Integral de Fluxo - Definição, Fórmula e Exemplos

Integral de fluxo de uma função sobre uma superfície Seja F um campo vetorial Fx y z Mx y zi Nx y zj Px y zk com M N e P funções escalares contínuas Integral de fluxo de F sobre S subS F ηdS onde η é o vetor normal unitário a S no ponto x y z Supomos que os componentes de η são funções contínuas de x y e z Se S é o gráfico de uma equação z fx y e fazemos gx y z fx y z então S é também o gráfico de gx y z 0 Como gx y z é o vetor normal ao gráfico de gx y z 0 no ponto x y z então η gx y z gx y z fxx yi fyx yj k 1 fxx y2 fyx y2 Analogamente há fórmulas como estas no caso em que S é dado por y hx z ou por x ky z Uma superfície S é orientada ou orientável se existe um vetor unitário normal η em cada ponto x y z não fronteira e que as componentes de η são funções contínuas de x y zη varia continuamente sobre a superfície S Admitamos também que S tem também dois lados o lado de cima e o lado de baixo do gráfico de z fx y Volume do prisma de área dS e altura F η dV Ah dS F η dV é a quantidade de fluido que atravessa dS por unidade de tempo Assim V subS F η dS é o volume total do fluído que atravessa S por unidade de tempo V é o fluxo de F através de S Definição Fluxo do campo vetorial F que atravessa S subS F η dS e m subS δx y zF η dS é a massa do fluído que atravessa S Exemplo Seja S a parte do gráfico de z 9 x2 y2 com z 0 Se Fx y z 3xi 3yj zk ache o fluxo de F através de S Solução Consideremos gx y z z 9 x2 y2 0 daí η g g 2xi 2yj k 1 4x2 4y2 logo subS F η dS subS 6x2 6y2 z 1 4x2 4y2 dS Agora subS 6x2 6y2 z 1 4x2 4y2 dS subRxy 6x2 6y2 z 1 4x2 4y2 1 4x2 4y2dA subRxy 6x2 6y2 z dA daí em coordenadas polares subRxy 6x2 6y2 z dA subRxy 6x2 6y2 9 x2 y2 dA subRxy 9 5x2 5y2 dA sub02π sub03 9 5r2 rdrdθ 5672 π Integral de fluxo de uma função sobre uma superfície Seja F um campo vetorial Fx y z Mx y zi Nx y zj Px y zk com M N e P funções escalares contínuas Integral de fluxo de F sobre S subS F ηdS onde η é o vetor normal unitário a S no ponto x y z Supomos que os componentes de η são funções contínuas de x y e z Se S é o gráfico de uma equação z fx y e fazemos gx y z fx y z então S é também o gráfico de gx y z 0 Como gx y z é o vetor normal ao gráfico de gx y z 0 no ponto x y z então η gx y z gx y z fxx yi fyx yj k 1 fxx y2 fyx y2 Analogamente há fórmulas como estas no caso em que S é dado por y hx z ou por x ky z Uma superfície S é orientada ou orientável se existe um vetor unitário normal η em cada ponto x y z não fronteira e que as componentes de η são funções contínuas de x y zη varia continuamente sobre a superfície S Admitamos também que S tem também dois lados o lado de cima e o lado de baixo do gráfico de z fx y Volume do prisma de área dS e altura F η dV Ah dS F η dV é a quantidade de fluido que atravessa dS por unidade de tempo Assim V subS F η dS é o volume total do fluído que atravessa S por unidade de tempo V é o fluxo de F através de S Definição Fluxo do campo vetorial F que atravessa S subS F η dS e m subS δx y zF η dS é a massa do fluído que atravessa S Exemplo Seja S a parte do gráfico de z 9 x2 y2 com z 0 Se Fx y z 3xi 3yj zk ache o fluxo de F através de S Solução Consideremos gx y z z 9 x2 y2 0 daí η g g 2xi 2yj k 1 4x2 4y2 logo subS F η dS subS 6x2 6y2 z 1 4x2 4y2 dS Agora subS 6x2 6y2 z 1 4x2 4y2 dS subRxy 6x2 6y2 z 1 4x2 4y2 1 4x2 4y2dA subRxy 6x2 6y2 z dA daí em coordenadas polares subRxy 6x2 6y2 z dA subRxy 6x2 6y2 9 x2 y2 dA subRxy 9 5x2 5y2 dA sub02π sub03 9 5r2 rdrdθ 5672 π Teorema do Divergente ou Teorema de Gauss Fluxo de um campo sobre uma superfície fechada S que é fronteira de uma região Q em três dimensões Teorema de Gauss Seja Q uma região em três dimensões delimitadas por uma superfície fechada S e denotemos por η o vetor normal unitário exterior a S em x y z Se F é uma função vetorial com derivadas parciais contínuas em Q então subS F η dS subQ F dV Demonstração Se Fx y z Mx y zi Nx y zj Px y zk então o teorema de Gauss diz subS Mi η Nj η Pk η dS subQ Mx Ny Pz dV Para provar esta igualdade é suficiente mostrar que subS Mi η dS subQ Mx dV subS Nj η dS subQ Ny dV subS Pk η dS subQ Pz dV Vamos provar a terceira igualdade S é a superfície de uma região Q entre os gráficos de z ux y e z vx y e acima de uma região R do planoxy S S1 S2 S3 Sobre S2 o componente k de η é zero e k η 0 Assim subS2 Pk η dS 0 e podemos escrever subS Pk η dS subS1 Pk η dS subS3 Pk η dS Exemplo 1 Seja Q a região delimitada pelo cilindro circular reto x 2 y 2 4 e pelos planos z 0 e z 3 Denotemos por S a superfície de Q Se F x y z x 3 i y 3 j z 3 k Use o Teorema de Gauss para calcular iintS F cdot eta dS Solução Como div F 3 x 2 3 y 2 3 z 2 3 x 2 y 2 z 2 temos iintS F cdot eta dS 3 iiintQ x 2 y 2 z 2 dV Calculando em coordenadas cilindricas iintS F cdot eta dS 3 int02 pi int02 int03 r 2 z 2 r d z d r d heta 3 int02 pi int02 left r2 z fracz33 right03 r d r d heta 3 int02 pi int02 3 r2 9 r d r d heta 3 int02 pi left frac34 r4 9 fracr22 right02 d heta 90 heta02 pi 180 pi Exemplo 2 Seja Q a região delimitada pelo cilindro z 4 x2 pelo plano y z 5 e pelos planos xy e xz Seja S a superfície de Q Se F x y z x3 sen z i x2 y cos z j left ex2 y2right k calcule iintS F cdot eta dS Solução Por Gauss iintS F cdot eta dS iiintQ 3 x2 x2 dV iiintQ 4 x2 dV int22 int04x2 int05z 4 x2 d y d z d x int22 int04x2 4 x2 5 z d z d x int22 left 20 x2 z 4 x2 fracz22 right04x2 d x int22 48 x2 4 x4 2 x6 d x frac460835 1 Ache a área da superfície cilíndrica x2 y2 a2 onde a leq x leq a 0 leq z leq h com y geq 0 Para achar uma normal unitária superior a S1 fazemos g1 x y z z u x y e calculamos η frac abla g1 abla g1 fracux x y i uy x y j ksqrt1 ux2 uy2 Logo k cdot η frac1sqrt1 ux2 uy2 Assim se RRxy e f x y u x y então iintS1 P k cdot η dS iintR P x y u x y dA Em S3 fazemos g2 x y z z v x y e daí η frac abla g2 abla g2 fracvx x y i vy x y j ksqrt1 vx2 vy2 normal unitária inferior Aplicando as integrais sobre superfícies obtemos iintS2 P k cdot η dS iintR P x y v x y dA Somando as integrais de fluxo sobre S1 e S3 temos iintS P k cdot η dS iintR P x y u x y P x y v x y dA iintR left intvxyuxy fracpartial Ppartial z dz right dA iiintQ fracpartial Ppartial z dV Analogamente o temos o resultado iintS M i cdot η dS iiintQ fracpartial Mpartial x dV quad iintS N j cdot η dS iiintQ fracpartial Npartial y dV Solução Considerando F x y z x2 y2 4 0 isso implica que y f x z implicitamente Temos que a área de superfície é dada por iintS dS iintD fracsqrtFx2 Fy2 Fz2Fy dA intaa int0h fracsqrt4 x2 y22y dA intaa int0h fracsqrta2sqrta2 x2 dz dx 2 ah int0a frac1sqrta2 x2 dx 2 ah int0pi2 fraca cos hetasqrta2 a2 sin2 heta d heta a h pi