Capítulo 12: Equações Diferenciais Parciais (EDPs) e suas Aplicações

CAPÍTULO 12 Equações Diferenciais Parciais EDPs As EDPs modelam diversos problemas geométricos e físicos que surgem quando as funções desconhecidas as soluções dependem de duas ou mais variáveis geralmente de tempo e de uma ou diversas variáveis espaciais É justo dizer que essas podem ser modelos físicos mais simples podem ser modelados por EDPs ao passo que a maioria dos problemas em dinâmica elasticidade transferência de calor teoria eletromagnética e mecânica Quântica requerem EDPs Com efeito a gama de aplicações das EDPs é enorme comparada à das EDOs Neste capítulo enfocaremos os mais importantes EDPS na matemática aplicada a saber as equações da onda relacionada a corda vibrante Seção 122 e a membrana vibrante Seção 127 a equação de calor Seção 125 e a equação de Laplace Seções 125 e 1210 Dedicaremos essas EDPs à física e consideraremos métodos de resolução de problemas de valor inicial e de condição de contorno isto é métodos de obtenção de soluções que satisfazem as condições dadas pela situação física Nas Seções 126 e 1211 mostraremos que as EDPs podem também ser resolvidas pelos métodos das transformadas de Fourier e Laplace COMENTÁRIO Os métodos numéricos para as EDPs serão explicados nas Seções 214217 Prérequisitos EDOs lineares Capítulo 2 séries de Fourier Capítulo 11 Seções que poderão ser obtidas em cursos mais curtos 126 1291211 Referências e Respostas dos Exercícios Parte C do Apêndice 1 e Apêndice 2 121 Conceitos Básicos Uma equação diferencial parcial EDP é uma equação envolvendo uma ou mais derivadas parciais de uma função desconhecida que dependemos de uma ou de duas ou mais variáveis frequentemente tempo e uma ou várias variáveis espaciais A ordem da derivada mínima é chamada de ordem EDP Como acontece com as EDOs as EDPs de segunda ordem são as mais importantes aos aplicados Tal como ocorre com as equações diferenciais ordinárias EDO dizemos que uma EDP é linear se a equação permite que a função desconhecida e suas derivadas parciais Caso contrário ela é chamada de nãolinear Portanto todas as equações do Exemplo 1 a seguir são lineares Chamamos uma EDP homogênea se cada um de seus termos contém u ou uma de suas derivadas parciais De outro modo dizemos que a equação é nãohomogênea Portanto no Exemplo 1 4 com f não identicamente nula é nãohomogênea ao passo que as demais equações são homogeneas EXEMPLO 1 Importantes EDPs de Segunda Ordem 1 2 3 4 5 Equação do calor unidimensional Equação do calor bidimensional Equação de Laplace unidimensional Equação de Poisson bidimensional Equação de onda bidimensional para a definição desconhecida ux t da corda uma EDP que acabamos de obter e algumas condições adicionais que temos agora deduzir Como a corda está presa nas extremidades x 0 e x L Seção 122 temos as condições de contorno Determinamos agora subregionais F e G para 5 e 6 de modo que F G satisfaça as condições de contorno 2 O modelo da corda elástica vibrante consiste na equação da onda unidimensional Passo 3 Solução do Problema Inteiro Série de Fourier Resultado Nos dizemos nesta que ux t dada por 12 com os coeficientes 14 e 15 é uma solução que vai satisfazer a todas as condições em 2 EXEMPLO 1 Corda Vibrante se a Deflexão Inicial é Triangular 11 Ȧfrequência De que maneira a frequência do modo fundamental de uma corda vibrante depende do comprimento da corda Da massa ou módulo de comprimento O que acontece quando a corda se torna mais grossa Para que um oscilador aixe um vínculo 01 x L x 001 𝑥 L 𝑥 00 ou 110 Id Ȧ Ȧ 00 0 124 Solução de DAlembert da Equação da Onda Características É interessante que a solução da equação da onda 17 da Seção 123 1 posa ser imediatamente obtida por uma transformação adequada de 1 isto é pela introdução de duas novas variáveis independentes v x ct w x ct 17 Encontre a solução de 21 que satisfaz as condições de Problema 1 bem como a condição inicial