MÚLTIPLA 137 Exemplo 411 Calcular a integral x3 3y dA onde D é a região delimitada pelas curvas y x2 e y 2x Solução Para encontrar os pontos de interseção das curvas y x2 e y 2x resolvemos a equação x2 2x e obtemos x 0 e x 2 A região D é a região vertical simples D xy ℝ2 0 x 2 e x2 y 2x ilustrada na Figura 48 Figura 48 Região entre as curvas y x2 e y 2x Do Teorema de Fubini resulta D x3 3y dxdy 02 x22x x3 3y dy dx 02 x3 y 32 y2yx2y2x dx 12 02 2x5 x4 12x2 dx 26 x6 15 x5 123 x302 12815 Exemplo 412 Calcular o volume do tetraedro Ω delimitado pelo plano x y z 1 e pelos planos coordenados Solução A Figura 49 ilustra o tetraedro Ω onde observamos que as seções pelos planos x c c constante real são triângulos O volume elementar é dV z dxdy sendo z fxy 1 x y e portanto o volume de Ω é volΩ D z dxdy onde a integração é feita sobre a região vertical simples D xy ℝ2 0 x 1 e 0 y 1 x Do Teorema de Fubini temos volΩ D 1 x y dxdy 01 01x 1 x y dy dx 01 y x y 12 y2y0y1x dx 12 01 1 2x x2 dx 16 138 CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS A A e SILVA M P MATOS Figura 49 Esboço do tetraedro Exemplo 413 área como integral dupla Calcular por integral dupla a área da região D delimitada pelas curvas x2 2y 16 e x 2y 4 Solução Se fxy 1 em D então o volume elementar é dV dA e sendo a integral dupla a soma desses volumes elementares o resultado é a área AD da região D isto é volΩ D dA AD Para descrever e esboçar a região de integração D primeiro determinamos os pontos de interseção das curvas x2 2y 16 e x 2y 4 os quais são obtidos a partir das soluções da equação 16 x2 4 x Essas soluções são x 3 e x 4 e portanto as curvas se interceptam nos pontos A3 72 e B40 indicados na Figura 410 Figura 410 Área por integral dupla A região D é descrita por D xy ℝ2 3 x 4 e 2 x2 y 8 x22 e pelo Teorema de Fubini temos AD D dxdy 34 2x28x22 dy dx 12 34 12 x x2 dx 34312 CAPÍTULO 4 INTEGRAL MÚLTIPLA 139 Exemplo 414 Calcular por integral dupla a área da região D entre as curvas y x2 e x y2 Solução A área da região D é dada por AD D dA 01 x2x dy dx 01 x x2 dx 23 x32 01 13 x3 01 13 413 Invertendo a Ordem de Integração Ao fazer a decomposição da região D em regiões simples a escolha da região Rx ou Ry depende naturalmente do formato da região D Em uma determinada ordem de integração o integrando pode não ter uma primitiva elementar e neste caso uma inversão na ordem de integração deve ser efetuada Vale ressaltar contudo que ao inverter a ordem de integração a região D não sofre alteração apenas o cálculo da integral iterada se processa na ordem inversa Na Figura 411 exibimos uma região D D1 D2 sobre a qual expressamos a integral dupla como uma integral iterada nas duas ordens de integração possíveis dxdy e dydx Figura 411 Decomposição de D em regiões simples Vejamos como descrever a região D D1 D2 A Figura 411 a sugere a seguinte descrição para a região D D c y d e h1y x h2y e a integral dupla sobre D é calculada pela integral iterada D fxy dA cd h1yh2y fxy dx dy 44 Por outro lado da Figura 411 b vemos que as regiões simples D1 e D2 são descritas por D1 a x e e c y g2x e D2 e x b e c y g1x e a integral dupla com a ordem invertida é D fxy dA ae cg2x fxy dy dx eb cg1x fxy dy dx 45 Aparentemente o cálculo da integral 44 é mais simples porque só há uma integral iterada a calcular Isso aparentemente porque o cálculo depende do integrando fxy Como ressaltamos no início em uma determinada ordem que pode ser aquela em 44 o integrando pode não ter primitiva elementar Figura 412 Região de integração Exemplo 415 Como primeira ilustração vamos calcular D xydA nas duas ordens onde D é a região do plano xy exibida na Figura 412 Solução A região D pode ser decomposta em regiões simples verticais ou horizontais e para descrevêla é fundamental observar cuidadosamente a Figura 412 1 Como uma região vertical simples temos D xy R² 0 x 1 e x y 2 x e neste caso o cálculo da integral fica assim D xydA 01 x2x xydy dx 01 x 12 y² yxy2x dx 12 01 x 2 x² x² dx 12 01 x 4 4x dx 12 01 4x 4x² dx 12 2x² 43 x³01 13 2 Decompondo D em regiões horizontais simples temos D D₁ D₂ onde a região simples D₁ é descrita por D₁ x y R² 0 y 1 e 0 x y e a região D₂ é descrita por D₂ x y R² 1 y 2 e 0 x 2 y Neste caso invertendo a ordem de integração temos D xydA D₁ xydA D₂ xydA 01 0y xydx dy 12 02y xydx dy 01 y 12 x²x0xy dy 12 y 12 x²x0x2y dy 12 01 y³ dy 12 12 y 2 y² dy 18 12 12 4y 4y² y³ dy 18 12 8 323 4 2 43 14 18 12 43 1112 13 Exemplo 416 uma função sem primitiva elementar Neste exemplo vamos calcular a integral dupla da função fxy expy² sobre a região D entre as retas x0 y4 e y4x Solução Este é um daqueles exemplos onde o cuidado na escolha da ordem de integração deve ser redobrado Inicialmente observamos que a ordem de integração dydx não é adequada neste caso porque a integral expy² dy não pode ser calculada pelos métodos elementares do cálculo integral isto é a função gy expy² não tem primitiva elementar Com um esboço do gráfico da região D que deixamos para o leitor como treinamento é fácil deduzir que ela é descrita por D xy R² 0 y 4 e 0 x y4 uma região horizontal simples e usando o Teorema de Fubini encontramos D expy² dxdy 04 expy² 0y4 dx dy 14 04 y expy² dy Com a substituição u y² obtemos 14 04 y expy² dy 18 016 expu du 18 expy²016 18 e16 1 e portanto D expy² dxdy 18 1 e16 Encerramos esta seção com um exemplo mostrando que a inversão da ordem de integração nem sempre produz resultados iguais Exemplo 417 Calcular a integral iterada 01 01 x y x y³ dA nas duas ordens possíveis Solução Temos 01 x y x y³ dy 01 2x x y x y³ dy 01 2x x y³ dy 01 1 x y² dy x x y²01 1 x y01 1 1 x² Logo 01 01 x y x y³ dy dx 01 1 1 x² dx 11 x01 12 46 Se em 46 permutarmos as variáveis x e y obteremos 01 01 y x x y³ dx dy 12 e assim na ordem dxdy 01 01 x y x y³ dx dy 01 01 y x x y³ dx dy 12 Por que isso não contradiz o Teorema de Fubini Uma das condições de aplicabilidade do Teorema de Fubini é que o integrando fxy seja uma função limitada na região de integração D o que não ocorre com a função fxy x y x y³ De fato ao longo da reta y 2x obtemos limxy00 x y x y³ limx0 x 2x x 2x³ limx0 x 27x³ limx0 1 27x² O que dizer da integral dupla D fxy dA neste caso Se a integral dupla existisse as integrais iteradas seriam iguais e como isso não ocorreu a função não é integrável na região D Uma coisa é a integral dupla e a outra é a integral iterada 414 Considerações Físicas Vimos nos fundamentos teóricos que se f D R² R é uma função contínua e não negativa na região compacta D a integral dupla D fxy dxdy ou D fxy dA representa o volume do sólido Ω acima da região D e limitado superiormente pelo gráfico de f como na Figura 41 No caso em que fP 0 para todo P D então definimos volΩ por volΩ D fxy dxdy Além disso se fxy 1 para todo ponto xy em D então a integral dupla representa a área da região D isto é AD D dxdy Quando interpretamos o integrando fxy como densidade superficial de massa σxy isto é como massa por unidade de área e a região D como uma lâmina placa fina a integral dupla assume outros significados Na Figura 413 ilustramos uma lâmina D de massa M e a área elementar dA Figura 413 Lâmina D de massa M Massa e Centro de Massa Representemos por dm a massa elementar da porção dA de modo que xdm e ydm representem os momentos da massa dm em relação aos eixos y e x respectivamente isto é xdm xσxydA e ydm yσxydA sendo σxy a densidade no ponto xy da lâmina A massa total M da lâmina é a soma integral dupla das massas elementares dm ou seja M D σxydA e se representarmos por CMxy o centro de massa da lâmina D isto é o ponto que concentra toda massa da placa é razoável definir os momentos da placa D pelas relações xM D xdm D xσxydA e yM D ydm D yσxydA Os momentos da massa M isto é da lâmina D são definidos pelas integrais Mx D ydm D yσxydA e My D xσxydA e as coordenadas do centro de massa são portanto x My M e y Mx M Momento de Inércia Imaginemos a lâmina D girando em torno de um eixo L com velocidade angular constante ω e seja δxy a distância da massa elementar pontual dm ao eixo L como na Figura 414 Se dE representa a energia cinética da massa dm então dE 12 ωδ2 dm 12 ωδ2 σ xydA onde ωδ é a velocidade escalar do corpo e a energia cinética total é portanto E D dE 12 ω2 D δ2 dm 12 ω2 D δ2 σ xydA Figura 414 A integral que figura do lado direito de 410 é o momento de inércia da placa D em relação ao eixo L e anotase IL D δ2 σ xydA Em relação aos eixos coordenados os momentos de inércia da placa D são Ix D y2 σ xy dxdy e Iy D x2 σ xy dxdy enquanto o momento de inércia polar em relação à origem é dado por I0 Ix Iy D x2 y2σ xy dxdy O termo x2 y2 que aparece na expressão do momento de inércia polar é precisamente o quadrado distância de um ponto Pxy da placa D à origem O00 Podemos interpretar o momento de inércia como uma resistência ao movimento Quanto maior o momento de inércia maior deve ser a energia para colocar o corpo em movimento ou fazêlo parar Exemplo 418 Uma lâmina tem o formato da região D x2 y2 a2 no primeiro quadrante Determinar a massa o centro de massa e os momentos de inércia Ix e Iy da lâmina D se a densidade em um ponto Pxy da lâmina é σxy xy Solução Um esboço da região D ajudará no cálculo da integral dupla A Figura 415 sugere as seguintes descrições para a região D D 0 x a 0 y a2 x2 ou D 0 y a 0 x a2 y2 Figura 415 O quarto de círculo x2 y2 a2 1 A massa é calculada pela fórmula 47 Temos M D σ xy dA 0a 0a2 x2 xy dy dx 0a x 12 y2 ya2 x2y0 dx 12 0a x a2 x2 dx faça t a2x2 14 0a2 t dt a4 8 2 As coordenadas x e y do centro de massa são calculadas pelas fórmulas 49 Temos Mx D yσ xy dA D xy2 dA 0a x 0a2 y2 y2 dx dy 13 0a x a2 x232 dx faça t a2x2 16 0a2 t32 dt a5 15 e portanto y MxM 8a15 De modo inteiramente análogo encontrase x 8a15 e o centro de massa é o ponto CM 8a15 8a15 3 Os momentos de inércia Ix e Iy são dados pelas fórmulas 411 Temos Ix D y2 σ xy dA D xy3 dA 0a x 0a2 y2 y3 dx dy 14 0a x a2 x22 dx faça t a2x2 18 0a2 t2 dt a6 24 O momento de inércia Iy é calculado de modo similar e encontrase Iy a6 24 Exemplo 419 O centroide da região triangular de vértices O 00 A 11 e B 10 é o ponto CM 13 16 cujas coordenadas são dadas por x 01 0x x dy dx 13 e y 01 0x y dy dx 16 415 Integral Dupla Imprópria Para integrar uma função fxy sobre uma região D do plano xy a função não precisa ser contínua nem a região ser limitada O fato é que a continuidade do integrando f e a compacidade da região D implicam na integrabilidade da função em D Existem funções que não são contínuas em uma região e ainda assim são integráveis Uma condição necessária para a integrabilidade é que a função seja limitada na região de integração Uma integral dupla D f xy dA recebe a denominação de integral imprópria em duas situações i a região de integração D não é limitada ou ii a função f xy que desejamos integrar não é limitada na região D Quando a integral dupla imprópria existir isto é for um número real diremos que a integral é convergente e caso contrário a integral imprópria será denominada divergente Exemplo 420 Vamos investigar a convergência da integral imprópria D x y x y3 dx dy no compacto D 01 01 Solução Tratase de uma integral imprópria porque a função f xy não é limitada em D embora a região seja compacta Vimos no Exemplo 417 que a função f não é integrável em D Logo a integral dupla é divergente Exemplo 421 uma função contínua não integrável Na região D xy R2 0 y x 1 a função f xy 1x y não é integrável embora seja contínua Solução Temos uma situação em que a função é continua a região é limitada e contudo a função não é integrável Na Figura 416 esboçamos a região D e a região auxiliar Dε 0 x 1 e 0 y x ε que é compacta e na qual f é contínua tornando aplicável o Teorema de Fubini Ressaltamos que a função não é limitada o que caracteriza uma integração imprópria Temos que D f xy dx dy lim ε0 Dε f xy dx dy e do Teorema de Fubini resulta Dε f xy dx dy ε1 0xε dyx y dx ε1 εx dt t dx ε1 log x log ε dx x log x x1ε 1ε log ε ε 1 log ε centoride é a denominação dada ao centro de massa de um corpo homogêneo de densidade σ 1 Figura 416 Região auxiliar Dε Portanto D fxy dxdy limε0 Dε fxy dxdy limε0ε1log ε e a integral dupla é divergente Exercícios Complementos 1 Em cada caso esboce a região de integração e calcule a integral iterada Se achar conveniente inverta a ordem de integração a 11 0x dydx b 0π 0x cosx² dydx c 13 12 12xy² 8x³ dydx d 13 1xx xydydx e 0π yy sen xdxdy f 02 01 x 3 log y dxdy g 01 x²x exp yx dydx h 01 0x expx² dydx i 12 13 x2 sen ydxdy j 0π 1cos y x sen ydxdy k 01 01x² ydydx l 0π₂ 0π2 x cos y y cos x dydx m 01 x³x² xydydx n 01 0x x sen ydyx o 02 12 2xy y³ dydx p 02 42y²42y² ydxdy q 02 1expx dydx r 022 y1y² xydxdy s 21 x²4x3x2 dydx t 04 y424y xydxdy u 01 0x² sen x³ dydx v 01 11y ln x dxdy 01 12 ln x dxdy 2 Em cada caso decomponha a região em regiões verticais simples ou horizontais simples e escreva a integral dupla D fxy dA nas duas ordens 3 Em cada caso esboce a região D e calcule a integral dupla D fxy dA Escolha a ordem de integração de modo a tornar o cálculo mais simples a D xy ℝ² 0 x 1 e 2x y 2 f expy² b D xy ℝ² 0 y 8 e ³y x 2 f xy c D xy ℝ² x 0 e 1 x² y² 2 f x² d D xy ℝ² 1 x 2 e 4 x² y 4 x² f 1 4 Ao calcular o volume de um sólido Ω abaixo de um paraboloide e acima de certa região D do plano xy obtevese a seguinte expressão volΩ 01 0y x² y² dxdy 12 02y x² y² dxdy Identifique a região D expresse volΩ por uma integral dupla com a ordem invertida e calcule o volume 5 Identifique o sólido Ω cujo volume é dado pela expressão volΩ 01 01x² 1 x dydx e em seguida calcule volΩ 6 Em cada caso use integral dupla e calcule a área da região D indicada na figura 7 Calcular por integral dupla o volume do sólido delimitado acima pelo cilindro x² z² a² abaixo pelo plano xy e nos lados pelos planos y x e y 2x 8 Calcular o volume da cunha cortada do primeiro octante pelo cilindro z 12 3y² e pelo plano x y 2 416 Mudança de Variável em Integral Dupla Ao calcular uma integral por substituição na verdade efetuamos uma mudança de variável para obter uma primitiva Mais precisamente se f ab ℝ é uma função contínua e g cd ℝ é uma função derivável com derivada g integrável e além disso gc a e gd b então gcgd fx dx cd fgu gu du Exemplo 422 Por meio de uma mudança de variável calcular a integral simples 01 1 x² dx Solução Se fx 1 x² 0 x 1 então com a substituição x gu sen u obtemos fgu 1 sen² u cos u e gu cos u 0 u π2 e portanto 01 1 x² dx 0π2 cos² udu ½ 0π2 1 cos2u du π4 Para deduzirmos uma fórmula de mudança de variável para integral dupla deixenos considerar uma transformação T ℝ² ℝ² T x xuv y yuv onde as funções coordenadas xuv e yuv têm derivadas parciais de primeira ordens contínuas em uma região Ruv do plano uv e suponhamos que o Jacobiano JT xu xv yu yv não se anula em Ruv A transformação T é localmente invertível e como estabelece o Teorema da Função Inversa as coordenadas da inversa u uxy e v vxy têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas na região Rxy TRuv imagem de Ruv pela transformação T Usaremos a Figura 417 como orientação para a dedução da fórmula Se ruv xuv i yuv j é o vetor posição do ponto Qxy e a região Rxy for particionada pelas curvas de nível u c1 e v c2 então a área elementar dxdy será aproximada pela área do paralelogramo de lados a ru du e b rv dv Temos a ru du xu i yu j e b rv dv xv i yv j e consequentemente a b ru rv dudv i j k xu yu 0 xv yv 0 dudv xu yv xv yu dudv k Logo as áreas elementares dxdy e dudv estão relacionadas por dxdy a b JTdudv e se f x y é uma função integrável sobre a região Rxy então da definição de integral dupla resulta Rxy f x y dxdy m i1 n j1 f xi yj dxdy m i1 n j1 f x ui vj y ui vj Jui vj dudv Ruv f x u v y u v JT dudv Figura 417 Mudança de variável Formalmente temos o seguinte resultado Teorema 423 Mudança de Variável Seja f D ℝ2 ℝ uma função com derivadas parciais de primeira ordem contínuas em um domínio D contendo a região Rxy Se as funções x xu v e y yu v têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas na região Ruv e o Jacobiano Ju v não se anula em Ruv então Rxy f x y dxdy Ruv f x u v y u v Ju v dudv A fórmula 414 é conhecida como Fórmula de Mudança de Variável em integral dupla Observação 424 Se a transformação T ℝ2 ℝ2 definida por Tu v x u v yu v for localmente invertível vimos como consequência do Teorema 354 que Ju v Jx y 1 e se for conveniente podemos usar a fórmula de mudança de variável 414 na ordem inversa Se a transformação T tem Jacobiano JT constante isso ocorre com as transformações lineares e a função f x y 1 segue de 414 que A Rxy A T Ruv J A Ruv e o Jacobiano pode ser visto como fator de relação entre as áreas de Rxy e Ruv Exemplo 425 Calcular a integral dupla da função f x y exp y x y x sobre a região D delimitada pelas retas x y 1 x y 2 x 0 e y 0 Solução Se considerarmos u y x e v y x teremos x 12 v u e y 12 u v e a transformação linear T u v x y tem Jacobiano JT x y u v 12 12 12 12 12 Além disso sendo T linear ela transforma retas em retas e um cálculo direto nos dá x y 1 v 1 x y 2 v 2 x 0 v u e y 0 v u e a Figura 418 expõe as regiões de integração Rxy e Ruv Figura 418 Regiões de integração Rxy e Ruv Da fórmula de mudança de variável 414 resulta D exp y x y x dA 12 Ruv euv dudv 12 2 1 v v euv du dv 12 2 1 v euv v v dv 12 e 1e 2 1 v dv 34 e 1e Exemplo 426 Com a mudança de coordenadas u y x e v y x calcular xyπ x y2 sen x y2 dA Solução A transformação linear Tu v x y transforma o quadrado Ruv π π π π na região Rxy x y π como mostra a Figura 419 Figura 419 Regiões de integração Rxy e Ruv Temos JT¹ u v x y 1 1 1 1 2 de onde segue que JT 12 e da fórmula 414 resulta Rxy x y2 sen x y2 dA 12 Ruv u2 sen v2 dudv 12 π π π π u2 sen v2 du dv 12 π π 13 u3π π sen v2 dv π3 3 π π sen v2 dv π3 3 π π 12 1 cos 2v dv π4 3 Exemplo 427 Calcular por integral dupla a área da elipse x² a² y² b² 1 a 0 e b 0 Solução Se representarmos por Rxy a região delimitada pela elipse isto é Rxy x y ℝ2 x² a² y² b² 1 então a área da região Rxy é dada por A Rxy Rxy dxdy O cálculo da integral dupla tornase mais simples por meio de uma mudança de variáveis que transforma a elipse em uma circunferência Consideremos então a transformação linear x au e y bv com Jacobiano J x y u v a 0 0 b ab que leva a região Rxy sobre o disco compacto Ruv x y ℝ2 u² v² 1 e usemos a fórmula de mudança de variáveis Temos A Rxy Rxy dxdy ab Ruv dudv 416 A integral dupla que aparece do lado direito de 416 nada mais é do que a área do círculo de raio r 1 cujo valor é π Logo A Rxy ab A Ruv πab CAPÍTULO 4 INTEGRAL MÚLTIPLA 153 A Integral Dupla em Coordenadas Polares Sempre que usamos coordenadas polares substituímos a área elementar dA dxdy por rdrdθ Isso é consequência do Teorema de Mudança de Variável mas pode ser deduzido facilmente usando argumentos geométricos De fato observando a Figura 421 vemos que dA drds onde ds rdθ é o comprimento do arco Figura 421 Área elementar dA rdrdθ Exemplo 430 Determinar a imagem pela transformação x r cos θ y r sen θ da região Rxy do primeiro quadrante delimitada pelos círculos x² y² 1 e x² y² 4 e em seguida calcular a integral dupla Rxy log x² y² dA Solução Se T é a transformação em coordenadas polares x r cos θ e y r sen θ então J xyrθ cos θ r sen θ sen θ r cos θ r e a imagem da região Rxy pela transformação T¹ é o retângulo Rrθ rθ ℝ² 1 r 2 e 0 θ π2 no plano rθ A Figura 422 mostra as ações da transformação T e de sua inversa T¹ Figura 422 Regiões de integração Rxy e Rrθ 154 CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS A A e SILVA M P MATOS Em coordenadas polares x² y² r² e a área elementar é dA rdrdθ e sendo assim Rxy log x² y² dA ₀π2 ₁² r log r² rdrdθ usar t r² π4 ₁⁴ log t dt π4 t log t t₁⁴ π4 4 log 4 3 Exemplo 431 Calcular a área da região Rxy delimitada pelas retas y x e y 0 e pelos círculos x² y² 2x e x² y² 4x Solução Em coordenadas polares as curvas y x x² y² 2x e x² y² 4x são descritas respectivamente por θ π4 r 2 cos θ e r 4 cos θ e na Figura 423 mostramos a região Rxy onde fizemos o eixo polar coincidir com o eixo x Figura 423 Regiões de integração Rxy e Rrθ Usando a fórmula de mudança de variáveis temos ARxy Rxy dxdy ₀π4 2 cos θ4 cos θ rdrdθ ½ ₀π4 12 cos² θ dθ 6 ₀π4 ½ 1 cos 2θ dθ 3 θ ½ sen 2θ₀π4 3 ½ π4 Exemplo 432 Consideremos a região do primeiro quadrante Rxy xy ℝ² a² x² y² b² x 0 e y 0 1 Expressar a integral dupla Rxy x² dA nas duas ordens dxdy e dydx e na forma polar 2 Calcular a integral Solução A região Rxy é semelhante àquela do lado direito da Figura 422 1 Em coordenadas a integral dupla se expressa nas formas na ordem dydx Rxy x² dA ₀ᵃ a²x²b²x² x² dydx ₐᵇ ₀b²x² x² dydx na ordem dxdy Rxy x² dA ₀ᵃ a²y²b²y² x² dxdy ₐᵇ ₀ᵃ x² dxdy forma polar Rxy x² dA ₀π2 ₐᵇ r³ cos² θ dr dθ x r cos θ dA rdr dθ 152 CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS A A e SILVA M P MATOS Exemplo 428 Seja D a lâmina do primeiro quadrante delimitada pelas hipérboles xy 1 xy 3 x² y² 1 e x² y² 4 e suponhamos que a densidade da lâmina seja constante σ 1 Calcular o momento de inércia polar da lâmina D Solução A transformação u xy e v x² y² leva o retângulo Ruv 13 14 sobre a região Rxy como sugere a Figura 420 onde a lâmina D está representada pela região Rxy Figura 420 Regiões de integração Rxy e Ruv O Jacobiano dessa transformação é Jxy y x 2x 2y 2x² y² que não se anula em D e portanto Juv ½ 1x² y² A densidade da lâmina D é σ xy 1 e o momento de inércia polar 412 neste caso se reduz a I₀ D x² y² dxdy e considerando que x² y²² x² y²² 4x²y² 4u² v² obtemos I₀ D x² y² dxdy ₁⁴ ₁³ 4u² v²2 4u² v² dv du ½ ₁⁴ ₁³ dudv 3 Exemplo 429 Seja T ℝ² ℝ² a transformação linear Txy ax cy bx dy e suponhamos que ad bc 0 Se ℛ é o paralelogramo gerado pelos vetores linearmente independentes a αi βj e b ci dj então ATℛ JT Aℛ 417 Como consequência calcular a área do paralelogramo ℛ com três vértices nos pontos O00 A21 e B31 Solução Se u ax cy e v bx dy então Jxy uvxy a c b d ad bc 0 e Juv 1ad bc e a relação 417 é uma variante de 415 contida na Observação 424 O paralelogramo ℛ é gerado pelos vetores a 2i j e b 3i j e se considerarmos a transformação T ℝ² ℝ² é definida por Txy 2x 3y x y com Jacobiano Jxy 5 teremos ℛ TS onde S é o quadrado 01 01 Portanto a área do paralelogramo ℛ é igual JT 5 5 2 O cálculo da integral é mais simples na forma polar Temos Rxy x2 dA 0π2 ab r3 cos2θ drdθ 14 b4 a4 0π2 cos2 θ dθ θ16 b4 a4 Exemplo 433 Determinar o volume do sólido Ω interior à esfera x2 y2 z2 25 e exterior ao cilindro x2 y2 9 Solução No primeiro octante o sólido Ω é limitado inferiormente pela região Rxy 9 x2 y2 25 e superiormente pelo hemisfério z 25 x2 y2 O volume de Ω é portanto volΩ 8 Rxy 25 x2 y2 dA e usando coordenadas polares encontramos volΩ 8 0π2 35 25 r2 r dr dθ usar t 25 r2 2π 016 t dt 256π3 Exemplo 434 Calcular o volume do sólido Ω interior ao cilindro x2 y2 2y z 0 e abaixo do cone z x2 y2 Solução O sólido Ω é a porção interior ao cilindro x2 y 12 1 limitada inferiormente pelo plano xy porque z 0 e acima pelo cone z x2 y2 como sugere a Figura 424 Figura 424 Volume abaixo do cone z x2 y2 Como subconjunto do R3 o sólido Ω é descrito por Ω xyz R3 0 z x2 y2 e xy Rxy onde Rxy xy R2 x2 y 12 1 é a projeção do sólido Ω no plano xy Em coordenadas polares a região Rxy é descrita por 0 θ π e 0 r 2 sen θ e portanto volΩ D x2 y2 dx dy 0π 02 sen θ r2 dr dθ 83 0π sen θ3 dθ 83 0π 1 cos2 θ sen θ dθ usar t cos θ 83 11 1 t2 dt 329 Exemplo 435 Integral Gaussiana Calcular a integral imprópria R2 expx2 y2 dA e com o resultado deduzir que et2 dt π 418 A integral 418 é a Integral Gaussiana utilizada em teoria de probabilidade Solução Em coordenadas polares temos que x2 y2 r2 e a área elementar é dA r dr dθ Além disso R2 r θ 0 θ 2π e 0 r e portanto R2 expx2 y2 dA limB 02π 0B er2 r dr dθ 2π limB 0B er2 r dr usar t r2 π limB B0 et dt π limB 1 eB2 π Por outro lado usando o Corolário 44 obtemos π R2 expx2 y2 dA ex2 dx ey2 dy ex2 dx ey2 dy et2 dt2 de onde resulta que et2 dt π Exercícios Complementos 1 Em cada caso esboce a região D e calcule a integral dupla D fxy dx dy a D é a região triangular de vértices 29 21 e 21 f xy2 b D é a região retangular de vértices 11 21 24 e 14 f 2x y c D é a região delimitada por 8y x3 y x e 4x y 9 f x d D é a região do 1º quadrante delimitada por x2 y2 1 f 1 x2 y2 e D é a região triangular de vértices 00 11 e 14 f x2 y2 f D é a região delimitada por y2 x x 0 e y 1 f expxy g D é a região delimitada por 2y x2 e y x f x x2 y21 h D é a região delimitada por y x y 0 x 5 e xy 16 f 1 i D é a região delimitada por y exp x y log x x y 1 e x y 1 e f 1 j D é a região delimitada por y x2 y 0 e x y 2 f xy 2 Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas a 02 2y y22y y2 x dx dy b 12 0x x2 y21 dy dx c 03 0x x2 y2 dy dx d aa 0a2 x2 expx2 y2 dy dx e x2 y2 1 x2 y dx dy f D x y dx dy sendo D x2 y2 2y 0 3 A fronteira da região D é o paralelogramo de vértices 01 12 21 e 10 Use a mudança de coordenadas do Exemplo 426 e calcule a integral dupla sobre D da função fxy x y2 cos2 x y 4 Ainda com a mudança de variável do Exemplo 426 calcule a integral dupla da função fxy sen x yx y sobre a região D delimitada pelo quadrilátero de vértices 11 22 40 e 20 5 Use a mudança de coordenadas u xy y v e calcule a integral dupla D x2 2y2 dx dy sobre a região D do plano xy delimitada pelas curvas xy 1 xy 2 y x e y 2x 6 Use a mudança de coordenadas x u v y 2u v e calcule a integral dupla D xy dx dy sobre a região D do plano xy delimitada pelas retas y 2x y 2x 2 y x e y x 1 7 Use a mudança de coordenadas u 12 y v x 2y e calcule a integral dupla da função fxy x 2y y24 sobre a região D do plano xy delimitada pelo triângulo de vértices 00 40 e 42 8 Use coordenadas polares e calcule a integral dupla D x2 y2 dx dy sobre a região D do plano xy delimitada pelas curvas y 2x x2 e y x 9 Em cada caso calcule a área da região D do plano xy delimitada pelas curvas indicadas a x 1 x 2 y x2 e y 1x2 b x 1 x 4 y x e y x c y x2 e y 21 x2 d y2 x x y 4 y 1 e y 2 e y 0 x y 3a e y2 4ax a 0 f y ex y sen x x π e x π 10 Investigue a convergência ou não das integrais impróprias a D dxdyx2 y2 D x2 y2 1 b D dxdy1 x2 y2 D x2 y2 1 c D dxdy1 x2 y2 D x2 y2 1 d D dxdyxy D 01 01 e D exy dxdy D 0 x y2 e 0 y 1 11 A área de uma região D vem dada por AD 0π2 11cos θ r dr dθ Identifique a região e calcule o valor da área 12 Calcule o volume do sólido Ω comum aos cilindros x2 y2 a2 e x2 z2 a2 a 0 42 Integral Tripla A definição e propriedades da integral dupla se estendem de modo inteiramente análogo à integral tripla Para definir a integral tripla de uma função contínua f xyz em uma região compacta Ω R3 começamos particionando a região Ω em pequenos blocos retangulares Ωijk ijk 123n de lados infinitesimais que se aproximam de zero dx dy e dz e volume elementar dV dxdydz Em cada bloco Ωijk selecionamos um ponto Pijk e formamos as somas de Riemann Sn ijk1n f Pijk dxdydz cujo limite com n é por definição a integral tripla de f sobre a região Ω e anotase Ω f xyz dV limn Sn Quando a função f xyz é constante e igual a um em Ω então a integral tripla representa o volume da região Ω De fato Ω dV limn ijk1n dV volΩ Dada uma função f Ω R3 R contínua na região compacta paralelepípedo Ω xyz R3 a x b c y d e α z β então a integral tripla de f sobre Ω é calculada como a integral iterada Ω f xyz dxdydz ab cd αβ f xyz dz dy dx 419 semelhante ao cálculo da integral dupla sobre retângulos e a ordem de integração pode ser permutada com base no Teorema de Fubini Por exemplo ab cd αβ f xyz dz dy dx αβ cd ab f xyz dx dy dz Exemplo 436 Calcular a integral tripla de f xyz xyz sobre a região Ω xyz R3 1 x 2 0 y 1 e 1 z 2 Solução A região de integração é o paralelepípedo Ω 12 01 12 e usando 419 temos Ω xyzdV 12 01 12 xyzdx dydz 32 12 01 yz dydz 32 12 01 yzdy dz 34 12 zdz 98 Suponhamos que uma região Ω do R3 seja descrita por Ω xyz R3 xy Rxy e h1 xy z h2 xy onde Rxy é uma região compacta do R2 que pode ser um retângulo uma região vertical simples ou horizontal simples e na qual as funções h1 xy e h2 xy são contínuas Se f xyz é uma função contínua em Ω a integral tripla de f sobre Ω é calculada por Ω f xyz dV Rxy h1xyh2xy f xyz dz dxdy 420 onde vemos que o cálculo de uma integral tripla se reduz ao cálculo de uma integral simples seguida de uma integral dupla É claro que existem outras formas de descrever a região Ω e as mudanças na ordem de integração são feitas de acordo com a região Por exemplo se Ω é a região Ω xyz R3 xz Rxz e g1 xz y g2 xz então Ω f xyz dV Rxz g1xzg2xz f xyz dy dxdz Dependendo da região a integral tripla pode ser calculada de forma iterada como três integrais simples Além dos paralelepípedos blocos retangulares também se enquadra neste caso a região Ω descrita por Ω xyz R3 a x b p x y q x e g1 xy z g2 xy onde p x e q x são contínuas no intervalo ab e as funções g1 xy e g1 xy são contínuas na projeção de Ω sobre o plano xy A integral tripla neste caso é calculada de forma iterada Ω f xyz dV ab pxqx g1xyg2xy f xyz dz dy dx 421 Exemplo 437 Calcular a integral tripla I Ω x2 y2 z2 dV sobre a região Ω delimitada pelos planos x y z 2 x 0 y 0 e z 0 Solução A região Ω é limitada pelos planos coordenados e pelo plano x y z 2 A projeção no plano xy é o triângulo de vértices O 000 A 200 e B 020 como mostra a Figura 425 Em coordenadas cartesianas temos Ω xyz R3 0 x 2 0 y 2 x e 0 z 2 x y e usando 421 resulta I Ω x2 y2 z2 dV 02 02x 02xy x2 y2 z2 dz dy dx 13 02 02x 2 x y 3x2 3y2 2 x y2 dydx 13 02 2 x 22 x2 x 1 dx 85 Exemplo 438 Calcular a integral tripla de f xyz xyz sobre a região cilíndrica Ω x2 y2 1 0 z 1 Solução A integral tripla neste caso é calculada por uma integral simples seguida de uma integral dupla onde usaremos coordenadas polares Temos Ω xyzdV x2 y2 1 01 xyzdz dA x2 y2 1 xy 01 zdz dA 12 x2 y2 1 xydA 12 02π 01 r3 cos θ sen θ dr dθ 12 02π cos θ sen θ dθ 01 r3 dr 0 421 Mudança de Variável em Integral Tripla Consideremos a transformação T R R³ R³ definida pelo sistema de equações simultâneas x x u v w y y u v w z z u v w sendo x u v w y u v w e z u v w funções com derivadas parciais de primeira ordem contínuas na região R onde o Jacobiano J T x y z u v w não se anula Se Ω T R como na Figura 426 temos a seguinte fórmula de mudança de coordenadas Ω f x y z dV R f x u v w y u v w z u v w J T dudvdw 422 Figura 426 Região Ω T R Exemplo 439 Calcular o volume do elipsoide x²a² y²b² z²c² 1 a 0 b 0 e c 0 Solução Se Ω representa o sólido delimitado pelo elipsoide então vol Ω Ω dV e considerando a transformação x au y bv e z cw que leva a esfera u² v² w² 1 sobre o elipsoide então segue da fórmula 422 que vol Ω Ω dV R J u v w dudvdw onde R é a região delimitada pela esfera u² v² w² 1 isto é R u v w R³ u² v² w² 1 Ora J u v w x y zu v w a 0 0 0 b 0 0 0 c abc e consequentemente vol Ω Ω dV abc R dudvdw abc vol R 43πabc O volume de uma esfera de raio R é 43πR³ como veremos no Exemplo 441 Integral Tripla em Coordenadas Cilíndricas Vimos no Capítulo 3 que a transformação em coordenadas cilíndricas T r θ z r cos θ r sen θ z tem Jacobiano r e neste caso a fórmula de mudança de variável 422 se reduz a Ω f x y z dV R f r cos θ r sen θ z r dzdrdθ 423 Em coordenadas cilíndricas o volume elementar dV pode ser deduzido por meio de argumentos geométricos tal qual fizemos com a área elementar em coordenadas polares Com base na Figura 427 deduzimos que dV r dzdrdθ Figura 427 Volume elementar dV rdzdrdθ Exemplo 440 Calcular por integral tripla o volume de um cilindro de raio R e altura h Solução O sólido Ω delimitado pelo cilindro é descrito em coordenadas cilíndricas por Ω 0 θ 2π 0 r R 0 z h e portanto vol Ω R r dzdrdθ ₀²π ₀ᴿ ₀ʰ r dzdrdθ 2πh r²2₀ᴿ πR²h Integral Tripla em Coordenadas Esféricas A transformação em coordenadas esféricas T ρ θ ϕ ρ sen ϕ cos θ ρ sen ϕ sen θ ρ cos ϕ tem Jacobiano J ρ θ ϕ x y zr θ ϕ sen ϕ cos θ ρ cos ϕ cos θ ρ sen ϕ sen θ sen ϕ sen θ ρ cos ϕ cos θ ρ sen ϕ cos θ cos ϕ ρ sen ϕ 0 ρ² sen ϕ e as variáveis ρ θ ϕ são tais que 0 ρ 0 θ 2π e 0 ϕ π O volume elementar em coordenadas esféricas é dV ρ² sen ϕ dρ dϕ dθ e pode ser deduzido observando a Figura 428 onde destacamos o bloco elementar de lados dρ ρ dϕ e ρ sen ϕ dθ Figura 428 Volume elementar dV ρ² sen ϕ dρ dϕ dθ Em coordenadas esféricas a fórmula de mudança de variável 422 se reduz a Ω f x y z dV R f ρ sen ϕ cos θ ρ sen ϕ sen θ ρ cos ϕ ρ² sen ϕ dρ dϕ dθ 424 Exemplo 441 Calcular por integral tripla o volume de uma esfera de raio R Solução Em coordenadas esféricas a esfera de centro na origem e raio R tem equação ρ R e o sólido Ω por ela delimitado é descrito por Ω 0 ρ R 0 θ 2π 0 ϕ π O volume de Ω é portanto vol Ω R ρ² sen ϕ dρ dϕ dθ ₀²π ₀ʳ ₀ᴨ ρ² sen ϕ dϕ dρ dθ 2π ₀ᴨ 13 ρ³ ρR ρ0 sen ϕ dϕ 23 π R³ cos ϕ₀ᴨ 43 π R³ Exemplo 442 O volume do sólido Ω interior à esfera x² y² z² z e ao cone z 3 x² y² Solução O sólido Ω tem o formato de um sorvete como sugere a Figura 429 Em coordenadas esféricas a esfera x² y² z² z é descrita por ρ cos ϕ e o cone z² 3 x² y² tem equação ϕ π6 Assim a região Ω se transforma via coordenadas esféricas na região R ρ θ ϕ R³ 0 ρ cos ϕ 0 θ 2π e 0 ϕ π6 e por conseguinte vol Ω Ω dV R ρ² sen ϕ dρ dϕ dθ ₀²π ₀ᴨ6 ₀ᴨ cos ϕ ρ² sen ϕ dρ dϕ dθ ₀²π ₀ᴨ6 sen ϕ 13 ρ³ ₀cos ϕ dϕ dθ 13 ₀²π ₀ᴨ6 sen ϕ cos³ ϕ dϕ dθ 13 ₀²π 14 cos⁴ ϕ ₀ᴨ6 dθ 112 1 916 ₀²π dθ 7π96 Figura 429 Volume interior à esfera ρ cos φ e ao cone φ π 6 422 Considerações Físicas Os conceitos de massa centro de massa e momento de inércia de um corpo tridimensional Ω são semelhantes ao caso bidimensional Se a função f x y z é interpretada como densidade volumétrica então a integral tripla Ω f x y z dV representa a massa do corpo A densidade volumétrica será indicada por ρ x y z e quando a densidade ρ for constante o corpo dizse homogêneo n Massa e Centro de Massa Se M representa a massa do corpo Ω as coordenadas x y e z do centro de massa são dadas por x 1M Ω xρ x y z dV y 1M Ω yρ x y z dV e z 1M Ω zρ x y z dV n Momento de Inércia O momento de inércia IL do corpo Ω em relação a um eixo L é por definição IL Ω ρ x y z δ2dV onde δ δ x y z é a distância de um ponto P x y z do corpo ao eixo L No caso em que o eixo L é um eixo coordenado temos os momentos de inércia Ix Iy ou Iz conforme seja L o eixo x y ou z e são calculados pelas fórmulas Ix Ω y2 z2 ρdV Iy Ω x2 z2 ρdV e Iz Ω x2 y2 ρdV Exemplo 443 Calcule a massa o centro de massa e momento de inércia Iz do sólido Ω de densidade constante ρ 1 delimitado pelo gráfico do cilindro parabólico z 4 x2 e os planos x 0 y 0 y 6 e z 0 Solução O corpo Ω é descrito por Ω x y z R3 x y Rx e 0 z 4 x2 e portanto a massa de Ω é M Ω dV Rx 04x2 dz dxdy Rx 4 x2dxdy 20 60 4 x2 dydx 32 As coordenadas do centro de massa são x 132 Ω xdV 13220 60 04x2 xdzdydx 63220 x 4 x2 dx 34 y 132 Ω ydxdydz 13220 60 04x2 ydzdydx 183220 4 x2 dx 3 z 132 Ω zdxdydz 13220 60 04x2 zdzdydx 66420 4 x22 dx 85 Portanto o centroide tem coordenadas 34 3 85 O momento de inércia Iz é dado por Iz Ω x2 y2 ρ x y z dV 20 60 04x2 x2 y2 dzdydx 20 60 x2 y2 4 x2 dydx 20 48 6x2 6x4 dx 20485 n Exemplo 444 Um corpo de massa M e densidade f x y z x2 y2 z212 tem o formato da região Ω descrita por Ω x2 z2 y2 e x2 y2 z2 4y Expressar M por uma integral tripla de três formas em coordenadas cartesianas em coordenadas cilíndricas e em coordenadas esféricas e em seguida calcular M Solução O primeiro passo é descrever a região Ω em coordenadas cartesianas cilíndricas e esféricas Temos 1 Em Coordenadas Cartesianas Em Coordenadas Cartesianas a região Ω é descrita pelas desigualdades 2 x 2 4 x2 z 4 x2 e x2 z2 y 2 4 x2 z2 e sua massa é calculada por M 22 4x2z24x2 x2z2 x2 y2 z212 dydzdx 425 2 Em Coordenadas Cilíndricas As equações do cone e da esfera nessas coordenadas são respectivamente y r e y 2 4 r2 e o sólido é descrito pelas desigualdades 0 θ 2π 0 r 2 e r y 2 4 r2 A densidade é f r θ y r2 y212 e a massa do sólido Ω é portanto M 02π 02 24rr2y212 rydydrdθ 426 3 Em Coordenadas Esféricas Neste caso o cone e a esfera são descritos respectivamente por φ π 4 e ρ 4 cos φ e o sólido Ω assume a caracterização 0 θ 2π 0 φ π 4 e 0 ρ 4 cos φ A densidade é f ρ θ φ x2 y2 z212 ρ1 e a massa M do sólido Ω é portanto M 02π 0π4 04 cos φ ρ sen φdρ dφ dθ 427 A massa M pode ser calculada por 425 426 ou 427 e essa última opção nos conduz ao cálculo mais simples Temos M 02π 0π4 04 cos φ ρ sen φdρ dφ dθ 2π 0π4 12 4 cos φ2 sen φdφ 16π 22 1 t2dt 16π3 t3222 4π3 4 2 n Exercícios Complementos 1 Expresse a integral tripla D f x y z dV como uma integral iterada e em seguida calcule o seu valor no caso em que f x y z xyz e a região D é descrita por a 1 x 2 0 y 1 1 z 2 b y x y 0 y 4 0 z 4 y c 0 x 1 x2 y 1 0 z x y d 0 x z2 x z y x z 1 z 2 2 Escreva cada uma das integrais abaixo na ordem dzdydx a 01 33 55 f x y z dxdydz c 01 1z0 0z12y2 f x y z dxdydz b 01 y0 1x2y2 f x y z dzdxdy d 01 1z0 01zy f x y z dxdydz 3 Descreva o sólido Ω do R3 cujo volume é a 01 4z1z 32 dxdydz d 01 3x0 10 dzdydx b 01 z34x0 dydxdz e 12 zz zx2zx2 dydxdz c 02 x20 xy0 dzdydx f 14 z z2y2z2y2 dxdydz 4 Em cada caso identifique o sólido Ω e calcule seu volume por integração tripla a Ω é delimitado pelo cilindro y x2 e pelos planos y z 4 e z 0 b Ω é delimitado pelo cilindro z 1 y2 e pelos planos x z x 0 e y 0 c Ω é delimitado pelos cilindros z 3x2 e z 4 x2 e pelos planos y z 6 e y 0 d Ω é a interseção dos paraboloides z 1 x2 y2 e z x2 y2 1 e Ω é delimitado pelos cilindros x y2 e y2 2 x e pelos planos z 5 x y e z 0 f Ω é a interseção da bola x2 y2 z2 6 com o paraboloide z x2 y2 g Ω é delimitado pelo plano xy e pelas superfícies x2 y2 2x e z x2 y2 5 Em cada caso calcule o volume do sólido descrito pelas desigualdades a 0 x z 1 y² d x² y² z 2x b x² 4y² 4 e x y z x y 1 e x² y² z 6 x² y² c x² y² z 1 x² f 0 z x² y² 6 Use coordenadas cilíndricas e calcule as seguintes integrais a ₀¹ ₀1y² ₀4x²y² zdzdxdy c D xydV D x² y² 1 0 z 1 b ₁2 ₀2x² ₀¹ xdzdydx d ₀² 2x²2x² ₀x²y² x² y² dzdydx 7 Use coordenadas esféricas e calcule as seguintes integrais a ₂² 4x²4x² 8x²y²x²y² x² y² z² dzdydx b ₀2 ᵧ4y² ₀4x²y² x² y² z² dzdydy 8 Fazse um orifício circular em uma esfera o eixo do orifício coincidindo com o eixo da esfera O volume do sólido Ω resultante vem dado por volΩ 2 ₀2π ₀3 ₁4z² rdrdzdθ Por observação da integral determine o raio do orifício e o raio da esfera Calcule volΩ 9 Calcule a massa de uma bola de raio R se a densidade de massa no ponto P da bola é proporcional à distância r do ponto P ao centro da bola 10 Determine o centro de massa do hemisfério x² y² z² R² z 0 se a densidade em um ponto x y z do hemisfério é σx y z z 11 Determine o centroide do hemisfério 0 z R² x² y² 12 Calcule o momento de inércia em relação ao seu eixo de um cilindro circular reto de altura h e raio R se a densidade em um ponto x y z do cilindro é σx y z x² y² Respostas Sugestões Seção 41 integral dupla 1 a 1 b 12 sen π² c 36 d 1 e 0 f 52 62 g e2 1 h e12 i 1 cos 2 j 23 k 13 l 0 m 148 n 32 sen 1 cos 1 o 32 p 83 q e² 1 r 116 s 92 t 83 u 13 1 cos 1 v 12 2 Veja a seção 412 sobre as regiões horizontais e verticais simples 3 a 14 e⁴ 1 b 16 c 9 32 4π3 d 3π8 4 D é o triângulo de vértices 00 02 e 11 O volume do sólido é 43 5 π4 13 6 a π4 152 arctg 2 b 9π2 27 c 563 7 a³3 8 20 Seção 416 mudança de variável 1 a 15045 b 752 c 20930 d π6 e 3 f 12 g log 2 h 8 16 log 54 i 12 e² e 3 j 724 2 a 0 b π4 log 2 c π2 1 exp a² d 92 2 log1 2 e π4 f 3π8 3 13 112 sen 6 sen 2 4 3 3 cos 1 5 158 6 7 7 Note que a mudança de variáveis u 12 y e v x 2y transforma o triângulo D de vértices 00 40 e 42 no plano xy no triângulo Ruv de vértices 00 10 e 04 no plano uv Então Jxy ux uy vx vy 0 12 1 2 12 e Juv 2 Logo D x 2y 14 y² dxdy 2 Ruv v u² dudv 2 ₀¹ ₀⁴u4 v u² dv du 2 ₀¹ 23 v³ vu² 0⁴u4 du 7415 8 19 16 102 9 a 176 b 736 c π 23 d 332 e 10a²3 f eπ eπ 10 a 2π b 2π c d 4 e 12 11 Região do 1º quadrante exterior ao círculo r 1 e interior à cardioide r 1 cos θ A área é 1 π8 12 volΩ 16a³3 Seção 42 integral tripla 1 a 78 b 0 c 6714320 d 102227 2 c Sendo ₀¹ ₀¹z ₀z1²y² fx y z dxdydz temos que 0 z 1 0 y 1 z e 0 x z 1² y² Note que queremos primeiro integrar em relação a z então fixado x e y obtemos x z 1² y² z 1² x² y² z 1 x² y² pois 0 z 1 Como a projeção do cone z 1² x² y² sobre o plano xy z 0 é o círculo x² y² 1 temos que 0 y 1 x² e 0 x 1 Portanto ₀¹ ₀1x² ₀¹x²y² fx y z dzdydx 3 c Na integral ₀² ₓ²ˣ ₀ˣʸ dzdydx vemos que 0 x 2 x² y 2x e 0 z x y e portanto o sólido Ω é delimitado pelos planos x 0 x 2 y 2x z 0 z x y e o cilindro y x² 4 a Para identificar o sólido Ω esboce a parábola y x² no plano xy z 0 e sobre ela faça deslizar uma reta paralela ao eixo z para obter o cilindro em seguida corte o cilindro com os planos z 0 e y z 4 O volume do sólido é volΩ ₀⁴ yy ₀⁴ᵧ dzdxdxy 25615 b 415 c 30415 d π e 323 f 2π26 113 g 329 5 a 815 b 649 3π2 c π22 d A desigualdade x² y² z 2x significa que o sólido Ω é a porção interna ao paraboloide z x² y² abaixo do plano z 2x e a projeção de Ω no plano xy é o disco D x² y² 2x 0 Assim volΩ D x²y²²x dzdydx D 2x x² y²dA e em coordenadas polares o disco D é descrito por 0 r 2 cos θ e π2 θ π2 Portanto volΩ Rxy 2x x² y²dydx π2π2 ₀2 cos θ 2r cos θ r² rdrdθ π2π2 23 r³ cos θ 14 r⁴ ₀2 cos θ dθ 43 π2π2 cos⁴ θ dθ π2 6 a O sólido é a porção do 1º octante interna ao cilindro x2 y2 1 e à esfera mx2 y2 z2 1 Como x r cos θ y r sen θ e z z segue que Jr θ z r e portanto ₀¹ ₀1y² ₀4x²y² z dz dx dy ₀π2 ₀¹ ₀4r² z r dz r dθ 12 ₀π2 ₀¹ r 4 r² dr dθ 716 π b 13 c 0 d 10π3 7 a A região Ω é interna ao cone z x2 y2 e à esfera x2 y2 z2 8 Em coordenadas esféricas a esfera e o cone são descritos por ρ 22 e ϕ π4 respectivamente Assim a região é descrita por 0 ρ 22 0 θ 2π e 0 ϕ π4 e portanto ₂² 4x²4x² x²y²8x²y² x² y² z² dz dy dx ₀²π ₀π4 ₀22 ρ⁴ sen ϕ dρ dϕ dθ 256π5 2 12 b πR⁴16 8 r 1 R 2 e volΩ 4π3 9 kπR⁴ 10 CM 008R15 11 CM 00R3 12 2πhR⁵3 5 Integral de Linha Para motivar o que será apresentado neste capítulo deixenos reescrever a integral simples ₐᵇ fx dx de outra forma Imaginem o intervalo a b como sendo a curva γ descrita pelas equações paramétricas γ x xt y yt e z zt a t b sendo xt t yt 0 e zt 0 e consideremos a função vetorial Fx y z fx i definida em uma região Ω contendo a curva γ Se rt xt i yt j zt k representa o vetor posição do ponto Px y z da curva γ então Frt rt ft e portanto ₐᵇ fx dx ₐᵇ Frt rt dt 51 A integral do lado direito de 51 recebe o nome de Integral de Linha ou Integral Curvilínea do campo vetorial F sobre o caminho γ A partir de considerações físicas apresentaremos as formas como as integrais de linha aparecem na prática O conceito e as propriedades básicas da integral de linha serão formalizados posteriormente O conceito de trabalho Por campo de forças entendemos uma função que associa a cada ponto um vetor que representa algum tipo de atração ou repulsão Uma partícula de massa m sob a ação de um campo de forças F se move ao longo de uma curva γ O trabalho W realizado pelo campo F para transportar a partícula ao longo da curva γ do ponto A até o ponto B é dado por W EB EA onde EA e EB são respectivamente a energia cinética da partícula nos instantes t a e t b em que a partícula ocupa as posições A e B Se vA e vB representam as velocidades nesses instantes então W 12 mvB² 12 mvA² 52 Para representar o trabalho 52 por uma integral imaginemos a curva γ orientada de A para B que corresponde aos valores crescentes de t e descrita por rt xt i yt j zt k a t b de modo que A ra e B rb são respectivamente as posições inicial e final da partícula Ora no instante t a velocidade vt da partícula é vt rt e resulta de 52 W 12 m rb² ra² 12 m rt²ₜₐᵗᵦ 12 m ₐᵇ ddt rt² dt Da Regra da Cadeia segue que ddt rt² 2rt rt e consequentemente W ₐᵇ mrt rt dt 53 A derivada rt representa a aceleração da partícula e de acordo com a 2ª Lei de Newton temos que Fγt mrt resultando de 53 que W ₐᵇ Frt rt dt 54 A integral do lado direito de 54 se representa na forma vetorial γ F dr onde dr rt dt ou dr dx i dy j dz k mede o deslocamento infinitesimal da partícula Essa notação vetorial além da robustez sugere a interpretação física de trabalho como força deslocamento O conceito de massa Consideremos um arame com o formato da curva γt e seja rt xt i yt j zt k a t b o vetor posição do ponto Px y z do arame Se representarmos por δx y z a densidade linear isto é massa por unidade de comprimento e por ds uma porção infinitesimal comprimento elementar do arame a massa elementar dm da porção ds será portanto dm δx y z ds A massa total do arame é obtida somando isto é integrando as massas elementares dm Assim a massa do arame é m limds0 dm γ δx y z ds 55 Em 55 o símbolo tem caráter apenas intuitivo já que não podemos literalmente somar infinitésimos O que fazemos na verdade é integrar sobre o caminho Com esta motivação desejamos ressaltar que as integrais de linha se apresentam sob duas formas equivalentes 1 γ F dr ₐᵇ Frt rt dt interpretada como trabalho realizado pelo campo de forças F 2 γ fx y z ds interpretada como massa do fio de densidade linear fx y z O vetor tangente unitário à curva γ no ponto P rt é T rtrt como sugere a Figura 51 e se representarmos por st o comprimento do arco da curva γ de A até P então st ₐᵗ rτ dτ e ds rt dt Assim dr rt dt rt T dt T ds Figura 51 Vetor tangente T rtrt onde vemos que dr representa o comprimento ds ao longo da direção tangencial e temos γ F dr γ F Tds Se enfatizarmos as coordenadas do campo F x y z L x y z i M x y z j N x y z k então F dr Li Mj Nk dx i dy j dzk Ldx Mdy N dz e a integral de linha se apresenta sob a forma γ F dr γ Ldx Mdy N dz A expressão Ldx Mdy N dz recebe o nome de forma diferencial de primeira ordem 51 Campos Vetoriais Um campo vetorial sobre uma região Ω ℝ³ é uma função F Ω ℝ³ ℝ³ que a cada ponto P x y z de Ω associa um vetor Fx y z do ℝ³ A terminologia campo vetorial devese a exemplos físicos tais como campo gravitacional campo eletrostático campo de velocidades de um fluido em movimento etc Fixado um sistema de coordenadas por exemplo o sistema de coordenadas cartesianas o campo vetorial F Fx y z é representado por suas componentes ou coordenadas L M e N que são funções escalares definidas em Ω e que determinam as propriedades analíticas do campo F Por exemplo o campo F Lx y z i Mx y z j Nx y zk é contínuo resp diferenciável no ponto P x y z de Ω se e somente se as componentes L M e N são funções contínuas resp diferenciáveis em P De modo similar definese campo vetorial bidimensional como sendo uma função F D ℝ² ℝ² que associa a cada ponto de uma região D do plano x y um vetor F x y Lx y i Mx y j sendo L M D ℝ² ℝ funções escalares que determinam e herdam as propriedades analíticas do campo F A visualização geométrica de um campo vetorial F x y é obtida esboçandose uma coleção de setas de comprimento F x y com origem no ponto P x y representando os vetores Fx y Exemplo 51 Campo Radial O campo vetorial F ℝ² ℝ² definido por Fx y x i y j é tal que F x² y² e nos pontos de uma dada circunferência de centro na origem a intensidade do campo F é a mesma e igual ao raio da circunferência como ilustra a Figura 52 Figura 52 Visualização do campo radial Exemplo 52 Campo Tangencial Analisar o campo vetorial F definido em ℝ² 00 por Fx y yx² y² i xx² y² j Solução Primeiro observamos que F é um campo de vetores unitários isto é em qualquer ponto P x y a intensidade do campo é F x y 1 Além disso se r OP x i y j é o vetor posição do ponto Px y então F r 0 e isso nos diz que o campo vetorial F é perpendicular ao vetor posição r Portanto em cada ponto P o campo vetorial F é tangente à circunferência de centro na origem e raio r OP como mostra a Figura 53 Figura 53 Visualização do campo tangente Exemplo 53 Campo Quadrado Inverso Se r xiyjzk é o vetor posição do ponto P x y z de uma região Ω do ℝ³ a expressão Fr kr² rr sendo k constante define um campo vetorial sobre Ω denominado campo quadrado inverso que aparece com bastante frequência nas ciências físicas Em coordenadas o campo quadrado inverso se expressa sob a forma Fx y z kxi yj zk x² y² z²³² e no ponto P a intensidade do campo é F P kr² inversamente proporcional ao quadrado da distância do ponto P à origem Exemplo 54 Campo Gravitacional Verificar que o campo gravitacional é um campo vetorial quadrado inverso Solução De acordo com a Lei de Gravitação Universal de Newton o campo gravitacional na superfície da terra é dado por F x y z GMm r² r r onde M representa a massa da terra G é a constante gravitacional m é a massa de uma partícula situada no ponto P x y z e r OP representa o vetor posição do ponto P A intensidade do campo vetorial F é igual a F P GMm r² inversamente proporcional ao quadrado da distância do ponto P à origem Definição 55 Um campo vetorial F Ω ℝ³ ℝ³ denominase campo conservativo ou campo gradiente se existir uma função diferenciável φ Ω ℝ³ ℝ tal que F x y z φ x y z em Ω Uma tal função φ denominase potencial escalar ou primitiva do campo F Exemplo 56 O campo gravitacional apresentado no Exemplo 54 é conservativo Solução No Exercício 13 da seção 24 vimos que 1 r r r³ e se considerarmos φ x y z GMm r teremos φ x y z GMm 1 r GMmr r³ F x y z x y z 0 Imitando o que foi feito no Exemplo 56 demonstrase que qualquer campo vetorial F quadrado inverso é conservativo De fato basta observar que F r k r² r r k r De forma geral um potencial φ de um campo vetorial conservativo F Li Mj Nk é determinado como solução da equação vetorial F φ que é equivalente ao sistema de equações diferenciais parciais φx L φy M φz N Portanto o campo vetorial F Li Mj Nk será conservativo quando o sistema de equações diferenciais parciais 56 possuir uma solução φ que será um potencial para o campo F Se as derivadas parciais de primeira ordem das componentes L M e N são contínuas e isso acarreta a diferenciabilidade do campo F então L φx Ly φxy φyx Mx M φy Mz φyz φzy Ny N φz Nx φzx φxz Lz e portanto Mx Ly Ny Mz e Lz Nx Como veremos adiante sob certas condições as relações 57 constituem uma condição não apenas necessária mas também suficiente para que o campo F Li Mj Nk seja conservativo Exemplo 57 O campo vetorial F xy x²yi senxyj não é conservativo porque Ly x² y cosxy Mx Exemplo 58 Mostrar que o campo F xyz x²i yj 3zk é conservativo e encontrar a família de potenciais do campo Solução Temos L x² M y e N 3z e as condições 57 são facilmente comprovadas O sistema 56 neste caso se reduz a φx x² I φy y II φz 3z III A busca do potencial é feita por etapas usando o processo de derivação e integração Como efetuaremos integração parcial em relação às variáveis x y e z as constantes de integração são na verdade funções das variáveis não envolvidas na integração e o processo se encerra com uma constante numérica Etapa 1 integrar I com respeito a x Integrando I com respeito à variável x obtemos φxyz γ x² dx ¹₃ x³ f yz onde f yz é a constante de integração Etapa 2 derivar com respeito a y e comparar com II Derivando 58 em relação a y usando II e integrando o resultado em relação a y encontramos φy fy y fy f yz ¹₂ y² g z onde g z representa a constante de integração Assim 58 assume a forma φ xyz ¹₃ x³ ¹₂ y² g z Etapa 3 derivar com respeito a z e comparar com III Derivando 59 com respeito a z e comparando com III obtemos φz g z 3z g z Integrando 510 encontramos g z ³₂ z² k onde k é a constante de integração e substituindo g z na expressão 59 que define φ obtemos φ xyz ¹₃ x³ ¹₂ y² ³₂ z² k que é a família de potenciais procurada 511 Operadores Diferenciais No cálculo integral de várias variáveis sobretudo nos teoremas clássicos alguns operadores diferenciais operadores que envolvem derivação aparecem em sua formulação Os operadores que trataremos neste texto são o Gradiente o Laplaciano o Divergente e o Rotacional Esses operadores atuam em campos escalares ou vetoriais produzindo campos escalares ou vetoriais Vejamos a ação de cada um deles Operador Gradiente grad φ φ Dado um campo escalar diferenciável f Ω ℝ³ ℝ o gradiente de f no ponto P interior ao conjunto Ω foi definido no Capítulo 2 como sendo o vetor f P fx P i fy P jfz P k Essa expressão define o operador gradiente xi yjzk cujo valor no campo escalar f é f xi yjzk f fxi fyjfzk Dado um vetor unitário u com ângulos diretores α β e γ isto é u cos α i cos β j cos γ k então f u fx cos α fy cos β fz cos γ e isso indica que f não depende do sistema de coordenadas escolhido Se F é um campo conservativo com potencial f então em cada ponto P da superfície de nível f xyz k temos OP f P 0 isto é OP F P 0 e isso indica que o campo F é normal à superfície de nível de f em P Operador Laplaciano Δφ φ No Exercício 8 da seção 22 definimos o operador de Laplace ou Laplaciano em ℝ² por Δ xx yy No ℝ³ o Laplaciano é definido de forma similar como sendo o operador diferencial de segunda ordem Δ xx yy zz cujo valor no campo escalar f Ω ℝ³ ℝ é Δf xx yy zz f ²fx² ²fy² ²fz² É comum usar a notação Δ ² decorrente da relação Δf xi yj zk xi yj zk ² onde entendemos a operação u v como a derivada de segunda ordem uv Enquanto o operador Gradiente transforma campos escalares em campos vetoriais o Laplaciano transforma um campo escalar em um campo escalar Operador Divergente div F F O operador Divergente faz o papel inverso do Gradiente transformando campos vetoriais em campos escalares Dado um campo vetorial F Li Mj Nk o divergente de F é definido por div F Lx My Nx É comum expressar o operador divergente na forma simbólica div x y z e neste contexto temos div F F xi yjzk F Lx My Nz Se olharmos a matriz Jacobiana do campo F J F Lx Ly Lz Mx My Mz Nx Ny Nz observamos que as parcelas de div F aparecem na diagonal principal da matriz Exemplo 59 Determinar o divergente do campo F xy²z⁴i 2x²y z j y³z²k Solução As coordenadas do campo são L xy²z⁴ M 2x²y z e N y³z² Assim Lx y²z⁴ My 2x² e Nz 2y³z e portanto div F y²z⁴ 2x² 2y³z Sejam λ e μ números reais f um campo escalar dieferenciável e F e G campos vetoriais diferenciáveis O operador divergente goza das seguintes propriedades 1 Linearidade λF μG λ F μ G ou divλF μG λ div F μ div G 2 Distributividade φF φ F φ F ou divφG φ div F φ F Estas e outras propriedades do operador div são decorrentes das regras de derivação Como ilustração vamos mostrar a propriedade linear do divergente Se F Li Mj Nk então φF φL i φM j φN k 284 CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS A A e SILVA M P MATOS Referências Bibliográcas 1 Ávila G Cálculo Vol 3 Editora LTC 7a Edição 2006 2 Boulos P Abud Z Cálculo Diferencial e Integral Vol 2 Editora Makron Books 2000 3 Courant R John F Introduction to Calculus and Analysis Vol II SpringerVerlag 1989 4 Guidorizzi H L Um Curso de Cálculo Vol 3 Editora LTC 5a Edição 2002 5 Munem M A Foulis D J Cálculo Vol 2 Editora Guanabara Dois 1983 6 Protter M H Morrey C B Modern Mathematical Analysis Editora AddisonWesley 1964 7 Spiegel M R Cálculo Avançado Editora MacGrawHill 1976 8 Swokowski E Cálculo com Geometria Analítica Vol 2 Editora Makron Books 2a Edição 1983 9 Thomas G B Cálculo Vol 2 Editora AddisonWesley 10a Edição 2003 10 Williamson R E Crowell R H Trotter H F Calculus of Vector Functions Editora Prentice Hall 3a Edição 1972 286 CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS A A e SILVA M P MATOS Índice Remissivo A Ângulos diretores 176 Área de uma superfície 238 elementar 130 238 em coordenadas cilíndricas 244 em coordenadas esféricas 244 innitesimal 130 Aproximação linear 40 C Campo conservativo 174 de forças 170 escalar 9 gradiente 174 gravitacional 174 quadradoinverso 174 radial 173 tangencial 173 Centro de massa de uma placa 142 de uma superfície 252 Circulação 218 266 Classe de equivalência 236 Compenente tangencial 198 Componentes de um campo vetorial 172 Conjunto de nível 10 Conjunto aberto 3 compacto 5 conexo 6 de pontos 1 fechado 4 fronteira de um 4 limitado 5 Coordenadas polares 21 114 cilíndricas 114 esféricas 115 Curva de nível 10 integral 188 D Densidade de circulação 275 de corrente elétrica 263 linear 171 supercial 141 volumétrica 163 Derivada de NewtonLeibniz 32 direcional 57 parcial 33 parcial de ordem superior 35 parcial mista 36 Descontinuidade essencial 22 removível 22 Distribuição de carga elétrica 264 265 Divergente 177 Domínio 6 admissível 207 estrelado 209 E Elemento linear 254 Energia cinética 142 170 potencial 206 Equação 288 ÍNDICE REMISSIVO de conservação da carga elétrica 263 de conservação da massa 263 de continudade 178 de Laplace 40 de Poisson para o potencial 265 de transmissão de calor 39 fundamental da eletrostática 264 Equações de CauchyRiemann 40 Extremos condicionados 92 vinculados 92 F Fluxo 255 258 Forma Diferencial 172 207 de segunda ordem 253 exata 207 total 207 Fórmula de Gauss bidimensional 217 tridimensional 258 Fórmula de Green 212 Fórmula de Stokes bidimensional 219 tridimensional 268 Fórmula da Divergência ver Fórmula de Gauss Função 8 valor de uma 9 antissimétrica 35 contínua 21 derivável 32 diferenciável 41 diferencial de uma 46 elementar 23 gráco de uma 9 homogênea 56 imagem de uma 9 incremento da 46 simétrica 35 valor máximo de uma 78 valor mínimo de uma 79 G Gauss ver Fórmula de Gauss Green ver Fórmula de Green I Identidade de Green 220 Innitésimos 46 Integral de linha independente do caminho 201 Integral dupla 129 130 imprópria144 convergente 144 divergente 144 Integral de Riemann 129 de superfície 247 iterada 131 repetida 131 simples 128 Intensidade de corrente elétrica 263 J Jacobiano 107 L Laplaciano 177 Lei de Coulomb 264 Lema Fundamental 45 Limite 14 iterados 18 propriedades básicas confronto 15 linearidade 15 produto 15 quociente 15 Linhas de um campo 262 M Massa elementar 142 de uma superfície 252 Matriz autovalores de uma 85 Jacobiana 49 177 Hessiana 84 87 polinômio característico de uma 85 simétrica 85 ÍNDICE REMISSIVO 289 Máximo absoluto 78 global 78 local 78 relativo 78 Método de Indução Finita 131 dos Multiplicadores de Lagrange 93 Mínimo absoluto 79 global 79 local 79 relativo 79 Momento 142 Momento de inércia de uma placa 142 de uma superfície 252 polar 142 Mudança de coordenadas 111 Mudança de Variável em integral dupla 147 em integral tripla 160 Multiplicador de Lagrange 93 O Operador divergente 177 gradiente 176 rotacional 178 Ordem de integração na integral dupla 131 invertendo a ordem 138 na integral tripla 158 P Paralelepípedo 157 Parametrização da esfera 231 do cilindro 230 231 do cone 231 de uma superfície de revolução 232 Plano tangente 41 61 229 Ponto crítico 81 de acumulação 6 de fronteira 2 4 de sela 82 estacionário 81 exterior 2 extremo 79 interior 2 isolado 6 Potencial eletrostático 264 Primeira Forma Fundamental 255 Produto Vetorial Fundamental 229 R Região 6 simplesmente conexa 6 horizontal simples 134 vertical simples 134 Regra da Cadeia 1o caso 52 2o caso 53 3o caso 53 diagrama em árvore 54 Regra de Cramer 108 Regras de derivação 65 Reta normal equação vetorial 62 Reta tangente no espaço 63 no plano 32 S Somas de Riemann 129 Superfície de revolução 232 meridianos de uma 233 paralelos de uma 233 de nível 10 fechada 237 forma cartesiana explicita 227 forma cartesiana implícita 227 forma paramétrica 228 orientada 234 parametrizada 228 parcialmente regular 232 290 ÍNDICE REMISSIVO regular por partes 232 regular 229 simples 237 Stokes ver Fórmula de Stokes Superfícies equivalentes 236 T Taxa instantânea de variação 56 Teorema da Divergência 258 Teorema da Média para integral dupla 130 para integral tripla 262 Teorema de Gauss 258 Teorema de Green 213 Formulação Vetorial 219 Teorema de Stokes 269 Teorema da Função Implícita 1 104 da Função Implícita 2 106 da Função Implícita 3 107 da Função Inversa 105 113 de Fubini 131 134 de Weierstrass 88 do valor médio TVM 45 Fundamental do Cálculo 54 Teste da Segunda Derivada 83 86 do Hessiano 83 84 Toro de revolução 237 Trabalho 170 Trajetórias ortogonais 112 Transformações 110 V Vetor gradiente 61 Vizinhança circular 2 retangular 2 Volume elementar 134 157 em coordenadas cilíndricas 161 em coordenadas esféricas 162